禀告的意思华罗庚学校数学课本四年级(上)

2020年11月30日发(作者：茹洪)
华罗庚学校数学课本：四年级（上册）
第一讲 速算与巧算（三）
例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整 法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学
中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）
＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1
＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）
＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225.
例3 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）





解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：






从1到1989共有995个奇数，凑成 497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：






从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.
1990×497＋995—1990×497＝995.
例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝390×7—1—3—7—5—6—4—
＝2730—28
＝2702.
解法2：也可以选380为基准数，则有
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8
＝2660＋42
＝2702.
例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.
（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6
＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运

1


＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）
＝4940＋1
＝4941.
例6 计算54＋99×99＋45
解：此题表面上看没有 巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简
算了.
54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99
＝99＋99×99
＝99×（1＋99）
＝99×100
＝9900.
例7 计算 9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
例8 1999＋999×999
解法1：1999＋999×999
＝1000＋999＋999×999
＝1000＋999×（1＋999）
＝1000＋999×1000
＝1000×（999＋1）
＝1000×1000
＝1000000.
解法2：1999＋999×999
＝1999＋999×（1000-1）
＝1999＋999000-999
＝（1999-999）＋999000
＝1000＋999000
＝1000000.

有多少个零.















总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有 这样才
能做到熟能生巧.








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习题一
1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88





2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79





3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－ （1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）




4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993




5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这1 2个小时内时钟共
敲了多少下？





6.求出从1～25的全体自然数之和.




7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105 ＋104＋103—102—
101




8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87



9.计算（125×99＋125）×16



10.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9



11.计算999999×78053


12.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？



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第二讲 速算与巧算（四）
例1 比较下面两个积的大小：
A＝987654321×123456789，
B＝987654322×123456788.
分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比 B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数
的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以 不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是
无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又 太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，
再作判断.
解： A＝987654321×123456789
＝987654321×（123456788＋1）
＝987654321×123456788＋987654321.
B＝987654322×123456788
＝（987654321＋1）×123456788
＝987654321×123456788＋123456788.
因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.
例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245.
解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.
241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；
242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；
243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；
244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；
245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.
恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5
×5，由此很容易看出 245×245的积最大.
一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.
如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5
则5×5＝25积最大.
例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.
解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：
1986×5＝9930.
例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.
解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、
64、66、68，其中最小的是60.
总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法 .三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；
五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它 是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五
个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、 x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些
自然数的平均值.
如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x
＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.
巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.
例5 将1～1001各数按下面格式排列：






一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：
①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.
解：仔细观察，方 框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相
差1，是3个连续自 然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.
①1986不是9的倍数，故不行；
②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝4 0×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它
不能做中数，也不行；
③19 89÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.
这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.
这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！

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所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.
习题二
1.右图的 30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横
行最左 边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是
多少？









2.有两个算式：①98765×98769，
②98766 × 98768，
请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？








3.比较568×764和567×765哪个积大？





4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？
① 1992×1999＋1999
② 1993×1998＋1998
③ 1994×1997＋1997
④ 1995×1996＋1996
5.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.






6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.





7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表 里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个
数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表 的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，
问此时长方形框子里最大的数是多少？









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第三讲 定义新运算
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实 际
就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任 意两
个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的 运算.
在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷” 运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，
①求 3△2， 2△3；
②这个运算“△”有交换律吗？
③求（17△6）△2，17△（6△2）；
④这个运算“△”有结合律吗？
⑤如果已知4△b＝2，求b.
分析解定义新运算 这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数
的3倍减去符号后面的 数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.
②由①的例子可知“△”没有交换律.
③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步
39△2＝3 × 39-2×2＝113，
所以（17△6）△2＝113.
对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次
17△14＝3×17－2×14＝23，
所以17△（6△2）＝23.
④由③ 的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝ 5.
例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
②求12※（3※4），（12※3）※4；
③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.
解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第 二步12※5＝
12×5－（12＋5）＝43，
所以 12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次
21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
b※a＝b×a－（b＋a）
＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）
所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.
由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
3※（5※x）＝3※（4x－5）
＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13
那么 8x－13＝3 解出x＝2


















6











例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2， 根据“△”
的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求 出后，l△2的值也就计
算出来了，我们设1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要
计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△
4=64求出 k的值.
解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：




①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4
=9△4=k×9×4=36k



所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.
在上面这一类定 义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定
的法则代入数值.还 有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足
的运算定律，因此 在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.



















