石门福地数学史与数学教育的思考

2020年11月29日发(作者：惠钟锡)

第15卷第3期

2006年8月
数 学 教 育 学 报
Vol.15, No.3

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Aug.,

2006

对数学史与数学教育的思考
张 楠
1
，罗增儒
2

（1．西南大学 数学财经学院，重庆 400715；2．陕西师范大学，陕西 西安 710062）
摘要：数学史料在数学教育中的作用可以概括为以下几方面：数学史料对理解数学发展 的作用；数学史料对学生掌握数
学思想的作用；数学史料对开发学生数学思维的作用；数学史在课堂教学 中的作用．数学史教育应遵循以下4原则：科学性、
实用性、趣味性、广泛性．
关键词：数学史；数学教育；教学
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2006）03–0072–04
法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾 说：“如果我们想要
预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和
现状”
[1]
．在教学中，尽管我们反复强调学习知识的意义，
但是如果没有适当的历史叙述，那么这 些知识的来龙去脉对
于学生来说仍然是感到费解的．对于学习数学的学生来说，
一些课程所介绍 的通常是一些似乎没有什么关系的数学片
段，而历史可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容互相联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来．因此数
学教学中，应在传授数学知识的同时，把 一些重要的数学史
料介绍给学生，使学生掌握数学发展的基本规律，了解数学
的基本思想，同时 ，学生还可以看到数学发展的曲折，数学
家们所经历的艰苦漫长的道路．数学史中那些能够深深感动学生、惊心动魄、引人入胜的例子不胜枚举．从而调动学生
学习数学的积极性和创造性，使学生不仅 获得真知灼见，还
将获得顽强学习的勇气，进而塑造完善的人格．
一定时期内独立于算术孤立 发展；求极大、极小问题、求曲
线长等问题的研究，直接促使牛顿、莱布尼兹发明微积分．微
积 分产生后，出现了许多分支，如常微分方程、偏微分方程；
分析学中的“病态”函数给勒贝格以启发，后 来勒贝格创立
了测度论；著名数学家康托因研究分析学问题而发明朴素集
合论，朴素集合论又包 含悖论．因此，集合论应运而生．深
刻地理解数学史的内容，才能了解数学发展的基本进程．
（3）对于学生来说，通常的数学课程直接给出一个系统
的逻辑叙述，使人们产生这样的印象：数学家们 几乎理所当
然地从定理到定理，数学家们能克服任何困难，并且这些课
程完全经过锤炼，己成定 局．学生被湮没在成串的定理中，
特别是当他们刚开始学习这些课程的时候．历史却形成对
比， 它教导我们，一个科目的发展是由汇集不同方面的成果，
点滴积累而成的．我们也知道，常常需要几十年 ，甚至几百
年的努力才能迈出有意义的几步．不但这些科目并非天衣无
缝，就是那些已经取得的 成就，也常常只是一个开始，许多
缺陷有待填补，或者真正重要的扩展还有待创造．今天的小
学 生都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，
而这些抽象的数是从人们长期的计数 实践中产生的，至于它
的记法，又是经过漫长的历史演变的．今天的人们会解一元
三、四次方程 ，而在古代中世纪人们仅会一元一次方程、一
元二次方程的求解情况，直到文艺复兴时期人们才掌握一元
三次、四次方程的求解情况，正是由于塔尔塔利亚和菲奥尔
在1835年2月22日那场别开生 面的数学比赛推动了一元三
次方程的解法，也正是由于这场比赛，深深地吸引了意大利
米兰的一 位数学家卡尔丹诺，他使一元三次方程的解法更为
完善．而卡尔丹诺的学生费拉里根据三次方程的求根公 式，
启发了对四次方程的研究．四次以上的方程是否有一般的代
数方法？从16世纪的后半叶到 19世纪初的二百多年，无数
数学家和数学爱好者，耗尽了心血，绞尽了脑汁，仍然一无
所得． 法国数学大师拉格朗日千辛万苦利用对称多项式理
论、置换理论、预解式理论导出了适用二次、三次、四 次方
程的根式解法，但对五次以上的方程仍然束手无策．1824
—1826年挪威数学家阿贝 尔证明了一般五次方程不可能有
1
数学史料在数学教育中的作用

