段考总结华罗庚学校数学课本6上

2020年11月30日发(作者：郁璞)


华罗庚学校数学课本（六年级·修订版）

上册
第一讲 工程问题
第二讲 比和比例
第三讲 分数、百分数应用题（一）
第四讲 分数、百分数应用题（二）
第五讲 长方体和正方体
第六讲 立体图形的计算
第七讲 旋转体的计算
第八讲 应用同余解题
第九讲 二进制小数
第十讲 棋盘中的数学（一）
第十一讲 棋盘中的数学（二）
第十二讲 棋盘中的数学（三）
第十三讲 棋盘中的数学（四）
第十四讲 典型试题分析


























1
第一讲 工程问题
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：
工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间
内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．
例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成， 乙丙两队合作需15天
完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？



答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．
说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用
工


2
例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5
天
批零件各需几天？

工
效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师
傅先做5天 ，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．

答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．
例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独 完成需9天．若甲先做
若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据
题目的条件，找到等量关系，列方程解题。
解：设甲做了x天．那么，

两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，

3
x＝4．
答：甲做了4天．
例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以 完成．甲先做8
小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需
要多少 小时完成？
分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或
者甲先 做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：

由图不难看出甲2小时 工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量
＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．
解：若由乙单独做共需几小时：
6×3＋12＝30（小时）．
若由甲单独做需几小时：
8＋6÷3＝10（小时）．
甲先做3小时后乙接着做还需几小时：
（10－3）× 3＝21（小时）．
答：乙还需21小时完成．
例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工
程

4

之几（即一人的工效）．
解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

＝36（人）．
③需增加几人：
36－18＝18（人）．
答：还要增加18人．

例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开 进水
管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如
果按进水，排水， 进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后
水池的水刚好排完？（精确到分钟）
分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一
个出水管的情况．若进水管、出水管 同时开放，则积满水的时间＝1÷（进
水管工效－出水管工效），
排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．
②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水
池

5

好排完．

一
半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？
分析 这道题 是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求
出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单 位“1”（总工作量）
的几分之几？



如
果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？
分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效


6
＝4 ∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问
题就得到解决
了．
甲
与乙的时间比是4∶3．
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比
是时间比的反比，为3∶4．


答：这批树一共252棵．
例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16
天，

个零件，求这批零件共多少个？
分析 欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、 乙二人每天
共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了
这个结论后 ，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲
做16

7

甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解．
解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？

甲1天能完成全工程的几分之几？

乙1天可完成全工程的几分之几？


这批零件共多少个？

答：这批零件共360个．

例10 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要 18小时完
成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，
两人如 此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？
分析 要求共用多少小时？可以设想把这些小时重 新分配：甲做1小
时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做
1小 时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问
题就好解决了．
解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

8



④共用了多少小时？



习题一
1．一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工
作 由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做
几天？
2．一条水 渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的
由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单 独挖，需要多少天？
3．客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，
相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分
钟，求客车与货车的速度各 是多少？
4．水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱．现
满水箱？
5．一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干
天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．


9
7．做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，
丙组每天可生产64件．如果让 甲、乙两组合作4天，则还有256件没完
成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？
第二讲 比和比例
在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有< br>关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的
判断．
成 正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时
另一种量（记作y）也随着变化．与这 两个量联系着，有一个不变的量（记
为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这 个不
变量k．如
成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成
（正和反）比例．
下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．
例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？
①速度一定，路程与时间．
②路程一定，速度与时间．
③路程一定，已走的路程与未走的路程．
④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．
⑤总产量一定，亩产量和播种面积．
⑥整除情况下被除数一定，除数和商．
⑦同时同地，竿高和影长．
⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．
⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．
⑩圆的半径和面积．
(11)长方体体积一定，底面积和高．

10
(12)正方形的边长和它的面积．
(13)乘公共汽车的站数和票价．
(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．
(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．
分析 以上每题都是两种相 关联的量，一种量变化，另一种量也随着
变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键 是能否把
两个
两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①
× 零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件
总数成反比例．③路程一定，已走 的路程和未走的路程是加减法关系，不
成比例．
解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)
成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)
不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．
例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下 坡三段，各段路程长
的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已
知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？
分析 要求此人走完全程用了 多少时间，必须根据已知条件先求出此
人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时 行3千
米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段
路程比是1∶2 ∶3，就可以求出上坡路的路程．
解：上坡路的路程：

走上坡路用的时间：




11
上坡路所用时间与全程所用时间比：

走完全程所用时间：


例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合
金36克，求新合金内铜和锌的比？
分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自
的重量．应该注意到铜 和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是
（36－6）克．铜的重量始终没有变．
解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：
36－6＝30（克）．
铜的重量：