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习题三































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第四讲 等差数列及其应用
许多同学都知道这样一个 故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100
这100个自然数的总和 .大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的
聪明和善于观察是不 必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规
律性——每项都比 它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过
这一讲的学习， 我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
一、等差数列
什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
②1，3，5，7，9，11，13.
③ 2，4，6，8，10，12，14…
④ 3，6，9，12，15，18，21.
⑤100，95，90，85，80，75，70.
⑥20，18，16，14，12，10，8.
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是 一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中
这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；
数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；
数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；
数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
解：①是，公差d=4.
②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
③不是，因为4-2≠2-1.
④是，公差d=l.
⑤是，公差d=0.
⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.
一 般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都
大于前 面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等
差数列 的定义.
为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第 n项记为an，
an。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.
二、通项公式
对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1；小于a2，则









由此可知：
(1)若a1；大于a2，则同理可推得：



(2)
公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和
公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项.

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解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；，
公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：
第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.
一般地，如果知道了通项公式 中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项
数公式：





例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？
解：首项a1=2，公差d=5-2=3
令an=47
则利用项数公式可得：
n=（47-2）÷3+1=16.
即47是第16项.
例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
分析与解答
方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.
因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1 =21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3
×d= 33-5×d，
所以d=6 a1=21-3×d=3，
所以 a8=3+7×6=45.
方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可.
又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，
所以 2×d=a6-a4
所以a8=3+7×6=45
方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.
三、等差数列求和
若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
a1, a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+ an-2
=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.
设 Sn=a1+a2+a3+…+an
则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1
两式相加可得：
2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即：2×Sn=n×（a1+an）,所以，




例5 计算 1+5+9+13+17+…+1993.
当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
解：因为1，5，9，13，17，…，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.
所以，n=（an－a1）÷d+1=499.
所以，1+5+9+13+17+…+1993
=（1+1993）×499÷2
=997×499
=497503.
题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的 等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，
而和恰等于997×499.其实，这并不 是偶然的现象，关于中项有如下定理：






这个定理称为中项定理.
例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层
都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间 一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

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解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一个等差数列.
方法1：
a1=2， d=4， an=2106，
贝n=（an-a1）÷d+1=527
这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.
方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.
则中间一项为（a1+an）÷2=1054
a1=2， d=4， an=2106，
这堆砖共有 1054×527=555458（块）.
n=（an-a1）÷d+1=527
例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
解：根据题意可列出算式：
（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）
解法1：可以 看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公
差 为2的等差数列，且项数均为1000，所以：
原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2
=1000.
解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了10 00个1，
即
原式=1000×1=1000.
例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
分析与解答
方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个. 即条件中的九个
连续自然数的末项.
因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这 九个自然数的中间数为54÷9=6，则末项为6+4=10.
因此，所求的九个连续自然数之和为（1 0+18）×9÷2=126.
方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每 一项比前一组自然数的对应项大8，
因此，后一组自然数的和应为54+8×9=126.
在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+an）×n÷2，则 a1+a9=54×2÷9.
又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.
例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再
把剩下的50个数相加，得多少？
分析与解答
方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：
首项+末项=8450×2÷100= 169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下
的50个数 为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2= 4250.
方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同 的项数，且剩下
的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的 数的总和大50，
又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2= 4250.
四、等差数列的应用
例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到 大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1
个数与第6个数分别是多少？
解：由 题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数
分 别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.
例11 把 27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不
一样多 ，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
分析与解答
因为每个盒 子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共
有的棋子数至少 为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.
例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
解：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则
若a=1，则b=50，共1种.
若a=2，则b=49，50，共2种.

