浮游生物2(数学与逻辑学的关系)

2020年11月29日发(作者：房光斗)
研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性
一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史 学界，对于中国传统数学中的逻辑思想与方法的研
究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看， 加强这方面的研究却具有显明的必要性。
一、从逻辑与数学的关系看
数学与逻辑的研究对象 虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，
才使得它们关系十分密切， 在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。
一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻 辑是研究思维形式及其规律和方法的一
门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因 而均具有高度的抽象性，所以在分类上
它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往 成为研究其它科学的工具，因此常常同
被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下 去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑
主义、直觉主义，过多强调了数学 和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻
辑的关系，在于把握二者关系的辩 证性──同一、差异又互补。
首先，肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：
(1) 数学和 逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，
形式结构都是 高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具
体内容；
(2) 数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科< br>学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；
(3) 数学和逻辑都具有广 泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪
里就要逻辑，一切科学都在应 用逻辑。
其次，数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对 象是
一切事物的数与量的属性，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务 和目
标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性，而逻辑的主要目标和任务却是 为了
解决思维推理形式的有效性或真值性问题。
最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。 < br>一方面数学可能得益于逻辑。从数学或其某一分支的产生和发展来看，它都是人对客观世界中抽象
出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。在其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人
提炼整理阶段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻
辑(开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些)，特别是由于数学是一门形式(或演绎)科学，它的结论的正确性不能建立在实验之上，能依赖于逻辑的推理证明，这是因为逻辑也是一间形式< br>科学，其规则是普遍有效的，所以在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系统时(运用公
理化方法)，它就由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定义和推理的规则，然后由原始概念依据 定
义规则逐次建立起其它的概念(所谓派生概念)，及由公理出发，借助于逻辑推理逐次得到进一步的结 论(定
理)，最后组成一个有机的整体。这里运用逻辑的规则和方法是它显着的特点，体现着它的结论的 确定性和
逻辑的严谨性。由此可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要的，如果离开了逻辑，就将成为 一些经验
材料的堆砌，也不可能成为一门科学。数学是高度抽象的学科，它的公式，定理、法则、原则等 的正确性
不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑 ，数学的
大厦就无法建造，至少以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根 本不可能
存在的。
另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。很明显数理逻辑的诞生和发展 是离不开数学方法应用
的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今 逻辑学的最先发展就不
可能实现，如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，那么当 今或今后逻辑学的发展
与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。
总之，数学与逻辑的发展 是密切相关的，它们相互影响互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前
进，反过来逻辑发展又影响和推 动了数学的进步。
当然，上面的论述，并不是说我们对于历史文化的演进过程中逻辑与数学或者数学与 逻辑的关系就
是十分明晰的了，相反，我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认识 ，甚至于是十
分模糊的，特别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中国传统数学中逻辑内容，达到厘清中国 传统数学与中
国古代逻辑的关系具有十分重要的理论意义和指导现实的意义。