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2020年11月29日发(作者：熊自仁)
数学思维与数学思维能力的培养：
数学思维与数学思维能力的培养：
（一）数学思维概述
1、数学思维：指在数学活动中的思维，是人脑和数学对象（空间形式、 数量关
系、结构关系）交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。它
既具有思 维的一般性质，又有自己的特性。最主要的特性表现在其思维的材料和
结果都是数学内容。
2、小学生数学思维发展的阶段：
（1）直观行动思维：这是以实际的操作行为依托的数学思维。
（2）具体形象思维：这是以事物的表象为依托的数学思维，它是一般形象思维
的初级形态。
（3）抽象逻辑思维：这是脱离了直观形象依靠概念、判断和推理所进行的数学
思维。
3、数学思维的特性：
（1）思维的概括性：是以客观事物为依据，在原有经验的基础上，舍 弃了具体
事物的非本质特征，提示数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广
到同类 事物或现象之中。
数学概念的形成、数学公式、汉则的获得都需要通过抽象概括，因此，概括水平的高低是衡量数学思维能力强弱的重要标志之一。
（2）思维的问题性：主要表现为数学思维总是 与数学的实际总是相联系，总是
表现为不断提出问题、分析问题直到解决问题。
（3）思维的逻辑性：是数学思维的核心。
4、数学思维的结构：
（1）数学思维的材料和结果：指的是数学思维的内容。
（2）数学思维的基本方法：又称思维的操作手段
小学数学思维的基本方法有“观察、实验、 比较、分类、分析、综合、抽象、概
括、归纳、演绎、类比、联想等。”
数学思维的基本形式 ：按思维活动的三种方式分类，主要指逻辑思维的基本形式
------概念、判断和推理；形象思维的 基本形式-----表象、直感和想像；直觉
思维的基本形式----直觉和灵感。
数学思维品质主要有深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性等。
（二）数学思维的分类：
1、集中思维与发散思维：集中思维是朝着一个目标、遵循单一的模式，求出归
一答案的思维， 又称为求同思维；发散思维则表现在解决问题时，能根据已提供
的条件，利用已有的知识经验，从多个方 向、不同途径去探索思考，以寻求新的
解决问题和途径和方法，发散思维又称为求异思维。
2 、再造性思维与创造性思维：再造性思维是指原有的经验和已经掌握的解题方
法、策略，在灯似的情境中 直接解决问题的思维方式。创造性思维是指在强烈的
创新意识的指导下，指导头脑中已有的信息重新加工 ，产生具有进步意义的新设
想、新方法的思维。
（三）数学思维的一般方法：
1、观察与实验：
（1）观察：是受思维影响的，有目的、有计划地通过视觉器官去认识事物 、状
态及上线关系的一种主动活动。观察是思维的窗口。
（2）实验：是有目的、有控制地创设一些有利观察对象，并对其衽观察和研究
的活动方式。
实验是有控制的观察，实验为观察创设对象；又通过观察获得实验的结果。
2、分析与综合：
（1）分析：是把思维对象的整体分解在各个部分、方面或要素，并对它们分别
加以研究、考察 的一种思维方法。
（2）综合：是把已有的关于研究对象的各个部分、方面或要素联合成整体，从而进行整体认识的思维方法。
综合是以分析为基础的综合，分析又是在综合指导下的分析。
3、比较与分类：
（1）比较：是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下 的相
同与不同点的思维方法。比较是对事物进行分类、抽象、概括的基础，分析与综
合又是基础 。
在教学中最好先比较相异点，然后比较相同点，而且先从相差悬殊的特点比起，
再比较其细 微的差别。
（2）分类：是以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类，
不 同性质的则归入不同类别的思维方法。
分类的基本原则：每一次分类必须按一个标准；分类必须不重不漏。
4、抽象与概括： （1）抽象：在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属
性或特征的思维方法 。
小学数学学习中的抽象是有不同层次的，一种是从具体事物、具体现象中的抽象，
称为具体 的抽象；另一种是在前者基础上的较高层次的抽象，称为原理性抽象。
（2）概括：在认识事物的过程 中，将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，
并把它推广到同一类事物上去的思维方法。
5、归纳与演绎：
（1）归纳：是从同类事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中， 得出
这类事物的一般属性的思维方法。归纳有不完全归完全归纳两种。
不完全归纳：是根据某 类事物中的部分对象具有（或不具有）某种属性，推知该
类事物的全部对象都具有（或不具有）这种属性 的思维方法。不完全归纳法又称
为简单枚举法。
完全归纳是依据同类事物的每个对象都具有（ 或不具有）某种属性而推出该类事
物的全体具有（或不具有）这种属性的思维方法。
（2）演 绎：是同类事物的一般属性推出其中个别对象属性的思维方法。基本方
式是“三段论”。
6、类比和联想：
（1）类比：是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一 些属
性也可能相同或相似的思维方法。类比带有或然性，其结论不一定可靠。
（2）联想：是由当前的某一事物想到与其关联的另一事物的思维方法。
（四）初步逻辑思维能力及其培养：
逻辑思维是数学思维的核心。逻辑思维是一种确定的、前 后一贯的、有条有理的、
有根有据的思维。
1、 概念明确：概念是反映客观事物本质属性的一种思维方式。
2、判断准确：判断是对某个事物的性质， 现象作出肯定或否定的思维方式。数
学判断是对数量关系和空间形式有所肯定或否定的一咱方式。表达数 学判断的语
句又称数学命题。判断是由主概念、谓概念和联系词三部分组成。
3、推理符合逻辑：推理是由一个或几个已知的判断推出一个新判断的形式。
推理分归纳推理、演绎推理和类比推理三种。
