鼠首七年级上册数学人教版知识要点汇总

2020年11月29日发(作者：崔玉莲)
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也 不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数 ；当a表
示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是 错误的，
例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+” 省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的 量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：- 8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
（3）0表示一个确切的量。如：0℃以 及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海
平面。
有理数
1.有理数 的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为 分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理 解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限 小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以 后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数
整数0正有理数负整数
有理数有理数0
正分数
分数负有理数
负分数
总结：①正整 数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负 有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
正整数
正分数
（0不能忽视）
负整数
负分数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做 数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺 一不
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可；⑶同一数轴上的单位长度要统 一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数 都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边
的点表示，0用原 点表示。
⑵所
有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是 说，有理数与
数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数
）
3.利 用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负 数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴 上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的 正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示 a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶ a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数 叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反 数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶ 互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的 几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上 的对
应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个 数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差 的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。
化简得 -5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相 反数是-（-5），化
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简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0 。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数 ）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一 般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为 ：
①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0 。
）
可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数 是非负数。
②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是 非正数。）
经典考题
如数轴所示，化简下列各数
|a|,|b|,|c|,|a-b| ,|a-c|,|b+c|
解：由题知道，因为a>0，b<0，c<0,a-b>0,a-c>0,b +c<0，
所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数 ，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|
≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值 是0的数是0.即：a=0<═>|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即： |a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两 个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。 即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即 ：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这 几个非负数同时为0）
经典考题
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+ c的值
解：因为|a+3|
≥0，
|2b-2|
≥0
，|c-1|< br>≥0，且
|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0，|2b-2 |=0，|c-1|=0
即a=-3,b=1,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1< br>4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的 小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正 数
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大于负数。
5.绝对值的化 简
①
当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a
6.已知一个数的绝对值 ，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有 理数有两
个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。如：|a|=5，则a= 土5
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对 值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理 数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c )
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相 反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原 数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a +b4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数 。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法 混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计
算。
在和 式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(- 7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用 结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+ (-15)-(+1)+(+23)
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原 式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）
=-33+18- 15-1+23（省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结 合）
=-49+41（运用加法法则一进行运算）
=-8（运用加法法则二进行运算）
Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)- (+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减 法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）
=(6.6- 2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8（运用加法 法则进行运算）
=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2（得出结 论）
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
-
3
5
-
1
2
+
3
4
-
2
5
+
1
2
-
7
8
原式=(-
3
5
-
2
5
)+(-
1
2
+
1
2
)+(+
3
4
-
7
8
)
=-1+0-
1
8
=-1
1
8
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
(+0.125)-(-3
3
4
)+(-3
1
8
)-(-1 0
2
3
)-(+1.25)
原式=(+
13121
8
)+(+3
4
)+(-3
8
)+(+10
3
)+(-1< br>4
)
=
1
8
+3
3
4
-3
121
8
+10
3
-1
4
=(3
311
4
-1
12
4
)+(
8
-3
8
)+103
=2
12
2
-3+10
3
=-3+13
1< br>6
=10
1
6
Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
- 3
1
5
+10
6
11
-12
17
22+4
15
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原式=(-3+ 10-12+4)+(-
1761
+)+(-)
5151122
411
+
1522
815
=-1++
3030
7
-
30
=-1+
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0Ⅶ.先拆项后结合
（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）
有理数的 乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“ 同号得正，异号得负”专指“两数相乘”
的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则 二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因 数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2. 倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·
说a和< br>1
=1（a≠0），就是
a
111
互为倒数，即a是的倒数，是a的倒 数。
aaa
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子 、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把
带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它 本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法 中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相 乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两 个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除， 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
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