11
若a=3，则b=48，49，50，共3种.
…
若a=25，则b=26，27，…50，共25种.
若a=26，则b=27，28，…50， 共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.
若a=27，则b=28，29，…50，共23种.
…
若a=49，则b=50，共1种.
所以，所有不同的取法种数为
1+2+3+…+25+24+23+22+…+l
=2×（1+2+3+…+24）+25
=625.
例13 x+y+z=1993有多少组正整数解
















显然，x不能等于1992，1993.
所以，原方程的不同的整数解的组数是：
l+2+3+…+1991=1983036.
本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=198 7时，
因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4， 5分类，每一类对应
一组解，因此，x=1987时，共5组解.
例13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？
②第10行的第9个数是多少？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
分析与解答
①197是奇数中的第99个数.
数表中，第1行有1个数.
第2行有3个数.
第3行有5个数…
第n行有2×n-l个数
因此，前n行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×n-1）
=［1+（2×n-1）〕×n÷2
=n×n
因为9×9＜99＜10×10.所 以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197
位于第10行第18个数 .
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90），它是179.
例14 将自然数如下排列，
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 14 17 …
4 9 13 18 …
10 12 …

12
11 …
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图 顺时针转动45°，就成为三
角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n 个数，设1993在三角阵中的第
n行，则：
1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2
用试值的方法，可以求出n=63.
又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为









1953.三角阵中，奇数列的 数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63
行从左开始 数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.
把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.

习题四
1.求值：
① 6+11+16+…+501.


② 101+102+103+104+…+999.


2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？
4+2，5+8，6+14，7+20，…


3.11至18这8个连续自然 数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个
连续自然数中的最小数是多 少？


4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？


5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？


6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？


7.把一堆苹果分 给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这
堆苹果至少应该有几 个？

8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.
1，2，3，4，5，6…98，99，100
2，3，4，5，6，7…99，100，101
3，4，5，6，7，8…100，101，102
100，101，102，103，104，105…197，198，199

13

第五讲 倒推法的妙用
在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法 .这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出
发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问 题.
例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10 ，再除以7，
最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
分析 这道题如 果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样
层层深入，直到解 决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4， 结果是56.求这
个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推 回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是
56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之 前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88
是减8以后得到的 ，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7 ，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.
问正确答案应是几？
分析 马小虎错 把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10
＝60.因 此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.
解：111－（70—10）＋（7—1）＝57
答：正确的答案是57.
例3 树林 中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6
只落到 第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？
分析 倒推时以“三 棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.
第三棵树上现有 的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.
同理， 第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.
解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数 的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下
一半多一个.这时篮子里还剩梨 1个.问：篮子里原有梨多少个？
分析 依题意，画图进行分析.




解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.
例5 甲乙两个油桶各装了15 千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙
桶使乙桶油增加一倍；然 后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3
倍.问：售货员从两个桶 里各卖了多少千克油？
分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙 两个油桶各装油15千克.售
货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝1 6（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所
剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙 两个油桶最后有油多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲 桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有
油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.
解：①甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

14
③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）
用倒推法画图如下：






④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）
⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）
答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.
例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出 原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白
菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3 倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.
解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？
630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.


习题五
1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.