新合金中锌的重量：
36－12＝24（克）．
新合金内铜和锌的比：
12∶24＝1∶2．

答：新合金内铜和锌的比是1∶2．
例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5 分钟，徒
弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？

12

工作量与工作效率成正比例．
解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．

5x＝168×9－9x，
14x＝168×9，
x＝108．
168－x＝168－108＝60（个）．
答：师傅加工108个，徒弟加工60个．


＝60（个），（徒弟）．



13

考
方法可求出两人各用了多少 分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别
乘以540就是各自加工零件的个数．

解法4：按比例分配做：


例5 洗衣机厂计划20天生 产洗衣机1600台，生产5天后由于改进
技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？
分析 这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产
5天后剩下的台数．从工效看，有原 来的效率1600÷20＝80台/天，又有
提高后的效率 80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的
天数，要求效率提高后还需要的天数．
根据工效和工时成反比例的关系，得：
提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．
解法1：设完成计划还需x天．
1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×5
80×1.25×x＝1600－400
100x＝1200

14
x＝12．
答：完成计划还需12天．
解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋
25
因为工效 和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果
设实际还需要x天，原来计划的天数是2 0－5＝15天，根据实际与原来时
间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计 划还
需x天．

5x＝60，
x＝12．

解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天．

例6 一 个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加
13厘米，则面积增加182平方厘米， 那么原长方形面积是多少平方厘米？
画出图便于解题：

15

解法1：BC的长：182÷13＝14（厘米），
BD的长：14＋13＝27（厘米），
从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，
AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，

原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）．
答：原长方形面积是630平方厘米．
解法2：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程
（14x－13）× 13－5x×13＝182，

9x＝27，
x＝3．
则原长方形面积

（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．
例4、例5、例6是综合性较强 的题，介绍了几种不同解法．要求大
家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题 ，从
而提高自己思维判断能力．
习题二

16
1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地
的面积是多少平方米？
2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，
求这块地的面积？
3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，
求橘子、苹果各是多少筐？
4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的
25％，照这样计 算，剩下的任务还需多少天完成？
5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和 裤子
各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多
少元？

页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完
这本书？
7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2∶

8．“长江”号 轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二
次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公 里，结果两次所用的时
间相等．求顺水船速与逆水船速的比．
第三讲 分数、百分数应用题（一）
分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难< br>点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有
其本身的特点和解题规律 ．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、
“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复 杂，这就给正确
地选择解题方法，正确解答带来一定困难．
为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．
①具备整数应用题的解题能力．解 答整数应用题的基础知识，如概念、
性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．
②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．

17
③学会画线段示 意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”
之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件． 它可以帮助我们在复
杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．
④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与
问题之间的关系变化多端，单靠统一 的思路模式有时很难找到正确解题方
法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题 方法，
在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．
例1 （1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？
①上月用水量与单位“1”的关系．
②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系．
③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系．
（2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？
①红墨水与单位“1”的关系．
②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系．
③蓝墨水与红墨水的（1＋ 20％）的关系．
（3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？
①未看的页数与单位“1”的关系．
②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系．
③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．

事
书是多少页？
分析 每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出


18
解：①看了多少页？
15×4＝60（页）．
②看了全书的几分之几？

③这本书有多少页？

答：这本故事书是 150页．


分析 要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，
剩下 172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明
确占全书的几分之几的量．
画线段图：




19
答：这本故事书共有264页．
例4 惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出厂）价加上运费 、
营
知售价是123元，求出厂价多少元？

相
当于123元，

如上图可以得出解答：

答：春秋西服每套出厂价是108元．

克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？



20

与
百分率”的关系已经直接对应，求每筐的千克数的条件完全具备．
解：其余部分是总千克数的几分之几：

西红柿总数共装了多少筐：


每筐是多少千克：

共收西红柿多少千克：

综合算式：

21

答：共收西红柿384千克．
解法2：（以下列式由学生自己理解）

答：共收西红柿384千克．


水
泥没运走．这批水泥共是多少吨？

22

分析 上图中有3个相对各自讨论范围内的单位“1”（“全部”、“余
下”、 “又余下”）．依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的
是
下”的吨数90吨（即“余 下”含义中的1个单位是90吨）．这90吨恰
是“全

例7 某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他
秒？
分析与解答 这是一 个追及问题，因此求追上所花时间必须求出相距
距离及它们速度差．相距距离是因为车上之人与小偷反向 走了10秒钟产
生的．而速度差是易求的．

