怀抱太阳的月亮华罗庚学校数学课本二年级

2020年11月30日发(作者：唐明)
华罗庚学校数学课本：二年级
上册
第一讲 速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数 ，所以先把+47带着符号搬家，
搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52 分拆成21与31之和，再把31+69=100
凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序
可改变
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18
=45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
（2）45+18-19=45+（18-19）
=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记
成：
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中间数是5
=45 共9个数
（2）计算：1+3+5+7+9
=5×5 中间数是5
=25 共有5个数
（3）计算：2+4+6+8+10
=6×5 中间数是6
=30 共有5个数
（4）计算：3+6+9+12+15
=9×5 中间数是9
=45 共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20
=12×5 中间数是12
=60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个
数的一半，简记成：
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔 细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按
20相加，然后再把少算的加上，把多算 的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相 加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，
所以再加上“3”；19按20计算多 加了“1”，所以再减去“1”，以此类
推.
（2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准
数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加
数带有符号搬家）
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是
习题一
1.计算：（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
（4）28+44+39+62+56+21
2.计算：（1）98+67
（2）43+28
（3）75+26
3.计算：（1）82-49+18
100，个数是5.

（2）82-50+49
（3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95
（2）9+99+999
5.计算：（1）5+6+7+8+9
（2）5+10+15+20+25+30+35
（3）9+18+27+36+45+54
（4）12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算：（1）53+49+51+48+52+50
（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
习题一解答
1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118
（2）87+15+13=（87+13）+15
=100+15=115
（3）43+56+17+24
=（43+17）+（56+24）
=60+80=140
（4）28+44+39+62+56+21
=（28+62）+（44+56）+（39+21）
=90+100+60=250
2.解：（1）98+67=98+2+65
=100+65=165
（2）43+28=43+7+21=50+21=71
或43+28=41+（2+28）=41+30=71
（3）75+26=75+25+1=100+1=101
3.解：（1）82-49+18=82+18-49
=100-49=51
（2）82-50+49=82-1=81
（减50再加49等于减1）
（3）41-64+29=41+29-64
=70-64=6
4.解：（1）99+98+97+96+95
=100×5-1-2-3-4-5
=500-15=485
（每个加数都按100算，再把多加的减去）或
99+98+97+96+95=97×5=485
（2）9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解：（1）5+6+7+8+9
=7×5=35
（2）5+10+15+20+25+30+35
=20×7=140
（3）9+18+27+36+45+54
=（9+54）×3=63×3=189
（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152
6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0
=300+3=303
（2）
87+74+85+83+75+77+80+78 +81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4
=800+4=804
7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78
方法2：原式=21×4-6=84-6=78
方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78
第二讲 数数与计数（一）
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作
用 ，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养
同学们的观察能力.在这里请大 家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子
想，要充分发挥想像力.
例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？
解：仔细观察图2－1，可发现黑方块 和白方块同样多.因为每一行中有
4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：
黑方块是：4×8=32（个）
白方块是：4×8=32（个）
再仔细观察图2－2，从上往下看：
第一行白方块5个，黑方块4个；
第二行白方块4个，黑方块5个；
第三、五、七行同第一行，
第四、六、八行同第二行；
但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块
总数多1个.
白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）
黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）
再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×9=81（个）.
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.
例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”
状的墙洞，问需要 几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？
解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块 正六边形的砖可把这
个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.
例3将8个小立 方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂
成红色，然后就把小立方块分开，问：
（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？
（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？
（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
解：如图2－6所示，看着图，想像涂 色情况.当把整个表面都涂成红色
后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色. 每个
小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体
涂色面数都写在 了它的上面，参看图2－6所示.
（1）3面涂色的小立方体共有1个；
（2）4面涂色的小立方体共有4个；
（3）5面涂色的小立方体共有3个.
例4 如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18
个小立方体（切线如图中虚线所示） .在这些切成的小立方体中，问：］
（1）1面涂成红色的有几个？
（2）2面涂成红色的有几个？
（3）3面涂成红色的有几个？
解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：
（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；
（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小
立体总块数：
习题二
1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？
2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？若能补好，
共需几块？
3 .图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的
瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了 多少块？
4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被
涂成 了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.
求：（1）3面涂成红色的有多少块？
（2）2面涂成红色的有多少块？
（3）1面涂成红色的有多少块？
（4）各面都没有涂色的有多少块？
（5）切成的小正方体共有多少块？
5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全 染成蓝色，然
后锯成棱长为1寸的小正方体.
问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？
（2）有2面被染成蓝色的多少块？
（3）有1面被染成蓝色的多少块？
（4）各面都没有被染色的多少块？
（5）锯成的小正方体木块共有多少块？
6. 图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面
（包括底面）全部涂成绿色，那么当 把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色
的小正方体有多少块？
7.图2－14中的小狗与 小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道
哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较出来）.
