无懈可击之高手如云数学与自然

2020年11月29日发(作者：蒋医民)
数学与自然
对称——自然美的基础
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体 的外形，
我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令
人赏心悦目。每一朵花， 每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；
蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述
各种事例之中，它从最简单到最复杂的 表现形式，是大自然形式的基础。
花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占 据它相邻花瓣原来的位置，花朵
就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不 一样。例如梅花为72°，水仙花
为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造 ，分两
侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是
六角星形。 其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是
中心对称，又是轴对称。
很多 植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的
初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋 状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这
种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或 者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫 的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交
织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以 其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。

对数螺线与蜘蛛网
曾看过这样一 则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”
动一动脑筋，这说的是什么呢?原来 是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情
形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋 生的工具。而且，结网是
它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗 ?它是用什么工具编 织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，
下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过 程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，
它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树 枝上。然后，再吐出
一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继< br>续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到
中心时，把丝拉 紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合

1
数学与自然
适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘
蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条 。同
一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体 相同的。现在，< br>整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝< br>在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径< br>上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，< br>聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完< br>美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋 线，越接近中心，每周间的
距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小 精灵所画出的曲线，在几何
中称之为对数螺线。
对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点 和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定
角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把 抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水
就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数 螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又
好。

蜂房中的数学
蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还会用舞蹈的
形式告诉同伴 :哪里有花源,数量怎么样。实际上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师。它们
建筑的蜂房就是自然界诸 多奇迹中的一个。
蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成
赞蜜蜂的建筑艺术, 说它是:天才的 工程师。法国的学者马拉
察过蜂房的结构,在1712年,他写出了一篇关于蜂房结构的论
发现 ,每个蜂房的体积几乎都是0.25立方厘米。底部菱形的锐
分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟 然是这样的精细。物理
的。达尔文称
尔狄曾经观
文。他测量后
角是70度32
学家列奥缪
拉也曾研究了这个问题,它想推导出:底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使 得蜂房的容量达到最大,
他没有把这项工作进行下去。苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观 察完全吻合的数据。
公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状,在 其他条件相同的情况
下,这种结构的容积最大,所用的材料最少。他给出了严格的证明。看来,我们不得 不为蜜蜂的高超的建筑

2
数学与自然
艺术所折服了。马克思也高度地评 价它:蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。现在,许多建
筑师开始模仿蜂房的结构,并把 它们应用到建筑的实践中去。

龟背上的学问
传说大禹治水时，在一次疏通河道中 ，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰
刻着图1所示的一个数字方阵。
这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：
位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当 。六不积
成现代的数字，如图2所示。
方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为数也有相同的性质。当时，人们以为是天神相助，治水有
15，两条对角线上的
望了。后来 ，人们称
“凡算之法，先识其
算，五不单张。”可译
刻在龟背上的方阵为“幻方”(国 外称为“拉丁方”)，属于组合数学范畴。使用整数1—9构成的3×3阶
“拉丁方”唯一可能的和数是 15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4
十5十6十7十8十9＝4 5，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或
列)的和应为45 ／3＝150。
组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?由于每个人的文化水
平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选
就是说每个人都有一张志愿表，最后根据需求 和志愿找到一
作。
组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问
排的存在性 ，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排
8
计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方
谓的“最优化问题”。
图2
1 6
案，这就是所
3 5 7
题是考虑安
方法，这就是
4 9 2
某些工种，也
个合适的工存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。如果你想了解更多的组
合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。

红木树——数学与自然
自然总是让人大吃一惊，当我们仔细看看自然界的各个领域，便会得出这样的结论：自然似乎懂得数
学!

3