周易如何起卦初一数学课外资料

2020年11月29日发(作者：管子怀)


初一奥赛培训

02：绝对值
一、解答题（共18小题，满分150分）
1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）|a+b|=|a|+|b|；
（2）|ab|=|a||b|；
（3）|a﹣b|=|b﹣a|；
（4）若|a|=b，则a=b；
（5）若|a|＜|b|，则a＜b；
（6）若a＞b，则|a|＞|b|．
2、 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．
3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||

．
4、若abc≠0，则++的所有可能值是什么？
5、若|x|=3，|y|=2，且|x﹣y|=y﹣x，求x+y的值．
6、若a，b，c 为整数，且|a﹣b|
19
+|c﹣a|
99
=1，试计算|c﹣a|+|a ﹣b|+|b﹣c|的值．
7、若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求的值
8、化简：|3x+1|+|2x﹣1|．
9、已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．
10、设a＜b＜c＜d，求|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|的最小值．
11、若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
12、x是什么实数时，下列等式成立：
（1）|（x﹣2）+（x﹣4）|=|x﹣2|+|x﹣4|；
（2）|（7x+6）（3x﹣5）|=（7x+6）（3x﹣5）．
13、化简下列各式：
（1）
（2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|．
14、若a+b＜0，化简|a+b﹣1|﹣|3﹣a﹣b|．
15、已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值 _________ ． < br>16、设T=|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|，其中0＜p＜15，试求当p≤x≤15时 ，T的最小值是多少？
17、已知a＜b，求|x﹣a|+|x﹣b|的最小值．
18、不 相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么 B点应为（
（1）在A，C点的右边；
（2）在A，C点的左边；
（3）在A，C点之间；
（4）以上三种情况都有可能．







）

答案与评分标准
一、解答题（共18小题，满分150分）
1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）|a+b|=|a|+|b|；
（2）|ab|=|a||b|；
（3）|a﹣b|=|b﹣a|；
（4）若|a|=b，则a=b；
（5）若|a|＜|b|，则a＜b；
（6）若a＞b，则|a|＞|b|．
考点：绝对值；不等式的性质。
分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析．
解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立．
（2）正确．
（3）正确．
（4）错误．当a≥0时成立．
（5）错误．当b＞0时成立．
（6）错误．当a+b＞0时成立．
点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质．
2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．

考点：整式的加减；数轴；绝对值。
分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行 比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对
值符号．
解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|，
则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0．
∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|
=﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）]
=﹣b+a+a+c+2c﹣2b
=2a﹣3b+3c．
点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．
3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||．
考点：绝对值。
专题：计算题。
分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解答：解：∵x＜﹣3，
∵1+x＜0，3+x＜0，
∴原式=|3+|2+（1+x）||，
=|3+|3+x||，
=|3﹣（3+x）|，
=|﹣x|，
=﹣x．
点评：本题考查了绝对 值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．
4、若abc≠0，则
考点：绝对值。
专题：计算题；分类讨论。
分析： 由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：（1）当a，b， c
均大于零时；（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时； （4）当a，b，c中
有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案．
++的所有可能值是什么？

解答：解：∵abc≠0，
∴a≠0，b≠0，c≠0．
∵（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；
（2）当a，b，c均小于零时，原式=﹣3；
（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=﹣1．
∴++的所有可能值是：±3，±1．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键．
5、若|x|=3，|y|=2，且|x﹣y|=y﹣x，求x+y的值．
考点：非负数的性质：绝对值；绝对值。
专题：分类讨论。
分析：根据|x﹣y| =y﹣x，即可得到y≥x，再根据|x|=3，|y|=2即可确定x，y的值，从而求解．
解答：解：因为|x﹣y|≥0，所以y﹣x≥0，y≥x．
由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=﹣3．
（1）当y=2时，x+y=﹣1；
（2）当y=﹣2时，x+y=﹣5．
所以x+y的值为﹣1或﹣5．
点评：本题 主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|=a，则x=±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定
x，y的大小关系，确定x，y的值，是解决本题的关键．
6、若a，b，c为整数，且|a ﹣b|+|c﹣a|=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．
考点：绝对值。
专题：探究型。
分析：根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|+|c ﹣a|=1确定出a、b、c的取值及相互关系，
进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b |、|b﹣c|，从而问题解决．
解答：解：a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且 |a﹣b|，|c﹣a|为两个非负整数，和为1，
所以只能是|a﹣b|
19
=0且|c﹣a|
99
=1，①
或|a﹣b|
19
=1且|c﹣a|
99
=0．②
由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1；
由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1．
无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1，
所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．
点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出 a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面
性．
7、若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求的值
1999
199 9
1999
考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；代数式求值。
专题：计算题。
分析：先根据相反数的定义得到|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|的关 系，再根据绝对值的性质列出关于x、y的方程组，求
出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进 行计算即可．
解答：解：依相反数的意义有|x﹣y+3|=﹣|x+y﹣1999|．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x﹣y+3|=0且|x+y﹣1999|=0．即
，
由①有x﹣y=﹣3，由②有x+y=1999．
②﹣①得2y=2002，y=1001，
所以===﹣1000．

