400米世界纪录2017年考研数学三真题与解析

2020年11月29日发(作者：戴传贤)
.
2017年考研数学三真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．若函数
f(x)
1cosx
,x0
在
x
ax< br>b,x0
1
2
（B）
ab
0
处连续，则
（A ）
ab
1
2
（C）
ab0
（D）
ab2
1
，
limf(x)
2a
x0
【详解】
必须满足
x< br>limf(x)
0
1cosx
lim
x0
ax
ab< br>1
2
x
1
x
lim
2
x0
axbf(0)
，要使函数在
x0
处连续，
1
2a
b
．所以应该选（A）
2．二元函数
z
（A）
(0,0)
xy(3y )
的极值点是（
（B）
(0,3)
）
（C）
(3,0)（D）
(1,1)
【详解】
z
x
2
y(3xy)xy< br>2
3y2xy
2
y
，
2
z
y
3xx
2
2xy
，
2
z
2
x
2y,
z< br>2
y
2x,
zz
xyyx
32x
z
解方程组
x
z
y
2
3y2xy
3xx
2
y
2
0
，得四个驻点．对每个驻点验证
ACB
，发现只有在点
2
(1,1)
处满足
2xy
C
0
20
，所以
(1, 1)
为函数的极大值点，所以应该选（
f(x)f(x)
f(1)
0
，则
（C）
f(1)
ACB30
，且
A
D）
3．设 函数
f(x)
是可导函数，且满足
（A）
f(1)
【详解】设
f(1)
2
（B）
f(1)f(1)
（D）
f(1)
2< br>f(1)
g(x)(f(x))
，则
g(x)
2
2f(x)f (x)0
，也就是
f(x)
是单调增加函数．也就得到
f(1)
2< br>f(1)f(1)
1
n
kln(1
f(1)
，所以应该选（C ）
1
n
)
收敛，则
k
（
（C）
）4．若级 数
n2
sin
（A）
1
（B）
21
（D）
2
word范文
.
【详解】iv
n
时
sin
1< br>n
kln(1
1
n
)
1
n
k
1n
11
2n
2
o
1
n
1
n
2
(1k)
1
n
k1
2n
2
o
1
n
2
显然当且仅当
（C）．
5．设
(1k)0
，也就是
k1
时，级数的一般项是关于的二阶无穷小，级数收敛，从而选择
为
n
单位 列向量，
（A）
E
（C）
E
T
E
为
n阶单位矩阵，则
（B）
E
（D）
E
T
不可逆
T
不可逆
2
T
不可逆
2
T
T
不可逆
T
【详解】矩阵
为
0,1,1,
的特征值为
1
和
n 1
个
0
，从而
E,E,E
T
2
T
,E2< br>T
的特征值分别
1
；
2,1,1,,1
；
1,1,1 ,,1
；
3,1,1,,1
．显然只有
E
存在零特征值，所以不可逆 ，应
该选（A）．
2
6．已知矩阵
A
0
2
0
0
1
，
B
1
2
0
0
1
2
0
0
0
，
C
1
1
0
0
0
2
0
0
0
，则
2
0
0
（A）
A ,C
相似，
B,C
相似
（C）
A,C
不相似，
B, C
相似
【详解】矩阵
（B）
A,C
相似，
B,C
不 相似
（D）
A,C
不相似，
B,C
不相似
A,B
的 特征值都是
00
0
0
12
2,
3
1
．是否 可对解化，只需要关心
2
的情况．
0
1
，秩等于1 ，也就是矩阵< br>A
属于特征值
1
对于矩阵
A
，
2EA0
0< br>2
存在两个线性无关的特
征向量，也就是可以对角化，也就是
A~C
．
0
，秩等于2 ，也就是矩阵
A
属于特征值
1
B,C
不相似故选择（B）．
A,C
相互独立，
B,C
相互独立，则
A< br>0
对于矩阵
10
0
0
B
，
2EB0
0
2
只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然
7．设
A,B
，
C
是三个随机事件，且
条件是（）
B
与
C
相互独立的充分必要
（A）
A,B
相互独立
（C）
AB, C
【详解】
相互独立
（B）
A,B
互不相容
（D）
AB,C
互不相容
word范文
.
