你吗数学和文学比较知识讲解

2020年11月29日发(作者：郭子真)
和学较




数学文比
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数学和中国文学的比较
很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好象是风马 牛不相
及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其它数学家有同样的
感觉，“ 如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育
有莫大的关系。我幼受庭训，影 响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数
学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。
中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷
礼仪之作，也有 歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风
而服务。战国时，诸子百家都有著述，在 文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非
却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复 兴。文学本身
在古代社会没有占据到重要的地位。司马迁甚至说：“文史、星历，近乎卜祝之
间 ，固主上所戏弄，倡优畜之，流俗之所轻也。”一直到曹丕才全面肯定文学本身
的重要性：“盖文章，经 国之大业，不朽之盛事。”即使如此，曹丕的弟弟曹植却
不以为文学能与治国的重要性相比。他写信给他 的朋友杨修说：
“吾虽德薄，位为蕃侯，犹几戮力上国，流惠下民，建永世之业，留金石之
功。岂徒以翰墨为勋绩，辞赋为君子哉。”
至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助 性的学问。当政者更视
之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有，政府对数学的尊重要到< br>近年来才有极大的改进。西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。帕拉图以通
几何为入其门槛之 先决条件，所以数学家得到崇高地位，在西方蓬勃发展了两千
多年。

一、数学之基本意义
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数学之为学，有其独特之处，它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学
家也如文学家般 天马行空，凭爱好而创作，故此数学可说是人文科学和自然科学
的桥梁。
数学家研究大自 然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法
表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解 的来得广泛，我们认为数字、几何
图形和各种有意义的规律都是自然界的一部份，我们希望用简洁的数学 语言将这
些自然现象的本质表现出来。
数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论 证的逻辑方法推导出来，
但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部份数学著作枯燥乏味，而有些却
令人叹为观止，其中的分别在那里？
大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来 决定研究的方向，这种
感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养< br>有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性
的作用。文化修养 是以数学的功夫为基础，自然科学为副，但是深厚的人文知识
也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心 灵对大自然的感受，所以司马迁写史
记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
刘勰在文心雕龙．原道篇说文章之道在于：“写天地之辉光，晓生民之耳
目。”
刘勰以为 文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：“人与天地相参，乃性
灵所集聚，是以谓之三才，为五行之 秀气，实天地之灵气。灵心既生，于是语言
以立。语言既立，于是文章着明，此亦原于自然之道也。”
文心雕龙．风骨：“诗总六义，风冠其首，斯乃化感之本源，志气之符契
也。”
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历代的 大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所
出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉 对变分法的开创性发明也是由于探索自然
界的现象而引起的。
近代几何学的创始人高斯认 为几何和物理不可分，他说：“我越来越确信几何
的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类 而验证，我们或许能在未
来领悟到那无法知晓的空间的本质。我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一
类，几何和力学却不可分割。”
二十世纪几何学的发展，则因物理学上重要的突破而屡次 改变其航道。当狄
拉克把狭义相对论用到量子化的电子运动理论时，发现了狄拉克方程，以后的发
展连狄拉克本人也叹为观止，认为他的方程比他的想象来得美妙，这个方程在近
代几何的发展起着关键 性的贡献，我们对旋子的描述缺乏直观的几何感觉，但它
出于自然，自然界赋予几何的威力可说是无微不 至。
广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因
为它能赋 予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷
惘，时而兴奋，自觉同诗经、楚辞 的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为
一体，自得其趣。
捕捉大自然的真和美，实 远胜于一切人为的造作，正如文心雕龙说的：“云霞
雕色，有逾画工之妙。草木菁华，无待锦匠之奇，夫 岂外饰，盖自然耳。”
在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，
它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其它几何学家都不相信它存在，我却锲
而不舍，不分昼 夜地去研究它，就如屈原所说：“亦余心之所善兮，虽九死其犹未
悔。”
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我花了 五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学
上的重要工具。当时的心境，可以用 以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双
飞。”
以后大批的弦理论学家参与研究这个结 构，得出很多深入的结果。刚开始
时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但 我深信造
化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比－丘空间的理
论已经 成为数学的一支主流。

二、数学的文采
数学的文采，表现于简洁，寥寥数 语，便能道出不同现象的法则，甚至在自
然界中发挥作用，这是数学优雅美丽的地方。我的老师陈省身先 生创作的陈氏
类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中
成 为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明
“采菊东蓠下，悠然见南山 ”的意境。 从欧氏几何的公理化、到笛卡儿创立的
解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、 黎曼创立的内蕴几何，一直到
与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色 于任
何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
数学家在 开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例
如欧几里得证明存在无穷多个素数，开 创反证法的先河。高斯研究十七边形的对
称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华 茂，使人想起五
言诗的始祖苏(武)李(陵)唱和诗和词的始祖李太白的忆秦娥。

