杉树种类“数学”简介 含义 起源 历史与发展

2020年11月29日发(作者：和亲仁)
数学



数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的
科学。
由于生 活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由
用手指或实物计数发展到用数字计数 。在中国，至迟在商代，即已出现用十进制
数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满的十 进位值制。在成书
不迟于1世纪的《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平、立方的计
算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概
念。刘徽在他注解的《 九章算术》（3世纪）中，还提出过用十进小数表示无理数
平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则 在16世纪S.斯蒂文以后）十进小数
才获通用。在这本着作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆 周长，成为后
世求圆周率更精确值的一般方法。虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，
但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用
上不可缺，也为数学初期 教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的
欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑 关系的研究。早在欧几里得的
《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。 古希
腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现
了复数。 在近代，数的概念更进一步抽象化并依据数的不同运算规律而对一般的
数系统进行独立的理论探讨，形成 数学中的若干不同分支。
开平方和开立方是解最简单的高次方程。在《九章算术》中，已出现解某 种
特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出
现了求 高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，
通称为天元术与四元术。与之相 伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，
已接近于近世的代数学。在中国以外，9世纪阿拉伯的 花拉子米的着作阐述了二次
方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割 术
的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而导源于古希
腊、埃及传统 的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。16世纪时，F.
韦达以文字代替方程系数，引入了 代数的符号演算。对代数方程解的性质的探讨，
则从线性方程组导致行列式、矩阵、线性空间、线性变换 等概念与理论的出现；
从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。而< br>近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集体的理论
研究。
形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念而往往以图画来
表示，形之成为数学对象是由 工具的制作与测量的要求所促成。规矩以作圆方，
中国古代夏禹治水时即已有规、矩、准、绳等测量工具 。《墨经》中对一系列的几
何概念，有抽象概括，作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽《海岛算经》 给出
了用矩观天测地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算
术》中，除 勾股理论外，还提出了若干一般原理以解多种问题。例如出入相补原
理以求任意多边形面积；阳马鳖臑的 二比一原理（刘徽原理）以求多面体的体积;5
世纪祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理以求曲形体 积特别是球的体积；还有
以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代（约10世纪）以 后，
中国在几何学方面的建树不多。中国几何学以测量与面积体积的量度为中心，古
希腊的传统 则重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》，
建立了用定义、公理、定理、证明 构成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，
影响及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究，导致 了19世纪非欧几里得几
何学的产生。欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学。18世纪，G.蒙日应 用分
析方法于形的研究，开微分几何学的先河。C.F.高斯的曲面论与（G.F.）B.黎曼的
流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法；19世纪（C.）F.克
莱因以群的观点 对几何学进行统一处理。此外，如G.（F.P.）康托尔的点集理论扩
大了形的范围；（J.-）H. 庞加莱创立了拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象。
这些都使几何学面目一新。
在 现实世界中，数与形，如影之随形，难以分割。中国的古代数学反映了这
一客观实际，数与形从来就是相 辅相成，并行发展的。例如勾股测量提出了开平
方的要求，而开平、立方的方法又奠基于几何图形的考虑 。二次、三次方程的产
生，也大都来自几何与实际问题。至宋元时代，由于天元与相当于多项式概念的< br>引入，出现了几何代数化。在天文与地理中的星表与地图的绘制，已用数来表示
地点，不过并未发 展到坐标几何的地步。在欧洲，14世纪N.奥尔斯姆的着作中已
有关于经纬度与函数图形表示的萌芽， 而17世纪R.笛卡儿提出了系统的把几何事
物用代数表示的方法及其应用，在其启迪之下，经G.W. 莱布尼茨、I.牛顿等的工作，
发展成了现代形式的坐标制解析几何学，使数与形的统一更臻完美，不仅 改变了
几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法，还引起了导数的产生，成为微积分学
产生的根 源。这是数学史上的一件大事。在20世纪中，由于科学与技术上的要求
促使数学家们研究运动与变化， 包括量的变化与形的变换(如投影)，还产生了函数
概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入 了一个研究变量的新时代。