横翔捷出数学史与数学文化

2020年11月29日发(作者：卜得元)
数学史与数学价值
摘要：数学史上三次危机的发生使得人类更进一步的了解数学，数学的思想 、精神、文化对
于人类历史文化变革有有着重要的影响。数学文化的研究可以使我们发现数学美，了解数 学
的内涵。
关键词：数学发展 三次数学危机 分析方法 数学美 数学与哲学
一、 前言
数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中 ，却
经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次
危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，
最后是柯西 解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的
轩然大波，最后是将集合 论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。在数学发展
史中，我们可以发现数学的思想，数学 的美所在。
二、 数学的发展历程
首先是数学的萌芽阶段，在这一时代的杰出代表是古巴比 伦数学、中国数学、埃及数学、
印度数学等。古埃及文化可追溯到公元前4000年，在那里，公元前3 200年就已有了统一的
国家。公元前2900年，开始建筑金字塔，就金字塔的建筑来讲，已经具备一 些初等几何的
知识；巴比伦文化可以上溯到公元前2000年左右的苏美尔文化，这一时期，人们基于对 量
的认识，经建立了数的概念。从大约公元前1800年开始，巴比伦已经使用较为系统的以60
为基数的数系；另一个重要的是古希腊数学，希腊文化在世界文明史上的贡献是至高无上的。
它广泛的 吸取了其他文明中的有价值的东西，创立了自己的文明与文化，对西方文明乃至世
界文明的发展起了重要 作用；同时，在中亚和东方也创造了灿烂的数学文化。自公元前8
世纪起，印度已有一些丰富的数学知识 。中国数学是世界数瑰宝，在仰韶文化中，已经出土
的陶器上已刻有用 |，||，|||，||||等 表示1，2，3，4的记号。西安半坡出土的陶器中就
有用圆点堆成的三角形或正多边形。 然后是常数 学阶段，这时期，数位希腊数学家取得辉
煌成就，在2000年时间内，希腊人创造的文明一直延续到牛 顿时代。M.克莱因在评价希腊
人的《几何原本》和《圆锥曲线》时说：“从这些精心撰述的著作中，我 们看得出此前三百
年间数学上的创造性工作，或此后数学史上关系重大的一些问题。”说道希腊时代的辉 煌，
不得不提到希腊璀璨的数学家们。毕达哥拉斯，曾被人们认为是一个神秘主义者，他把证明
引入了数学，这也是他最伟大的功绩之一。毕达哥拉斯还提出了抽象，抽象引发了几何的思
辨，从实物的 数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向科学的开始。在希腊数学
时期还有芝诺的四个简单悖 论，这四个简单悖论震惊了哲学界。在希腊数学里最主要的工作
精华和最大的光荣落在了欧几里德和阿波 罗尼奥斯的头上。欧几里德撰写的《几何原本》是
古希腊数学的集大成，它充分发挥了希腊哲学的优势， 借助演绎推理，展现给人们一个完整
的典范的学科系统。。阿波罗尼奥斯的突出工作是《圆锥曲线论》， 《圆锥曲线论》的杰出工
作，几乎将圆锥曲线的所有性质开采殆尽，以至使后代许多几何学工作者至少是 在笛卡尔之
前的近2000年间，不敢对此再有发言权。后人提到评价圆锥曲线，评价阿波罗尼奥斯，就
联想到我国李白登黄鹤楼时，看到崔颢诗后的“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”的那样
一种 心情。还有阿基米德的得意之作《论球与圆柱》，也是数学上的杰作。中国著作《九章
算术》给出了三元 一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进
行运算的规则，也给出了求平方 根和立方根的方法。 然后就进入了变量数学建立时期，
有笛卡尔著作《几何学》，以及牛顿和莱布 尼兹创立的微积分，，在数学发展史上是很重要的
一个里程碑。在大一的时候就学了微积分，微分及其中 的变量、函数和极限等概念，运动、
变化等思想，是辩证法渗入了全部数学：并使数学成为精确表述自然 科学和技术的规律及有
效地解决问题的有力工具。 最后是现代数学时期，其中比较突出的问题是高于四 次的代数
方程的根式求解问题、欧几里德几何中平行线公设的证明问题和微积分方法的逻辑基础问题。< br>代数、几何、分析领域中这些问题得以研究和解决，数学学科的分支得以迅速展。顺着时间
的发展 将数学史大概说了下，现在说说在数学史上出现的三次数学危机。 第一次数学危机：
由毕达哥拉斯提出 的著名命题“万物皆数”和“一切数均可表成整数或整数之比”。毕达哥
拉斯定理提出后，其学派中的一 个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角
线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整 数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来
表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当
时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学 信仰，使毕达哥拉斯
学派为之大为恐慌。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学 理论与实
践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工
具后变得 易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两
人的理论都建立在无穷 小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混
乱的。因而，从微积分诞生时就遭到 了一些人的反对与攻击。 罗素悖论与第三次数学危机：
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论， 1903年，英国数学家罗素提出著名的罗素