2+8+8=18（个）.
习题二解答
1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像
力）：
共1+2+2+1+2+2=10（块）.
如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚了，如图2－
15所示.
2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也
就是共需（如图2－16所示）
1+2=3（块）.
3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进
行统计：
4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下
层四个角上的4块.
（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和
中层四角的4块.
（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.
（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.
（5）共切成了3×3×3=27（块）.
或是如下计算：
8+12+6+1=27（块）.
5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；
（4）8块；（5）64块.
6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是 图2—18中有“点”
的那些块（注意最下层有2块看不见）.
7.解：分类数一数可知 ，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的
外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外 形是由32条直线段
和8条斜线段组成.
第三讲 数数与计数（二）
例1 数一数，图3－1中共有多少点？
解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：
第一层 1个
第二层 2个
第三层 3个
第四层 4个
第五层 5个
第六层 6个
第七层 7个
第八层 8个
第九层 9个
第十层 10个
第十一层 9个
第十二层 8个
第十三层 7个
第十四层 6个
第十五层 5个
第十六层 4个
第十七层 3个
第十八层 2个
第十九层 1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）
=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
第一层 1个
第二层 3个
第三层 5个
第四层 7个
第五层 9个
第六层 11个
第七层 13个
第八层 15个
第九层 17个
第十层 19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变
成为10行10列的点阵.显然 点的总数为10×10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规
律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，
我们就又发现了一条规律.
例2 数一数，图3－5中有多少条线段？
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点
的线段有：
AB AC AD AE AF 5条.
以B点为共同左端点的线段有：
BC BD BE BF 4条.
以C点为共同左端点的线段有：
CD CE CF 3条.
以D点为共同左端点的线段有：
DE DF 2条.
以E点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有： 总数=5+4+3+2+1
条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
还可以一直做下 去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之
和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了 一条规律.它说明了点数与
线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：如果把相 邻两点间的线段叫做基本线段，
那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于
基本线段的条数（见图3－8）. 基本线段数 线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？
解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.
以OC边为公共 边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为
公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF 共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF
只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15
（个）.
想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数
=5+4+3+2+1 （个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13）
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数
比射线数小1.
② 同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那
么有共同顶点的基本角和角的总数之 间的关系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基
本角个数.
③注意 ，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是
关于角的，但求总数时，它们有同样的数 学表达式.同学们可以看出，一个
数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的 魔
力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书
共有多少本？
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个
棋孔？
3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？
习题三解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135（本）.
方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖
顶”组成.
长方形中的书 10×11=110
三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：110+25=135（本）.
2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.
仔细观察可知，图中大三角形ABC上的 棋孔的排列规律是（从上往下
数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 另外还有三个小三
角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：
（1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（ 个）.
3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）
线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
4.解：按图3－23的方法数：
角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有：△ OAB，△OAC，△OAD，△OAE，
△OAF，△OAG，△OAH，共7个；
以 OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，
△OBG，△OBH， 共6个；
以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，
△OCH，共5个；
以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，
共4个；
以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3个；
以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，共2个；
以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1个；
三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
（2）方法2：显然底边AH上的每一 条线段对应着一个三角形，而基本
线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28 （个）.
6.解：最小的正方形有25个，
由4个小正方形组成的正方形 16个；
由9个小正方形组成的正方形 9个；
由16个小正方形组成的正方形 4个；
由25个小正方形组成的正方形 1个；
正方形总数：25+16+9+4+1=55个.
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第四讲 认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这 一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生
成规律；学会把数列中缺少的数写出来 ，最后还要学习解答一些生活中涉及
数列知识的实际问题.
例1 找出下面各数列的规律，并填空.
（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.
（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.
（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.
（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.
（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.
注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
例2 找出下面的数列的规律并填空.
1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.
解：这叫斐波那契数列，从 第三个数起，每个数都是它前面的两个数之
和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21 =34.所以：
空处依次填：
例3 找出下面数列的生成规律并填空.
1，2，4，8，16，□，□，128，256.
解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数 的2倍.16×2=32，
32×2=64，所以空处依次填：
例4 找出下面数列的规律，并填空.
1，2，4，7，11，□，□，29，37.
解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是
个自然数列：
例5 找出下面数列的规律，并填空：
1，3，7，15，31，□，□，255，511.
解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是
个等比数列，后一个差是前一个差 的2倍.
另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加
1，即后 一个数=前一个数×2+1.
例6 找出下面数列的生成规律，并填空.
1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.
解：这是自然数平方数列，它的每一个 数都是自然数的自乘积.如：
1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，< br>81=9×9，100=10×10.
若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.
自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二
站上2位，第三站 上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？（假定
在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））
方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，
到第几站后，就加到 几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）
可见第12站以后，车上坐满乘客.