三、数学中的赋比兴
中国诗词都讲究比兴，钟爃在“诗品”中说：“文已尽而意有余，兴也。因物喻
志，比也。”
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刘勰在 文心雕龙中说：“故比者，附也。兴者，起也。附理者切类以指事，起
情者依微以拟议。起情故兴体以立 ，附理故比例以生。”
白居易：“噫，风雪花草之物《三百篇》中岂含之乎？顾所用何如耳，设如北
风其凉，
假风以 刺威虐也，雨雪霏霏，因雪以愍征役也……比兴发于此而义归于彼。”他批
评谢朓诗“‘余霞散成绮，澄 江净如练。’丽则丽矣，吾不知其所讽焉，故仆所谓嘲
风雪，弄花草而已，文意尽去矣。”
有深度的文学作品必需要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻
求真知时，往往只能 凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉
而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人 的文化修养而定。
文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界，例如贾岛只追究“僧推月下门”或是“僧敲月下门”的意境，而不在乎所说的是不同的事实。数学家
为了创造美好 的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可
以尽情的发挥想象力，然而文章终究有 高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的
手法总会比较丰富。
中国古诗十九首，作者年 代不详，但大家都认为是汉代的作品。刘勰说：“比
采而推，两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行 推敲而得出的结论。在数学的
研究过程中，我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时，不必 凭实
验，而是凭数学的文化涵养去猜测去求证。
举例而言，三十年前我提出一个猜测，断 言三维球面里的光滑极小曲面，其
第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多，只是凭直觉，利用相关情 况模拟而
得出的猜测，最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上
的比兴 很相似。
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我们看洛神赋：“翩若惊鸿，婉若游龙。荣曜秋菊，华茂春松。仿佛兮若轻云
之蔽月，飘飘兮若流风之回 雪。”
由比喻来刻划女神的体态，又看诗经：“高山仰止，景行行止。四牡騑騑，六
辔如 琴，靓尔新婚，以慰我心。” 也是用比的方法来描写新婚的心情。
我一方面想象三维球的极小子 曲面应当是如何的匀称，一方面想象第一谱函
数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将 曲面最多切成两块，
于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。
当时我与卡 拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一
位研究生问为甚么会做这样的猜测，不待 我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力
了。
数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空 间现象的对比。我们虽然看不
到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变 化。
我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的
猜测，我认 为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯
源到十九世纪和二十世纪初期曲率和 保角映像关系的研究。 另外一个对比的方
法乃是数学不同分枝的比较，记得我从前用爱氏结构证明
代数几何中一个重要不等式时，日本数学家Miyaoka利用俄国数学家 Bogomolov
的代数稳定性理论也给出这个不等式的不同证明，因此我深信爱氏结构和流形的
代数稳定有密切的关系 ，这三十年来的发展也确是朝这个方向蓬勃地进行。
事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种 不同的学问而创造成功的，它
是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典 的引
力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力
场的方法， 巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
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爱氏所用的工具是黎曼几何，乃是黎曼比他早五十年前发展出 来的，当时的
几何学家唯一的工具是对比，在古典微积分、双曲几何和流形理论的模拟后得出
来 的漂亮理论。反过来说，广义相对论给黎曼几何注入了新的生命。
二十世纪数论的一个大突破乃是 算术几何的产生，利用群表示理论为桥梁，
将古典的代数几何、拓朴学和代数数论比较，有如瑰丽的歌曲 ，它的发展，势不
可挡，气势如虹，“天之所开，不可当也”。
Weil研究代数曲线在 有限域上解的问题后，得出高维代数流形有限域解的猜
测，推广了代数流形的基本意义，直接影响了近代 数学的发展。筹学所问，无过
于此矣。
伟大的数学家远瞩高瞻，看出整个学问的大流，有 很多合作者和跟随者将支
架建立起来，解决很多重要的问题。正如曹雪芹创造红楼梦时，也是一样，全书
既有真实，亦有虚构。既有前人小说如西厢记、金瓶梅、牡丹亭等的踪迹，亦有
作者家族雕零、 爱情悲剧的经验，通过各种不同人物的话语和生命历程，道出了
封建社会大家族的腐败和破落。红楼梦的 写作影响了清代小说垂二百年。
西厢记和牡丹亭的每一段写作和描述男女主角的手法都极为上乘， 但是全书
的结构则是一般的佳人才子写法，由金瓶梅进步到红楼梦则小处和大局俱佳。这
点与数 学的发展极为相似，从局部的结构发展到大范围的结构是近代数学发展的
一个过程。往往通过比兴的手法 来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几
何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界 浓缩在一点。微分几何
和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了< br>解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有
限域上的几何，然 后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。数论学
家在研究 Langlands理论时也多从局部理论开始。
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好的作品需要赋比兴并用。钟爃诗品：“直书其事，寓言写物 ，赋也。宏斯三
义，酌而用之，干之以风力，润之以丹采，使味之者无极，闻之者动心，是诗之
至也。若专用比兴，则患在意深，意深则词踬。若但用赋体，则患在意浮，意浮
则文散。”
在数学上，对非线性微分方程和流体方程的深入了解，很多时需要靠计算器
来验算。很多数学家有能力做 大量的计算，却不从大处着想，没有将计算的内容
与数学其它分枝比较，没有办法得到深入的看法，反过 来说只讲观念比较，不作
大量计算，最终也无法深入创新。
有些工作却包含赋比兴三种不 同的精义。近五十年来数论上一个伟大的突破
是由英国人Birch和Swinneton-Dyer提 出的一个猜测，开始时用计算器大量计
算，找出L函数和椭圆曲线的整数解的连系，与数论上各个不同的 分枝比较接
合，妙不可言，这是赋比兴都有的传世之作。

四、数学家对事物的看法的多面性
由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。例
如对杨柳的描述：
温庭筠：“柳丝长，春雨细……”
吴文英：“一丝柳，一寸柔情，料峭春寒中酒……”
李白：“年年柳色，灞陵伤别。”“风吹柳花满座香，吴姬压酒劝客尝。”
周邦彦： “柳阴直，烟里丝丝弄碧，隋堤上，曾见几番，拂水飘绵送行
色……长亭路，
年去岁来，应折柔条过千尺。”
晏几道：“舞低杨柳楼心月，歌尽桃花扇底风。”
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