23


所以追上所花时间是


答：追上小偷要110秒．

例8 A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两
本，再剩下的书，D 借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少
本书．



答：A原有50本书．
解法2：用倒推法解．


24
分析 A剩下的2本应是C借走后剩下的一半差3本，所以 C借走后
还

综合算式：

答：A原有50本书．
习题三


比
苹果少1440千克，运来橘子多少千克？
2．有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，

3．一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页
数

苹果？每天各吃了几个苹果？
5．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生 命的六分
之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还

25
没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可
这孩 子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了
四年，也结束了尘世的生涯”．你能 根据这段话推算出丢番图活了多少岁？
多少岁结的婚吗？
6．一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒
精


多少台？
第四讲 分数、百分数应用题（二）
在解题过程中，除了要利用上一 讲中所说的一些技巧和方法（如画线
段示意图等）之外，还要注意在解题过程中量的转化．例如，在解题 过程
的不同阶段，有时需把不同的量看成单位1，即要把单位1进行“转化”；
有时，在解题过 程中需把相等的量看成完全一样，即其中之一可“转化”
为另一．通过这样的转化，往往能使解题思路清 晰，计算简便．

几？

26

而问题“女工人 数比男工人数少几分之几”是把男工人数看作单位“1”．解
答这题必须转化单位“1”．


说明：“1”倍量的转换引起了“百分率”的转化，其规律是，甲数
是



修路程的比是4∶3，还剩50O米没修，这条路全长多少米？
分析 此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分
数应用题解答．
第二天与第一天所修路程的比是4∶3．即第二天修的占4份，第一
天

27

米相对应的百分率，进而求出全长有多少米．

＝1200（米）．
答：全长是1200米．


相
等，求两个班各分到多少皮球？


单位“1”不一致，因 此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，
率”转化，才能做此题．

二班 的球数相当于一班的几分之几．总球数120就和两个班的百分率之和
相对应，求出一班分到多少皮球．

28
二班分到的球占一班的几分之几：


二班分到多少皮球：120－72＝48（个）．
答：一班分到72个皮球，二班分到48个皮球．



倍题，就可求出二班分到多少球．
一班分到的占二班几分之几：

二班分到多少球：

一班分到多少球：120－48＝72（个）．

一班与二班分到皮球数的比：

29



问
两班各多少人？
画出线段图：




由量、百分率的对应就不难求出甲班人数了．

乙班人数：84－40＝44（人）．
答：甲班有40人，乙班有44人．


30
例5 加工一批零件，甲乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，
这批零件共有多少个？
分析 解答此题要用条件转化法，即把“甲工作3天，乙工作2天”，
转化为“二人合作2天，再由甲独 干一天”，问题便可以得到解决．


件所对应的百分率，求出这批零件有多少个．
解：甲每天完成这批零件的几分之几：

乙每天完成这批零件的几分之几：

这批零件共有多少个：

答：这批零件共有240个．



31

分析 题目中除全厂外，还有两个单位“1”：一个是一车间，另一个
是二车间．可以通过 转化的思路，统一到一车间．找到三车间的156人相
当于一车间的几分之几，从而先求出一车间的人数 ，由于一车间人数占全
厂的25％，从而直接求出全厂的人数，这样可无需求出二车间的具体人
数．
解：二车间人数是一车间的几分之几：

三车间的人数是一车间的几分之几：

一车间有多少人：

全厂共有多少人：
150÷25％＝600（人）．
综合算式：

答：这个服装厂全厂共有600人．
习题四
32



2．修路队修一条1800米的路，前5天完成了全长的25％，照这样
计算，把这条水渠还要多少天？
3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇
后各自继续前进，又 经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70千
米，求A、B两地相距多少千米？
4 ．哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟
弟用去自己钱数的80％，两人所 剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？

33
5．一项工程，甲、乙两队合作 可30天完成，甲队独做24天后，甲、
乙两队又合作了12天，然后甲调走，乙又做了15天才完成了 全部的工程，
甲队若单独做这项工程需几天完成？
6．甲、乙两台抽水机共同工作10小 时，可以把整池水抽完，如果甲
台
两台抽水机单独抽各需几小时？
7．二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班
少
少人？
第五讲 长方体和正方体
长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立
体图形．
如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二
条棱．

在 六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起
能够完全重合的两个图形称为全等图形 ．两个全等图形的面积相等，对应
边也相等）．
长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：S
长方体
＝2（ab＋bc＋ac）；
长方体的体积：V
长方体
＝abc．
正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正
方形．如果它的棱长为a，那么：
S
正方体
=6a
2
，V
正方体
=a
3
．

