ca4527数学与哲学的关系

2020年11月29日发(作者：席元骧)
数学与哲学的关系
数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究 在教
学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个
性的学科。 这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主
义哲学是研究数学、自然科学、社会 科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科
学。马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指 导意义。它来自于
具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的
指导作用。
因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想
贯 彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，
用马克思主义哲学的观点 去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主
义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻 明了地看待数学问题的思路，
清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。这 就需
要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，
用马克思主 义哲学指导数学学习和数学教学。
1、数学对哲学的作用
美国数学家罗滨逊给出了实数的非 标准模型，为无限大、无限小提供了严格
的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积 分理论——非标
准分析。
在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数 轴成为
一个层次结构空间。在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；
单子内部 是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同
单子外普通实数是一样的，可重新 作为微分运算的出发点。因而非标准分析的建
立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了 一个适宜的数学模
型。而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的
变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。
法国数学家托姆，在考察 自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用
微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学 模型，用以预测和控制该类客
观对象，这就是突变论的产生。
突变论提供的模型表明，在一定 条件下，质变可以通过飞跃的形式来实现，
也可以通过渐变的方式来实现。在给定的条件下，只要改变控 制因素，一个飞跃
过程可以转化为渐变；反过来，一个渐变过程也可以转化为飞跃。突变模型还表
明，在奇点 (质变点)领域事物状态的变化，不仅具有多种可能性，而且有它的
随机性。
2、数学的发展促进了逻辑的模式一合情推理的发现
美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观 察分析众多典型事例基础上，经过
比较综合，概括出合情推理的这一发现模式。
波利亚把科 学推理分成论证推理和合情推理两种。论证推理是一种必然推理，有
逻辑所制定和阐明的严格标准，每一 步推理步骤都须经的住逻辑规则检验。合情
推理则是一种或然推理，它由一些猜想构成的，因而它的标准 是不固定的。事实
上，人类的认识都是经过合情推理才得到，而论证推理的主要作用在于肯定或解
释我们所得到的知识。波利亚给出了三种合情推理类型：渐弱证明式、渐弱启发
式、以及启发式。
无数事实证明，合情推理模型具有很大的普遍适应性，是科学发现逻辑的一般模
式。
3、数学发展使得科学思想方法产生重大变革
数学中某一重大成果及某一重要思想方法的取得 ，有时会为科学思想方法带
来巨大活力，引起科学思想方法的重要变革。美国控制论专家扎德于1965 年创
立的模糊数学就是典型事例。
模糊数学是以模糊性事物和现象为研究对象的，模糊集合 论与经典集合论之
间的根本区别在于两者赖以存在的基本概念集合的意义不同。在经典集合中，一
个元素是否属于一个集合，只有两种可能，属于或不属于，二者必居其一，其特
征函数的逻辑基础是二 值逻辑，它是对事物 “非此即彼”的定量描述；模糊集
合是把特征函数推广到隶属函数，把仅能取0与1两个值推广到可以取 [0，1]
的任何实数值，其逻辑基础是多值逻辑，它是对事物 “亦此亦彼”状态的定量
描述。模糊集合是与经典集合密切相关的。
当隶属函数的值只含0， 1两个数的集合时，这时的隶属函数就是经典集合中的
特征函数，此时的集合就是通常的经典集合。当把 经典集合的特征函数视为隶属
函数时，则经典集合也可看作是模糊集合。经典集合是特殊的模糊集合，而 模糊
集合是经典集合的推广。
模糊理论已不断丰富，应用范围不断扩充，就基础理论而言， 已经涉及到诸
如模糊数、模糊关系、模糊图、模糊概率、模糊判断、模糊逻辑、模糊识别以及
模 糊控制等；就应用领域来说，已渗透到物理学、化学、生物学、医学、气象学、
地质学、社会科学、人文 科学、系统论、控制论、信息论与人工智能等。可见，
模糊数学给整个科学带来巨大的方法论启迪，它是 科学思想史上的一次重大转
折。而今，认识和利用模糊数学已经成为观察世界、分析客观事物的一个重要 基
本方法。
4、 哲学为数学发展起到了指导作用
在人类的科学手段、科学方法尚 未达到真切认识事物的时候，哲学往往有很
强的前瞻作用，这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物 ，对科学的发展方
向能够正确把握。
哲学作为人类认识世界的先导，其首先应当关注的是科 学的未知领域，其往往对
科学的发展有预言性定论。在一门学科发展的萌芽阶段，其粗浅认识经常以哲学
的形式出现。这方面的例子举不胜举。
哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈 论元素在化学家研究元
素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。
希尔伯特曾直言不讳，他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念。罗素从
分析哲学的基本立场出发 ，坚持逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代
的观点。从这个意义上来讲，哲学实际上就是数学 发展前进路上的方向盘。
数学作为空间形式和数量关系的科学，其研究的是客观世界的运动规律，因
而其必然是唯物的。数学对象是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立
存在。数学是形 式的，但决不是形式主义的。数学的抽象形式离不开现实世界，
在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象 的数学内容在现实世界中都能找到原
型。如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起 的实际操作
过程；微积分的概念，反映了自然界无限接近的结果。不过，数学形式对客观现
实而 言，具有相对独立性。数学理论住／往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，
就会涌现出简明深刻、和谐 统一的理论。但是，我们应当充分认识到，这仅仅是