1.1
数学史料对理解数学发展的作用

（1）数学发展到今天，已经延伸出上百个分支，但 它毕
竟是一个整体，并且有它自己的重大问题和目标．如果一些
分支专题对于数学的心脏无所贡 献，它们就不会开花结果，
一些被分裂的学科就面临着这种危险．如由于在工业技术上
的极大应 用，哈密顿四元法曾传播很广，风行一时，但不久
后，四元法就不再使用了．如同Hilbert说的： “数学是一个
有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分
离的结合．”
[2]

（2）数学课程所介绍的似乎是一些没有什么关系的数学
片段．历史可以提供 整个课程的概貌，不仅使课程的内容互
相联系，而且使它们和数学思想的主干也联系起来．数学史
既可以展示数学发展的总体过程，又详加介绍各学科的具体
发展过程，把握数学这一发展过程可使学生 视野开阔，深刻
理解数学的本质，以便在今后的教学中能高瞻远瞩．把握数
学这一发展过程，还 可以使学生加深对所学知识的理解．正
如无理数是由于度量问题而产生的，它的发现导致几何学在
收稿日期：2006–02–27
作者简介：张楠（1968—），女，辽宁铁岭人，博士生，主要 从事数学教育研究．宋乃庆教授为本文通讯作者．
第3期 张 楠等：对数学史与数学教育的思考 73
根式解，并由此导出了可变群论，即阿贝尔群的理论．1828
年法国年轻数学家伽罗华 证明了五次以上代数方程有根式
解的充要条件，由此产生了伽罗华理论．由此可见，今天看
似简 单的问题，历史上留下了多少数学家艰辛跋涉的足
迹．数学事业每前进一步，都要付出多么崇高的劳动． 希尔
伯特要大家回答的23个问题，近一百年过去了仍未完全解
决．1976年，在美国伊里诺 斯大学的国际数学会议上数学
家们提出了二百多个问题和猜想，到现在已解决的很少．数
学大厦 基础上的裂缝，从1902年的“罗素悖论”，历经八十
多年仍未完全弥合．数学的发展并非一帆风顺．
（4）课本中的字斟句酌，未能表现创作过程中的斗争、
挫折、以及数学家所经历的艰苦漫长的 道路．通过学习数学
史，学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将
获得顽强学习的 勇气．因为看到数学家如何跌跤，如何在迷
雾中摸索前进，如何一点一滴地得到他们的成果．这样对于< br>自己在学习中遇到的挫折就不会感到颓丧．我们都知道17
世纪最伟大的法国数学家费马提出的“ 费马大定理”——不
．从那
存在正整数x，y，z，n，使得x
n
+y
n
=z
n
（当n＞2时）
时起，许多卓越的数学家在此问题上付出了数不清 的艰辛努
力．1779年欧拉给出了一个n＝3的证明．不久，欧拉又出
色地证明了n=4的情 况．大约1825年，勒让德和狄利克雷
独立地对n＝5给出了证明；拉梅于1839年对于n＝7证明
了此定理．德国数学家库默尔对此问题的研究做了有意义的
推进．1843年提出了“库默尔理 想数”为费马关系式的不
可解性导出了一个条件．1908年，德国数学家佛尔夫斯克
尔给哥廷 根科学院留下10万马克，作为这个“定理”的第
一个证明的完全奖金．三百多年过去了，直到1995 年由英
国的数学家怀尔斯成功地证明了这个定理．被称为“20世
纪最辉煌的数学成果”．由此 可见，多少数学家经历了艰苦
漫长的道路，才取得了最后的成功．
数学的发展很少有风平浪静 的时候，每前进一步，都充
满斗争和挫折，特别在重大突破的关键时刻，不仅会遇到世
俗观念的 阻碍，还会遇到数学界传统观念的排挤，数学家本
人也会犯错误．天文学家兼数学家伽里略，被罗马教皇 夺去
了生命；解析几何的创始人笛卡尔受到教会的残酷迫害；第
一个发现无理数的希伯斯被毕达 哥拉斯的忠实信徒们抛进
了大海．其它如牛顿、莱布尼茨创建的微积分学、罗巴切夫
斯基创建的 非欧几何、康托创建的集合论，当初都曾受到攻
击．著名的数学家柯西在论证函数项级数收敛性时曾犯过 错
误．优秀的数学家哈密顿也曾为“四色问题”冥思苦想13
年而不得其果．但是数学家们并没 有被困难、挫折、诽谤所
吓倒，而是充满勇气，充满创造，披荆斩棘，克服种种困难，
推动数学 的车轮滚滚向前．
（5）通过对数学史的学习，可以使学生更好地感知和理
解数学美．提高他 们的审美情趣，陶冶情操，从而更热爱数
学这门学科，执迷于对数学的探索．数学美指的是数学具有简洁性、对称性、和谐性和奇异性．德国数学家弗希纳做过
一次别出心裁的试验，他召开了一次“矩 形展览会”，会上
展出了他精心制作的各种矩形．并要求参观者投票选择各自
认为最美的矩形． 结果矩形的长与宽之比为0.618的矩形被
认为是最美的矩形．0.618——“黄金比值”，这一神 秘的数
字，蕴涵着奇异的数学美，这一美的密码一经被人类掌握，
立即成为服务于人类的法宝． 艺术家们则用它创造出更加令
人神往的艺术珍品；设计家利用它设计出巧夺天工的建筑；
科学家 们则在科学的海洋尽情地欢奏0.618这一美的旋
律．此外像对数螺线、裴波那契数列，哥德巴赫猜想 、费马
最后定理、四色问题、多阶幻方等给人以美的欢乐、醉心的
向往．
（6）通过 学习数学史可以使学生更好地回顾往昔，展望
未来．20世纪上半叶的数学成果既然可以超过19世纪的 几
倍，近三十年所出现的数学分支又可超过18世纪的总和．可
以预料：随着新世纪的到来，数 学事业将会更神速的发展．数
学分支越细，越有利于数学家在某一方向上深入发展．数学
信息的 繁密，更能帮助数学家了解自己研究方向上的概
况．避免无效的劳动．随着计算机的飞速发展，使数学家 逐
步摆脱了沉重的计算负担；人工智能的不断开发，将协助数
学家进行部分劳动．面对美好的数 学前景，增强了学生的使
命感和目标感，吸引着更多的学生献身于这一艰苦而又伟大
的事业．
1.2
数学史料对学生掌握数学思想的作用