例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到 一列数：3，
10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？
，64=8×8，
解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表
四（2））.
可见73是第11项.
例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动 ，
又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你
在第一个盒子里放 2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四
个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要 放满这10个盒，你说这100
块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？
解：小朋友 ，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！
下面让我们算一算，看你想得对不对（见表 四（3））.表四（3）
放满10个盒所需要的糖块总数：
可见100块糖是远远 不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的
吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.
习题四
1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.
2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.
3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现
的最小的相同的数是几？
4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101.
可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101
是第几个数？
5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，
而且整个图形包括了10个小正 方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个
小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正 方形？
6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共
包括多少个小立方体？
7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有
他一个人.他决定 第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组
后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个 星期后，这个小组共有多少
组员？
8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂 为两个，再次分裂变
为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细
胞变成几个？
9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在
盒子里，问
（1）盒子里有多少珠子？
（2）这串珠子共有多少个？
习题四解答

1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该
出现的数，就得到答案了：
即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28
可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.
2.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：
可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差 数列，后面的一个数比前
面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：
1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.
3. 解：观察习题一和习题二两个数列：
可见两个数列中最小的相同数是22.
4.解 ：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一个数比前一个
数大3，即公差是3.下面再多写出几 项，以便从中发现规律：（表四（4））
再仔细观察可知：
第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；
第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；
第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；
第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；
…………
由于101=2+33×3；
可见，101是第34项，即第34个数.
5.解： 仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时，
它就有4个台阶，整个图形包括的小正 方形数为：
1+2+3+4=10.
所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图形包括的小
正方形数为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.
6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律（表四
（5））：
所以六层小立方体的总数为：
1+3+6+10+15+21=56（个）.
7.解：列表如下：
4个星期后小组的总人数：
1+2+4+8=15（人）.
8.解：列表如下：
一个细胞经过10次分裂变为1024个.
9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：
白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白
1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,
①在盒子里有：
4+1+4=9（个）.
②这一串珠子总数是：
1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1
=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）
=28+8=36（个）.
第五讲 自然数列趣题
本讲的习题，大都是关于自然数列方 面的计数问题，解题的思维方法一
般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.
例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？
解：分类计算：
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
“1”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；
“1”出现在百位上的数有：100共1个；
共计10+10+1=21个.
例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算
一下，排这本书的页码共用了多少个铅 字？
解：分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180（个）；
第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总
数是：
9+180+3=192（个）.
例3 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是
多少？
解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出
来，再分类进行计算：
如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
=45×10
=450.
窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：
1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10
+8×10+9×10
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
=45×10
＝450.
另外100这个数的数字和是1+0+0=1.
所以，这一百个自然数的数字总和是：
450+450+1=901.
顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找
并发现出更简洁的解法来，往往标 志着谁有更强的数学能力.比如说这道题
就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？
习题五
1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、200，问数 字
“1”在页码中共出现了多少次？
2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？
3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？
4.一本书共200页， 如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版
（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“ 5”和“0”），问排这
本书的页码一共需要多少个铅字？
5.像“21”这个两位数， 它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从
1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？
6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大
小并不改变，问 从100至200之间有多少个这样的三位数？
7.像11、12、13这三个数，它们的数位上 的各个数字相加之和是（1+1）
+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和 是多少？
8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多
少？
9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？
习题五解答

1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，
101，111，121，131，141，151，161，171，181，
共20个；
“1”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
110，111，112，113，114，115，116，117，118，
共20个；
“1”出现在百位上的数有：
100，101，102，103，104，105，106，107，108，
110，111，112，113，114，115，116，117，118，
，
，
191
119
109
119
120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，
130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，
140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，
150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，
160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，
170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，
180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，
190，191，192，193，194，195，196，197，198，199
共100个；
数字“1”在1至200中出现的总次数是：
20+20+100=140（次）.
2.解：采用枚举法，并分类计算：
“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个；
“3”在十位上：31，33，35，37，39共5个；
数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：
10+5=15（次）.
3.解 ：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，
72，77 ，82，87，92，97共18个.
4.解：分段统计，再总计.
页数 铅字个数
1～9共9页 1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）
10～90共90页 2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）
100～199共100页 3×100=300（个）（每个页码用3个铅字）
第200页共1页 3×1=3（个）（这页用3个铅字）
总数：9+180+300+3=492（个）.
5.解：列表枚举，分类统计：
10 1个
20 21 2个
30 31 32 3个
40 41 42 43 4个
50 51 52 53 54 5个
60 61 62 63 64 65 6个
70 71 72 73 74 75 76 7个
80 81 82 83 84 85 86 87 8个
90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.
6.解：枚举法，再总计：
101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.
7.解：分段统计（见表五（1）），再总计：
总的数字相加之和：45+45+10+2=102.