P((AB)C)P(ACAB)
(P(A)
P(AC)
P(B)
P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B) P(C)P(ABC)
P(A
显然，
B)P(C)P(AB))P(C)
P( ABC)
P(A)P(C)P(B)P(C)P(AB)P(C)
AB
与
C< br>相互独立的充分必要条件是．
P(AB)P(C)
，所以选择（C ）
8．设< br>X
1
,X
2
,
正确的是（
n
,X
n
(n
）
2)
为来自正态总体
N(,1)
的简单随机样本，若
X
1
n
n
X
i
，则下列结论中不
i1（A）
i1
(X
i
n
)
服从
22
分布 （B）
2X
n
X
1
2
服从
2
分布
（C）
i1
(X
i
X)
服从
22
分布（D）
n(X)
服从
2
2
分布
解：（1）显然
(X
i< br>)~N(0,1)(X
i
)~
22
n
(1),i1,2,n< br>且相互独立，所以
i1
(X
i
)
服从
2
2< br>(n)
分布，也就是（A）结论是正确的；
n
22
（2）
i1
(X
i
X)(n1)S
1
n
(n1)S
2
2
~
2
(n1)
，所以（C）结论也是正确的；
22
（3） 注意
X~N(,)n(X)~N(0,1)
X
n
2
n(X
X
1
)~(1)
，所以（D）结论也是正确的；
(X
n
X1
)~
22
（4）对于选项（B）：
(X
n
论是错误的 ，应该选择（
二、填空题（本题共
9．
B）
X
1
)~N(0 ,2)~N(0,1)
1
2
(1)
，所以（B）结
6小题，每小题< br>2
4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
．
3
(sinx3
x)dx
322
2
解：由对称性知
(sinx
2y< br>t
y
t
t
x)dx2
2
0
xdx
2
2
．
10．差分方程
y
t1
2
的通解为
1
．
【详解】齐次差分方程
设
y
t
2y
t
0
的通解为
y
t
C2
；
1
2
；
x< br>1
2y
t
2
的特解为
y
t
y
t1< br>t
at2
，代入方程，得
a
C2
Q
t
所以差 分方程
2y
t
2
的通解为
y
C
(
Q
)
t
1
2
t2.
.
t
11．设 生产某产品的平均成本
word范文
1
e
，其中产量为
Q
， 则边际成本为
.
【详解】答案为
平均成本
C
(
Q
)
1(1
Q
)
e
1
e
Q
Q
Q．
，则总成本为
C(Q)QC(Q)QQe
Q
，从而边际成本为
C(Q)1(1Q)e.
f(x,y)
具有一阶连续的偏导数，且已知
df
(
x
,
y
)
yedx
y
12．设函数
x(1
y
)
edy
，
f(0,0)
y
0
，则
f(x,y)
【详解】
df
(
x
,
y
)
所以
f
(
x
,
y
)
y
yedx
y
x
(1
y
)
yedy
y
(
dx ye
)
，所以
f(x,y)xye
y
C
，由
f(0 ,0)0
，得
C0
，
xye
．
10
1
1< br>1
2
，
1
1
13．设矩阵
A1
0
,
2
,
3
为线性无关的三维列向量，则向量组
A
1
, A
2
,A
3
的秩
为．
1
【详解】对矩阵进行初等变 换
01
1
1
2
1
2
1
0
0
,A
3
01
11
11
101
1
，知矩阵
0
A的秩为2，由于
A1
0
01
00
1
,
2
,
3
为线性无关，所以向量组
A
1
,A
的秩为2 ．
14．设随机变量
X
的概率分布为
．
PX2
1
2
1
，
PX1a
，
PX3b
，若
EX0
，则
DX
【详解】显然由概率分布的性质，知
a
3b1
b
12
EX
EX
2
2
1
2
1a
9b
9
2
3b
，
DX
a0
，解得
a
E(X)
2
1
4
,b
1
4
2aEX
2
9< br>2
．
三、解答题
15．（本题满分10分）
x
0
求极 限
x
lim
0
xtedt
x
3
x
0
u
x
0
x
t
【详解】令
xtu
，则
t< br>x
x
tedt
t
u,dt
e
x
du
，
x
0
xtedt
t
ue
u
xu
duxe
lim
x0
3
2
x
x
lim
0< br>0
x
x
3
x
lim
0
uedu
x< br>3
x
lim
0
0
uedu
x
3
2< br>3
x
word范文