归纳推理（从特殊到一般）；演绎推理（从一般到特殊）；类比推理（从特殊到
特殊）
4、培养初步逻辑思维能力的基本途径：
（1）要挖掘教材中的智力因素，把培养思维能力贯穿于教学的全过程。
（2）要给学生提供足够的材料。
（3）要顺着学生的思维，重视学习过程。
（4）要重视数学语言的表述。
5、初步形象思维能力及其培养
（1）形象思维：是依托对形象材料的意会，从而对事物作出有关理解的思维。
（2）形象思维的基本形式是表象、直感和想像。
①表象：是在感知基础上形成的感性认识的 高级形式，它是人们过去感知的，但
是现在并不直接感知到的那些保留有人脑中的事物的映象。表象有视 觉表象、听
觉表象、运动表象及其他表象。
数学表象可分为两种基本类型：图形表象和图式表 象。图形表象是与外部几何图
形形状一致的头脑中的示意图；图式表象是与外部数学式子的结构关系相一 致的
模式形象。
②直感：是运用表象对具体形象的直接判别与感知。它是在数学表象的基础上 对
有关数学形象的判别。
形象识别直感：它是数学表象这种整合的普通的特征来比较具体数学 对象是否与
之同质，这种思维形式主要表现在对图形、图式在变式情况下的再认，或者在复
合形 状下的分别辨认。
形象相似直感：当进行形象识别时，如果有头脑中找不到同质的已有表象，便往往寻找接近于目标形象的已有表象来进行形象识别，比较异同，利用共相似处进
行适当加工，从而解 决问题。
③想象：是在头脑中对已有表象经过结合与改造，产生新表象的思维过程。数学
想像 是数学表象与数学直感在人脑中有机联结与组合，从而产生新的表象。
按内容可分为图形想像与图式想像：按深度可分为再造性想像与创造性想像。
培养初步形思维能力的基本途径：积累表象；数形结合；重视想像。
7、初步直觉思维能力及其培养：
（1）直觉思维：是一种整体的、粗线条的、高度简约的、 跳跃式的思维。它依
托于对事物的直接认识，从整体上把握对象，经过一段充分的准备，一下子接触到问题的裨，找到答案。
钱学森语：直觉是一种人们没有意识到的信息加工活动，是在潜意识中酝 酿问题，
然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，
我们没 有意识。
（2）直觉思维的基本形式：
①直觉：是在原有知识和经验的基础上，通过观察、 联想、猜测等，对出现在人
们面前的新事物、新形象的一种直接的、极为敏锐的判断和对其内在本质的理 解，
这种思维方式往往不受逻辑规则的约束。
直觉具有经验性、跳跃性和或然性。
②灵感：又称为顿悟，是人们对长期探索的未能解决的问题的突然领悟的思维方
式。
灵感的特征：突发性、模糊性和非逻辑性。
波利亚语：好念头的出现，每人都会体验过，但只能心领神会，而难于言传。
（3）培养初步直觉思维的若干建议：重视知识“组块”的积累；鼓励合理猜想；
敢于创新。
8、数学思维品质及其培养：
（1）数学思维品质：是学生数学思维发展中的个性差异，又称 为数学思维的智
力品质，它是数学思维发展水平的重要标志。
（2）数学思维品质主要包括数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独
创性。
思维的深刻性：主要指能从数学的感性材料出发，通过逻辑思维， 揭示数学
与形的本质 特征，确定它们的内在联系和规律，并预通情达理感事物的发展进行
进程。思维的深刻性是思维品质的基 础。
思维的灵活性：是指善于从不同的角度、不同的方面进行分析思考，善于根据条
件的变化 转换角度，做到思维起点活，思维过程活动，有较强的迁移能力。
思维的敏捷性：指思维活动的速度。 它表现在解决问题时思考敏捷，接触裨快，
能缩短中间环节，简化思考过程。
思维的批判性： 指在数学思维活动中，能严格估计思维材料和精细检查思维过程，
能随时对思维过程进行监控和调节的品 质。
思维的独创性：指在面对从未见的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特、
新颖的 解决，它是数学思维发展的高级表现。
数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学 规律的思维过程.其表现是
学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维 活动，立体式
地展示问题、提出过程，在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲，尽可能地参与概念的
形成和结论的发展过程，并掌握观察、实验、归纳、演绎、类比、联想、一般化与特殊化等
思考 问题的方法.在数学复习中如何才能提高数学的思维能力？
一、数学思维与数学思维能力的含义
数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的
间接 反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。
数学思维能力主要包括四个方面的内容：
1．会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；
2．会用归纳、演绎和类比进行推理；
3．会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；
4．能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。
新课标 指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地
发展。它不仅要考虑数学 自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的
推理能力、抽象能力、想象力和创造力 等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、
过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标 ，将素质教育的理念体现在课程标准之
中。通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从 而实现向学习方式的转变，
发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力， 以及交流与合