点 评：本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于x、y的二< br>元一次方程组是解答此题的关键．
8、化简：|3x+1|+|2x﹣1|．
考点：绝对值。
分析：本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符 号．分x＜﹣，﹣≤x＜，x≥三
种情况讨论
解答：解：分三种情况讨论如下：
（1）当x＜﹣时，
原式=﹣（3x+1）﹣（2x﹣1）=﹣5x；
（2）当﹣≤x＜时，
原式=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2；
（3）当x≥时，
原式=（3x+1）+（2x﹣1）=5x．
综合起来有：|3x+1|+|2x﹣1|=．
点评：本题考查了绝对值的知识，属于基础题 ，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即
先求出各个分界点，然后在数轴上标出 这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围
分类讨论化简，这种方法又称为 “零点分段法”．
9、已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．
考点：绝对值。
专题：分类讨论。
分析：首先使用“零点分段法”将y化简，有三 个分界点：﹣3，1，﹣1．则x的范围即可分为x≤﹣3，﹣3≤x≤﹣1，
﹣1≤x≤1，x≥1四 部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定y的值．
解答：解：分析首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选
出最大者．
有三个分界点：﹣3，1，﹣1．
（1）当x≤﹣3时，
y=﹣（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=x﹣1，
由于x≤﹣3，所以y=x﹣1≤﹣4，y的最大值是﹣4．
（2）当﹣3≤x≤﹣1时，
y=（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=5x+11，
由于﹣3≤x≤﹣1，所以﹣4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
（3）当﹣1≤x≤1时，
y=（2x+6）﹣（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣3x+3，
由于﹣1≤x≤1，所以0≤﹣3x+3≤6，y的最大值是6．
（4）当x≥1时，
y=（2x+6）+（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣x+1，
由于x≥1，所以1﹣x≤0，y的最大值是0．
综上可知，当x=﹣1时，y取得最大值为6．
点评：本题主要考查了绝对值的性质，一个正 数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0．对x的分为正确进行分类是解 决本题的关键．

10、设a＜b＜c＜d，求|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|的最小值．
考点：绝对值；数轴。
专题：数形结合。
分析：分析本题也可用“零点分段法”讨 论计算，但比较麻烦．若能利用|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|的几何意
义来解题， 将显得更加简捷便利．
解答：解：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X ，则|x﹣a|表示线段AX之长，同理，|x﹣
b|，|x﹣c|，|x﹣d|分别表示线段BX，C X，DX之长．现要求|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|之和的值最小，就
是要在数轴 上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图所示：

所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，
即（d﹣a）+（c﹣b）．
点评：以上分别用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求 解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化
简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷， 举重若轻的优势．
11、若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
考点：一元一次不等式组的应用。
专题：计算题。
分析：要使原式对任何数x恒为 常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数
之和为零．故本题只有2 x﹣5x+3x=0一种情况．因此必须有|4﹣5x|=4﹣5x且|1﹣3x|=3x﹣1．让4﹣5x≥0 ，3x﹣1≥0
列式计算即可求得x该满足的条件，进而化简代数式即可．
解答：解：x应满足的条件是：，

解得≤x≤，
∴原式=2x+（4﹣5x）+（3x﹣1）+4
=7．
点评：考查代数式的化简 及一元一次不等式组的应用；判断出绝对值内的代数式的符号是解决本题的关键；用到
的知识点为：一个 数的绝对值是非负数．
12、x是什么实数时，下列等式成立：
（1）|（x﹣2）+（x﹣4）|=|x﹣2|+|x﹣4|；
（2）|（7x+6）（3x﹣5）|=（7x+6）（3x﹣5）．
考点：含绝对值符号的一元一次方程。
专题：计算题。
分析：（1）根据等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案；
（2）等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案；
解答：解：由题意得：①（x﹣2）≥0，（x﹣4）≥0，
解得：x≥4；
②（x﹣2）≤0，（x﹣4）≤0，
解得：x≤2，
故x≥4或x≤2时成立；