34
例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平< br>方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方
体表面积的和为240平 方厘米，求原来长方体的体积．
解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成 两
个长方体后，两个截面的面积和为2a
2
平方厘米，而这也就是原长方体被
截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，
根据题意有：
190＋2a
2
＝240，可知，a
2
＝25，故a＝5（厘米）．
又因为2a
2
＋4ah＝190，

所以，原来长方体的体积为：

V＝a
2
h＝25×7＝175（立方厘米）．
例2 如下图，一个边长为3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、
上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长 方体（都
和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正
方形截口的 边长．

解：原来正方体的表面积为：
6×3a×3a＝6×9a
2
（平方厘米）．
六个边长为a的小正方形的面积为：
6×a×a＝6a
2
（平方厘米）；
挖成的每个长方体空洞的侧面积为：
3a×a×4＝12a
2
（平方厘米）；
三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：

35
a×a×4＝4a
2
（平方厘米）．
根据题意：6×9a
2
－ 6a
2
＋3（12a
2
－4a
2
）＝2592，
化简得：54a
2
－6a
2
＋24a
2
＝2592，解得a
2
＝36（平方厘米），故a＝6
厘米．
即正方形截口的边长为6厘米．
例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游 戏
所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，
请你想办法，在不另 添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．
解：把每一块积木锯三次，锯成8块小立方 体（如下图）．这样，每
锯
（倍），因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了 一倍．

例4 有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3
米 、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分
别升高了4厘米和11厘米．如果 将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水
池水面将升高多少厘米？
解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．
沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：
3×3×0.04＝0.36立方米，
2×2×0.11＝0.44立方米．
它们的和是：
0.36＋0.44＝0.8立方米．
把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是 0.8立方
米，而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：

36

例5 下图是正方体的展开图之一，当用它组成立方体时，图中的哪
一边与带★记号的边相接触呢？

解：对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考
虑边的连接会更简洁： 首先☆和G连接，其次H和I连接，且X、Y、Z
三点重合为正方体的一个顶点，因此与★连接的是K边 ．
例6 下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体
的展开图）．请你指出伪装图是哪两个？

解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把
相邻两边逐 一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，
都是有五面在拼合时不成问题，但是 最后一面总是挤在外面而成不了正方
体．

37
例7 如下面的各图 中均有若干个六面体，每小题图中的几个六面体
上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同 （即每个小题中六
面体上刻字母的方式是完全一样的）试判断各小题的图中A、B、C三个
字母 的对面依次是哪几个字母？

解：（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A 的对面是D．E、
F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，
让 四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）．如果，
判断为F在C对面，由（1）中左 图所示，让四指的方向从A向F，此时
大拇指指向B，与（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的 对面．
（2）～（6）按A、B、C顺序给出对面的字母：
（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；
（5）E、D、F；（6）F、E、D．
例8 有一块正方体的蛋糕．用刀子将它一刀切成两半，为了使切口
成正六边形，应该怎样切呢？
解：

一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中（1）
的正 方形或者像（2）、（3）那样的长方形．如果斜切下去时样子就不一
样了，比如像（4）那样，以打算 切的顶点作一方，将不相邻的某一边的
中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形．

38
如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中（5）
所 示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，
相邻边夹角也相等，边数是六，故 是正六边形．
习题五
一、填空题：
1．一块矩形纸板，长8厘米，宽6厘米 ，把它折成底面为正方形的
长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为______平方厘米．
2．有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米
的正方体若干块，表面 积增加了______平方厘米．
3．把一根2米长的方木锯成两段，表面积增加 288平方厘米，原来
这根方木的体积是______立方厘米．
4．把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积
是
5．把棱长1厘米 的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高
是10厘米，长和宽都大于高，这个长方体的长与 宽的和是______厘米．
二、选择题：
1．一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是__平方厘米．
（A）42 （B）196 （C）294 （D）392
2．把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积
的和是______平方分米．
（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不对
3．如下图，一个木制 的正方体的棱长为2分米，每个面的正中有一
个正方形的孔通到对边，边长为1分米，孔的各棱平行于正 方体相对的棱，
那么这个镂空几何体的总表面积的平方分米数是____．


39
（A）24 （B）30 （C）36 （D）42
4．如下页图立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个）．问所
得到的几何体有__条棱？

（A）24（B）30 （C）36 （D）42
5．立方体各面上的数 字是连续的整数（如图）．如果每对对面上的
两个数的和相等，那么，这三对数的和是__．

（A）75 （B）76 （C）78 （D）81
三、解答题：
1．一 个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘
米．问①做这个木盒最少需要1厘米厚的 木板多少平方厘米？②这个木盒
的容积是多少立方厘米？
2．将一个长9厘米，宽8厘米 ，高3厘米的长方体木块锯成若干个
小正方体（锯痕宽度忽略不计），然后再拼成一个大正方体，求这个 大正
方体的表面积．
3．一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘
米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，求水深．
4．把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合
形体，求这个组合形体的表面积．