作的能力。
新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识 与技能、数学思考、解决
问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强 调从学生已
有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，< br>进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发
展。
二、学生数学思维受阻的原因
根据个人经验，参考有关资料，我认为学生思维受阻的主要原因有以下几点：
1．数学思想方法缺乏。
由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在。华东 师大二附中的四
位学生对高一学生的调查表明，在常用的数学思想方法中，初中学生掌握得最好的是方程 思
想，知道并会应用的占84.02%，观察与试验的方法、类比与联想的方法知道并会运用的分
别占25.68%和24.52%，不知道的分别占42.02%和34.44%。重点中学的学生如此，一般 学校
可想而知。我部本学期在初三、初四年级开设的“学法讲座”深受学生欢迎。
2．学习目标确定不当。
比如，一份调查显示，学生对于自己“在初中阶段数学学习的要求”选 择“名列前茅”
的占79.18%，选择“中等水平”的占17.45%。而对自己在高中阶段选择“名 列前茅”的占
45.46%，选择“中等水平”的占47.05%。许多学生考上高中后，便想喘口气， 放松一下学
习节奏。在高一学生中，回答“你对学习的感觉”时，感到困难的占52%，一部分学生选择
了降低要求的方法，认为自己目前的数学学习状态“良好”的仅占24.06%，认为“一般”
的占57.44%，认为“较差”的占18.5%。学习要求的降低，影响了学习效果，使得数学思维
发 展的速度无法加快。
3．思维惰性造成思维模糊。
一份在“遇到难题的处理方 式”的调查中，选择“等老师讲解”的占12%，选择“问同
学或问老师”的占52%，选择“继续思考 ”的只有16%，选择“等以后再解决”的占20%。
思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准 ，思维指向性模糊，出思维的惰性。观察
只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价 值的反馈信息，致使思路受
阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。这是学生思维障碍的最普 遍原因。
4．思维惯性造成思维机械。
思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在 。一份问卷调查资料中，有30%的同学在回答
“解题时出现错误的原因”选择了“审题不清”这一项。 学生在解数学题时，常尚未看清题
意，见术语，便罗列公式，生搬硬套；见数据，便代入演算，拼凑解答 等。
5．思维线性造成思维中断。
在一份问卷调查中，回答“经常出现思维的 方向性错误”的学生占了50%，他们由于思
维的单一性，呈线性状态，导致思维过程常常中断而受阻。
6．各学段的衔接不当。
主要表现在三个方面：（1）节奏变化。就一节课的知识 容量而言，初中远比不上高中，
因而在讲解中就有快慢和粗细之分。这一快一慢，一粗一细两对矛盾就很 容易将初中与高中
阻隔，产生两极分化，使初高中难以得到系统的响应，从而影响学生数学思维的发展。 华东
师大二附中的调查：认为高中数学学习节奏比初中快的占82.17%，而觉得慢的同学仅占
5.5%。（2）教学方法的差异。有48.07%的学生认为初中数学课大部分由老师讲解，小部分
由学生练习，认为初中重视学生讨论与自学的仅占9.2%。这表明初中学生讨论与自学的这
一学习方法 并没有得到充分的培养，没有发挥学生的主观能动性。在高中，认为上课大部分
由老师讲解的降低到27 .34%，认为讨论与练习相当的则升至37.84%。（3）教材因素导致初
高中数学知识点脱节。华 东师大二附中的调查中，有49.63%的市、区重点中学的学生认为
“对所需的初中知识感到略能运用 ，但还有些困难”，而感到需要补充初中知识点的占
20.53%，对所需初中知识能运用自如的不到3 0%。
7．评价机制本身的不完善或评价机制贯彻的不完全。
主要表现在三个 方面：（1）不考的不学。华东师大二附中学生的调查表明，初中数学
教师对“中考不考，可以省略”的 态度中，偶尔说的占50.57%，经常说的占21.18%。（2）
评价方式单一。无论对老师还是学 生，往往都是以学科考试成绩作为主要指标进行评价。（3）
考试导向的偏差。我认为用考试的方法进行 评价本身并没错，问题是考试（命题）本身的导
向是否正确。
三、如何培养学生的数学思维能力
1．找准数学思维能力培养的突破口。
心理 学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包
括思维的深刻性、敏捷 性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，
因此在教学过程中应该有不同的培养 手段。
思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维< br>深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数
学思维 的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象
看本质，学会全面地 思考问题，养成追根究底的习惯。
数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此， 数学教学中，一方面可以
考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质， 提高所掌握
的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，
检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算