（2）由题意得：（7x+6）（3x﹣5）≥0，
解得：x≤﹣或x≥．
点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，解决此题的关键是掌握绝对值的性质．
13、化简下列各式：

（1）
（2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|．
考点：绝对值。
专题：计算题；分类讨论。
分析：此题要分类讨论，在x取不同值的情况下，去掉绝对值后结 果不同．特别注意（1）中dex不能取0，题（2）
要讨论全面．
解答：解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，=﹣2；
=0；
（2）当 x≥7时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=3x+8；
当﹣5≤x≤7 时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=x+5﹣（x﹣7）+x+10=x+22；
当﹣10 ≤x≤﹣5时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣（x+5）﹣（x﹣7）+x+10=12﹣x；
当 x≤﹣10 时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣3x﹣8．
点评：本题主 要考查了绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数≥0；0的
绝对 值还是零．
14、若a+b＜0，化简|a+b﹣1|﹣|3﹣a﹣b|．
考点：绝对值。
专题：计算题。
分析：根据a+b＜0，即可确定a+b﹣1与3﹣a﹣b的符号，根据一个 正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．即可去掉式子中的绝对值符 号，即可化简求值．
解答：解：∵a+b＜0
∴a+b﹣1＜0，3﹣a﹣b=3﹣（a+b）＞3
∴原式=1﹣a﹣b﹣（3﹣a﹣b）=1﹣a﹣b﹣3+a+b=﹣2
故答案是﹣2．
点评：本题主要考查了绝对值的化简，正确确定绝对值里边的式子的符号是解题的关键．
15、已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值 5 ．
考点：一元一次不等式的应用。
专题：分类讨论。
分析：先分点，然后根据情况分类讨论，从而得出最大值．
解答：解：分点，﹣2，1，2
当x≤﹣2，y=﹣x﹣2﹣x+1+3x﹣6=x﹣7，y最大时，x=﹣2，y=﹣9
﹣2＜x≤1，y=x+2﹣x+1+3x﹣6=3x﹣3，y最大时，x=1，y=0
1＜x＜2，y=x+2+x﹣1+3x﹣6=5x﹣5，y无最大值
x≥2，y=x+2+x﹣1﹣3x+6=﹣x+7，y最大时，x=2，y=5
所以，y最大值为5
故答案为5．
点评：本题考查了分点和分类讨论的思想和绝对 值符号的除符号．找出x的分点，分类讨论x的取值范围是解题
的关键．
16、设T=|x﹣ p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|，其中0＜p＜15，试求当p≤x≤15时，T的最小值是多少？
考点：绝对值；数轴。
专题：计算题。
分析：由题意得：从p≤x≤15得知，x﹣p≥0 x﹣15≤0 x﹣p﹣15≤0，然后去绝对值即可得出答案．
解答：解：由题意得：从p≤x≤15得知，x﹣p≥0 x﹣15≤0 x﹣p﹣15≤0，
T=|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|=（x﹣p）+（15﹣x）+（15+p﹣x）=30﹣ x，
又x最大是15，
则上式最小是30﹣15=15．
点评：本题考查了绝对值和数轴的知识，属于基础题，根据题给条件去掉式中的绝对值是关键．

17、已知a＜b，求|x﹣a|+|x﹣b|的最小值．
考点：绝对值。 分析：根据：|x﹣a|表示数轴上一点到a的距离，|x﹣a|+|x﹣b|即数轴上一点到a与b的两点 的距离的和，据此
即可求解．
解答：解：∵|x﹣a|+|x﹣b|即数轴上一点到a与b的两点的距离的和，
∴当点在a与b之间时，式子的值最小，最小值是b﹣a．
点评：本题主要考查了绝对值的意 义，正确理解：|x﹣a|表示数轴上一点到a的距离是解决本题的关键．
18、不相等的有理数a， b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么B点应为（ ）
（1）在A，C点的右边；
（2）在A，C点的左边；
（3）在A，C点之间；
（4）以上三种情况都有可能．
考点：绝对值。
分析：根据|a﹣b|表示数轴上 表示a与表示b的两点之间的距离，根据三个点之间距离的关系即可求解．
解答：解：|a﹣b|+| b﹣c|=|a﹣c|表示：数轴上表示a，b，c三个数的点距离之间的关系，a到b的距离，即b到
a的距离与到c的距离的和等于a与c之间的距离，因而点B在A，C之间．
∴选（3）．
点评：本题主要考查了绝对值的意义，|a﹣b|表示数轴上表示a与表示b的两点之间的距离，是解决本题的关 键．