数学思想是人们对数学认识 的反映，它又直接支配着数
学的实践活动．任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数
学方法的 运用，数学理论的建立，无一不是数学思想的体
现．因此可以说，数学思想是对数学概念、方法和理论的 本
质认识．通过学习数学史，可以知道各种具体的数学思想的
产生和发展，它与数学主干思想有 何联系，它对数学发展的
影响、作用和地位．数学中有许多数学思想．如，当美索不
达米亚的牧 人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着符
号抽象的产生；而当他们第一次试图使用什么记号将羊只 的
总数记录下来时，就意味着符号思想的出现，这是人类认识
史上巨大飞跃的开端．符号思想的 实质就是通过建立某种对
应，实现从感性到理性认识的转换．对于学生来说掌握了这
种对应关系 ，才能理解所使用符号的意义，才能进入形式化
的数学领域．此外，对数思想、坐标思想、微积分思想、 方
程思想、函数思想等都会使学生学习知识事半功倍．
1.3
数学史料对开发学生数学思维的作用

（1）思维是人脑对客观事物的本质属性和规律 的关系的
概括与间接的反映．数学思维是一种思维，它是人们的数学
认识活动，是人们从事数学 活动（一般指研究数学，学习数
学，应用数学和讲授数学的活动）中的理性认识过程，是人
们形 成数学思维形式，数学概念、数学命题，数学推理和数
学理论的思维过程．