动物与人性行为初一数学本讲主要内容

2020年11月29日发(作者：靳智翼)

初一数学
本讲主要内容

第五章 三角形 5~6
5．探索三角形全等的条件 6．作三角形

二．学习指导

5．探索三角形全等的条件
我们知道两个三角形能够重合，则这两个三角形是全等的三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
换言之，两个三角形也只有对应边相等，对应角相等 ，才能重合．我们可以这样说，两个三角形全等的条件是三个角对
应相等，三条边对应相等．当我们判断 两个三角形是否全等时，是不是一定要研究这六个条件呢？是否缺一不可呢？我们知
道，三角形的内角和 等于180°，那么三角形中，只要知道两个角，就可得到第三个角，故全等的条件中可以减少一个角．这
说明三角形全等的六个条件是可以减少一部分的．
我们下面就来研究哪些条件可以减少．
（1）我们用三条线段，如长分别为4cm，5 cm，6 cm的三条线段，可以画出一个三角形．再 画一个，我们可以看出，
两次画的三角形是全等的．这样我们可以得到结论：
三边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“边边边”或者“SSS”．
由这个结论可知，只要一个三角形的三边的长度确定了，
这个三角形的形状和大小就完全确定了．这个性质叫做
三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活中有很多应用的例子，如电线杆
上的横担，就用两个斜撑加固（如图）．
如果已知一个三角形的三个角，画出的三角形就不一 定全等．因为这样的两个三角形的形状是相同的，但大小不一定相
等．
（2）我们知道一个三 角形的两个角和一条边，来画一个三角形．这里有两种情况，先考虑这边是两个角所夹的边．这
样可以画 出三角形，并且，如果再画一个，定与前一个全等．这样我们可以得到结论：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“角边角”或者“ASA”．
再来考虑一边是其中一个角的对边的情况， 由于三角形的内角和等于180°，第三个角也对应相等，即问题变成了上一
种情况，于是我们可以得到 结论：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“角角边”或者“AAS”．
（3）如果我们知道两条边和一个角，来画 三角形．这也有两种情况，一是条件中的角是两边的夹角．这样可以画出三
角形，并且，如果再画一个， 定与前一个全等．这样我们可以得到结论：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
这个结论可以简写为“边角边”或者“SAS”．
但是，如果条件中的角是一条边的对角，情况就不一样了．这样可以画出两个不全等的三角形，如图．
A
AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠B=∠B
1
，
A
1
但△ABC与△A
1
B
1
C
1
不全等．即
两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等．
6．作三角形
C
B
B
1C
1
我们已经学会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，边和角是三角形 的基本元素，那么我们就能用尺
规作一个三角形和已知三角形全等．
例如，
已知：线段a，c，∠
α
．
求作：△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠
α
．
作法：
1． 作一条线段BC= a；
2． 以B为顶点，BC为一边作∠DBC=∠
α
；
3． 在射线BD上截取线段BA= c；
a
c
α

4． 连结AC．
△ABC就是所求作的三角形．
（如下图）










B
1
C
A
B
C
2
A
CB
C
B

3
4




A
三．例题评析
D
例1如图，AC、BD相交于O，AB=CD，AC=BD，请说明∠A=∠D．
O
分析：要说明可以先说明它们
所在的三角形△ABC和△DCB全等．
C
B
解：连结BC，在△ABC和△DCB中，
因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，
所以△ABC≌△DCB（SSS）．
所以∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）．
说明：要说明也可先说明△ABO和△DCO全等．但本题中要说明这两个三角形全等的条件不够．
例2如图，AB∥CD，AD∥BC，请说明AB=CD．
A
D
解：连结BD，因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDB；
因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，
又BD=DB，所以△ABD≌△CDB（ASA）．
C
B
所以AB=CD（全等三角形的对应边相等）．
说明：这两个例题都是 利用全等三角形来说明线段相等或角相等，都要在已知的图形中寻找或构造全等三角形．
例3 如图，在△ABC中，M在BC上，
A
D在AM上，AB=AC，DB=DC，请说明MB=MC．
分析：要说明MB=MC，可以说明△ABM≌△ACM，
但条件不够，于是要利用已有的条件来推出需要的条件．
D
解：在△ABD和△ACD中，
因为AB=AC，DB=DC，AD=AD，
C
所以△ABD≌△ACD（SSS）．
B
M
所以∠DAB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）．
在△ABM和△ACM中，因为AB=AC，∠MAB=∠MAC，AM=AM，
所以△ABM≌△ACM（SAS）．
所以MB=MC（全等三角形对应边相等）．
例4 已知：线段a，∠
α
，∠
β
．



a
α
β



求作：△ABC，使BC= a，∠B=∠
α
，∠C=∠
β
．
作法：
1．作线段BC= a；
2．以B为顶点，BC为一边作∠CBD=∠
α
；