8.解：按题意，试着写出从1到100的 自然数中的头、尾和中间的几部
分：1，2，3，……，48，49，50，51，……，96，97， 98，99，100.仔细
观察可知：
若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似的算式：
0+99=99；
因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18；
50个99的数字和是：18× 50=900，再加上100这个数的数字和是
1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数 字之和为901.
照以上方法列出算式就非常简洁：
（9+9）×50+1=901.
9.解：（见图5—2）写出1～1000的自然数列的头、尾 和中间的几部
分，并在1的前面加个“0”；
又因为9+9+9=27，
1+0+0+0=1，
所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为：
27×500+1=13501.

习题六
1.观察图6—4中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）第10个点群中包含多少个点？
（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？
2.观察下面图6—5中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）推测第10个点群中包含多少个点？
（3）前10个点群中，所有点的总数是多少？
3.观察图6—6中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）推测第10个点群包含多少个点？
（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？
4.图6—7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块 ，它的左右两边各是9
块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块.
问：（1）这堆砖共有多少块？
（2）如果中央最高一摞是10O块，两边按图示的方式堆砌，问这堆砖
共多少块？
5. 图6—8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的方式继续堆
积下去，共堆积了10层，问：
（1）能看到的方砖有多少块？
（2）不能看到的方砖有多少块？
习题六解答
1.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：1，5，9，13.
不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5个点群包含
的点数是：
13+4=17（个）.
（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点数为37.
（3）前十个点群的所有点数为：
2.解：（1）数一数，前4个点群包含的点数分别是：
1，4，9，16.
不难发现，这是一个自然数平方数列.所以第5个点群（即方框中的点
群）包含的点数是：
5×5=25（个）.
（2）按发现的规律推出，第十个点群的点数是：
10×10=100（个）.
（3）前十个点群，所有的点数是：
3.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：4，8，12，16.
不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5个点群（即
方框中的点群）包含的点数是：
16+4=20（个）.
（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点数为40.
（3）前十个点群的所有的点数为：
4.解：从最简单情况入手，找规律：
按着这种规律可求得：
（1）当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4
+3+2+1
=10×10=100（块）.
（2）当中央最高一摞是100块时，这堆砖的总数是：
1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1
=100×100=10000（块）.
5.解：（1）数一数，前五层中各层可见的方砖数是：1，3，5，7，9
不难发现，这是一个奇数列.照此规律，十层中可见的方砖总数是：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=100（块）.
（2）再想一想，前五层中，各层不能看到的方砖数是：
第一层 0块； 第二层 1块； 第三层 4块；
第四层 9块； 第五层 16块；
不难发现，1，4，9，16 是自然数平方数列，按照此规律把其余各层看
不见的砖块数写出来（如下表）：
则看不见的砖块总数为：
第七讲 找规律（二）
例1 仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白
格内填一个什么样的图？
解：仔细观察图7—1，可知：
第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形.
第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形.
其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同.都是左边的图
形大，右边的图形小.
猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图7—3）.
仔细观察图7—2可知：
第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的阴影半圆顺
时针旋转后放置的.
第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，
右边是左边阴影直角 三角形顺时针旋转后放置的.
其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋
转放置后成为右边图形.
猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7—4示.
例2 按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处
应填什么图？
解：图 7—5的？处应填○▲.注意观察第1组和第2组，每组都是由三
对小图形组成；而每对小图形都是由一 个“空白”的和一个“黑色”的小图
形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在 右边.
再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组
中的位置的 变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，
下一步它就回到了最右边.按这个移动规 律，可知图7—5中第3组“？”处
应填：○▲.
图7—6的？处应填□△0.仔细观察 可发现第1组和第2组中间的部分
都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你按照第1、第2、第3 组的顺
序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，
但排列顺序 保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到
了最右边.按这个规律可知图7—6中第 3组中间“？”处是：□△0.
例3 观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图
形？
再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中
是怎样的图形？
解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现：
方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如△、□
和○也都是按逆时针方向旋转的.
也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋
转.
因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状.再按已找到的规律，进
一步可发现图形的变化是有“周 期性”的，也就是说，每过4个方框后，同
样的图形又重新出现一次.如，你可看到第（1）和第（5） 是完全一样的；
因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一
样的.即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的样子.
例4 观察图7—10的变化，请先回答：
第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？
第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？
解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（ 3）、……的顺序仔细观察，
可发现黑点位置的变化规律：
在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；
在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；
在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了.
按黑点位置的这种变化可推测出：
在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示.
继续观察下去：
在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；
在（6）中，黑点开始往上升一格；
在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出：
在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示.
（2）进一步仔细观察图7—10 （1）～（9），可发现黑点位置变化的
“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的 位置.
因为2+8=10，2+8+8=18.
所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，
见图7—13所示.