40

5．将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘 米的三个铁质
正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积和表面
积．
6．用字母标出一个正方体的各面，下图中是三个不同方位的这一个
正方体，问字母A、B 、C的对面是什么字母？

7．下图是一个正方体及其两个展开图．这个正方体还有九种 不同的
展开图（下图），请把这九个展开图填上相应的数字（注意数字的方向）．


8．下左图中的立方体，被两个平面所截，你能在这个正方体的展开
图中画出相应的截线吗？（下右图）

41

9．在下页图所示的12个展开图中，哪些可以做成没有顶盖的五个面
的小方盒？


10．下页图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下，
将它剪成 三部分，使每部分都可以折成一个棱长为1的没有顶盖的小方
盒，怎样剪？

第六讲 立体图形的计算
在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立 体图
形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且
知道了它们的体积 、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．

42

在数学竞赛中， 有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构
思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．
例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．

分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果
累计相加可以得到答案，但方法太繁 ．如果仔细观察，会发现这个立体的
上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：
（9＋8＋7）×2＝48（平方厘米）．
答：它的表面积是48平方厘米．
例2 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积
就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体 的表面积．

分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正
方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就
减少12.56平方厘米，用 右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体
表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周 长C＝12.56÷2＝6.28
（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．

43
解：底面周长（也是圆柱体的高）：
12.56÷2＝6.28（厘米）．
侧面积：
6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）
两个底面积（取π＝3.14）：

表面积：
39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）
答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．

例3 一个正方体形状的木块， 棱长为1米．若沿正方体的三个方向
分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60 块，
这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

分析 如果将60个长方体 逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况
锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成 为不可能的
事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面
的面积都等 于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋
1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次 数就可使问题得到解决．
解：原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），
一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）
（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），
表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．
答：60块长方体表面积的和是24平方米．

44
例4 一个酒精瓶，它的 瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已
知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒 精的液面高为6
厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少
立方厘 米？合多少升？

分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变< br>的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．

62.172立方厘米＝62.172毫升
＝0.062172升．
答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．

例5 一个稻谷囤 ，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱
的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6 米．求这个粮囤的体积是
多少立方米？

分析 按一般的计算方法，先分别求出 锥、柱的体积再把它们合并在
一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变< br>
45
成圆圆柱体，高是（2＋0.2）
米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．
解：圆锥体化为圆柱体的高：

底面积：


体积：

7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．
答：粮囤的体积是15.543立方米．
例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，
水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球
掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

46

分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体
积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底
面积，就得到水面升高 的高度．
解：球的体积：

＝288π（立方厘米）．
水桶的底面积：π×30＝900π（平方厘米）．
2




例7 下图所示为一个棱长6厘米的 正方体，从正方体的底面向内挖
去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位
小数）．

分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．
剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．

47
解：正方体体积：6＝216（立方厘米）．
3

＝56.52（立方厘米）．
剩下体积占正方体的百分之几．

（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．
答：剩下体积占正方体体积的73.8％．
例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是 6厘米，零件的
一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如
果将 这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

分析 解题时，既要注 意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，
同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱 体的长度不相
同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但
是，我们 可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．
解：涂漆面积：

＝3.14×（18＋60＋20）
＝3.14×98＝307.72（平方厘米）．
答：涂油漆面积是307．72平方厘米．
习题六

1．一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下< br>图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方
厘米．求原来钢材 的体积和侧面积．


48
2．在一只底面直径是40厘米的圆柱形 盛水缸里，有一个直径是10
厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，
求铸件的高．
3．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的
边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求
挖洞后木块的表面积和体积．

4．如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2
厘米圆柱 体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求
这个零件的体积．

5．塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图（1）是这个筒的展开
图，图中数字单位为厘米）．把这 个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，
水面的高度是2厘米（如下页图（2））．问①若把B面作为底 面，放在
水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？
②若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？


49
为4分米、3分米、2分米．把
两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分 别升高了4厘
米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升
高多少厘 米？
7．如下图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点．现
沿三角 形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几
分之几？

（提示：V
棱柱
＝S·h，
S为底面积，h为高．

可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一．）
第七讲 旋转体的计算
分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边
的腰所在的直线为旋转轴，其余各边 旋转而成的曲面所围成的几何体分别
叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．

50