俺是一个铁匠数学与数学之间的奇妙联系

2020年11月29日发(作者：安继光)
数学与数学之间的奇妙关联
我们这个学期通过学习(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对 应
杨辉三角的第(n+1)行中的每一项粗略的了解到了杨辉三角。(如下
图：)
1< br>1
1
1
1
3
2
3
1
1
1< br>4641
15101051
1615201561
1
881
6 843691
01
为了研究方便，我用另一种方法来展示：
1
1
1< br>1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
331
4641
51051
615201561
721353521 71
8285670562881
936841
1
很明显，杨辉三角的构成条 件就是第n行第m列的数等于第n-1
行第m列与第n-1行第m-1列的和。
这是我今天的内 容一半。
另一半是组合数学。应该不陌生吧，小学时老师应该讲过。比如
说一个盘子里有4个互 不相同的四种水果，要求取出任意两个水果的
组合方案数。很简单对不对，就是C（4,2）=6。今天我要讲的就是杨辉三角与组合数学之间的关系。
我先引入一道例题：
有一个2行2列的 表格，要求从左上角走到右下角，每次只能向
右或者向下走一格，求共有多少种走法。
这还不简 单，一数就数出来了，答案就是2。
那如果是4行4列呢，甚至是10行10列呢，所以数，是不能解< br>决根本问题的。我们可以用另一种方法：推。
如果你现在要求到达第i行第j列的方格的方案数， 而你已经知
道到达第i-1行第j列和第i行第j-1列分别是92和92。（如下图）
x92
92
？
那么到达第i行第j列的方格的方案数一定是92+92=184。为 什
么？我们可以这么想，到达你上一个方格的方案数是92，你只要把
这92个方案最末尾加多 一个下的指令，那么这92个方案都能到达当
前方格；同理，到达你左一个方格的方案数是92，你只要 把这92个
方案最末尾加多一个右的指令，那么这92个方案都能到达当前方格。
所以到达当前 格的方案数就是等于它上一个方格的方案数加上当前
方格的方案数（如下图）。
x
92
92
184
那么会不会出现有某种方案不属于这两种情况呢？我可以明确的
告 诉你，不会，因为到达当前格子，你只有向下和向右可以到达这个
格子，而这两种情况就对应了我上面说 的两种情况（边缘自行处理）。
当我们把表格按照此方法填满之后，会发现一些神奇的东西。
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
410
20
35
56
1
5
15
35
70
126
1
6
21
56
126
252
是不是 看上去很像什么东西？当我们把表格去掉，由斜线的顺序
来看，就是这样的（如下图）
1
1
1
1
1
1
6
21
55
126
252
5
15
35
70
126
4
10
20
35
55
3
6
10
15
21
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
是不是很像杨 辉三角，准确来说，它就是杨辉三角的一部分。