绝句的意思：是区间内还是区间上

2020年11月30日发(作者：缪鸣埙)
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是区间内还是区间上

作者：薛利敏 田亚丽

来源：《中学数学杂志(高中版)》2011年第05期

文［1］第36页第三自然段：“二次函数在区间(-∞,0)内,函数值随自变量的增大而
减小,…… ,在区间(0,+∞)内,函数值随自变量的增大而增大,……”,第117页第二自然段：“假设在
区 间［-1,5］上,……”,在同页右边注解又出现了：“有解区间,若区间［a,b］内有方程f(x)=0的
解,则称区间［a,b］为方程的有解区间”.文［2］第60页第二自然段：“如果函数y=f(x) 在区间
(a,x上是增加的,在区间上是减少的,……”.文［3］第120页定理6.2中的第二个条
件：“(ⅱ)f在开区间(a,b)内可导”,第125页定理6.5中的第二个条件：“(ⅱ)在(a ,b)上都可导”．
我们不难发现,以上有四种说法：①在开区间(a,b)内；② 在开区间(a,b)上；③在闭区间
［a,b］内；④在闭区间［a,b］上.这四种说法,翻开有关书 籍到处都可以看得到,究竟哪种说法正
确呢？
关于这个问题,笔者与有关教 师进行了讨论,归纳为以下三种观点：(1)用在不同的地方,着重
点不同,因此,这四种说法都正确； (2)意思大家都知道,无所谓怎样说；(3)只有①和④两种说法正
确．
为了回答这个问题,笔者还查阅了词典,关于“内”和“上”的解释,文［4］第918页上关于“内”
的解释为“里头；里头的(跟‘外’相对)”,也就是说,“内”的意思是边界的里头,不包含边界.第1106
页上关于“上”的解释为“用在名词后,表示在某种事物的范围以内：书上，报纸上等”,也就是
说,“上”的意思是事物的整体之上,包含边界.结合词典的解释,我们分析这四种说法,第①种说法,
在开区间(a,b)内,表示包含适合不等式a
根据以上分析,我们认为三种观点 中的第(1)种观点不妥,因为②和③这两种说法不正确；第
(2)种观点不可取,因为数学是严谨的, 术语应该统一规范；第(3)种观点完全正确．
总之,我们认为,正确的说法应该是“在开区间(a,b)内；在闭区间［a,b］上”．
然而,像［a,b),(a,b］,［a,+∞),(a,+∞), (-∞,+∞)等这样的区间如何说呢？我 们认为应该做这样
的规定：由“内点”构成的区间叫区间内,否则,叫区间上,如,在区间(a,+∞) 内、在区间
在区间［a,b)上等.如果泛指区间,可根据具体意义说成在区间A上或在区间A内．

参考文献
［1］ 严士健等.普通高中课程标准试验教科书 数学1(必修)［M］.北京：北京师范大学出
版社,2010．
-∞,+∞)内,