2.生产一批零件共560个，师徒二人合 作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒
二人每天各生产零件多少个？






3.有砖26块，兄弟二人争着 挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过
一半.弟弟不肯，又从哥哥那 儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初
弟弟准备挑几块砖？






4.阿凡提去赶集，他用钱的一 半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，
他说：“买菜的钱是1、2、3 ；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加
11。”你知道 阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？





15

第六讲 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.
在对小学数学的 学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间
存在这样的基本关系 ：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，主要来研究行
程问题中较为复杂 的一类问题——反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的
问题.它又包括相 遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运
动的问题；所谓 相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来
具体看几个例子 .
例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4 千米，
问：二人几小时后相遇？
分析 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离 每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速
度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千 米就是几小时相遇.
解：30÷（6＋4）
＝30÷10
＝3（小时）
答：3小时后两人相遇.
例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：
路程＝速度和×时间.
例2 一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小 时
比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进 ，问：
当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
分析 货车每小时行45千米，客 车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千
米；中午12点两车相遇时，货 车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、
乙两地之间的路程. 最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.
解：①甲、乙两地之间的距离是：
45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）
＝45×6＋60×4
＝510（千米）.
②客车行完全程所需的时间是：
510÷（45＋15）
＝510÷60
＝8.5（小时）.
③客车到甲地时，货车离乙地的距离：
510—45×（8.5＋2）
＝510－472.5
＝37.5（千米）.
答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.
例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米 ，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾 经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.
分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟360 00÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷
3600＝15（米）.本题中，甲车 的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运
动则可以看作是乙车车头的运 动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车
乘客的车窗这一时刻起，乙车 车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之
间的距离都增大（10＋15 ）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.
又因为甲 车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等
于乙车车 身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.
解：（10＋15）×14
＝350（米）
答：乙车的车长为350米.
我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.
例4 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍 以原
速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇 ，问
两次相遇点相距多少千米？







16

分析 甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千 米，从上图可以看出：它们到第二次相遇
时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个 64千米，再由上图可知：减去一个48千
米后，正好等于一个AB全程.
解：①AB间的距离是
64×3－48
＝192－48
＝144（千米）.
②两次相遇点的距离为
144—48－64
＝32（千米）.
答：两次相遇点的距离为32千米.
例5 甲、乙二人从相距100 千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的
车发生故障，修车用了1小 时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时
甲的车已修好，那么，甲 、乙二人的速度各是多少？
分析 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就 可以了，因此，甲走100千米
所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.
解：甲的速度为：
100÷（4－1＋4÷2）
＝10O÷5＝20（千米/小时）.
乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）.
答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.
例6 某列车通过250米长的隧道用 25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时
速为72千米的列车相遇， 错车而过需要几秒钟？
分析 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进 入隧道算起到车尾离开隧
道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车 而过指的是从两个列车的车
头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为 起点的相背运动问题，这两
个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间 就等于车长之和除以速度之
和.
列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧 道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）
米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可 求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再
根据前面的分析可知：列 车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25
—250＝250（ 米），从而可求出错车时间.
解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：
72000÷3600＝20（米/秒），
某列车的速度为：
（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）
某列车的车长为：
20×25-250＝500-250＝250（米），
两列车的错车时间为：
（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.
答：错车时间为10秒.
例7 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米 ，
有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求 丙车
的速度.
分析 甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比 乙多走的路程为12×5＝60（千米）.
也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为 卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相
遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（ 千米/小时）
卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小 时，因此，卡车3小
时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速 度也可求得，应为：
（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.
解：卡车的速度：
（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），
丙车的速度：
（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），
答：丙车的速度为每小时33千米.
注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5米.




17

习题六
1.甲、乙两车分别 从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，
乙车到达A城需6小 时，问：两车出发后多长时间相遇？








2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比 乙每小时多行1千米，5小
时后两人相遇，问两人的速度各是多少？








3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千
米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后 立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点
之间的距离.








4.甲、乙二人从相距100千 米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小
时相遇，又已知甲比乙每小时 快2千米，求甲、乙二人的速度.








5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐 在快车上的人看见
慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？









6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自
钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行
多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？




18

第七讲 几何中的计数问题（一）
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一 讲
的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻 事
物规律的能力.
一、数线段
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点 称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、
多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线 段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对
于了解图形、分析图形是很重要的.
例1 数一数下列图形中各有多少条线段.





分析 要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一
定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.
第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线
段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按 照从左
至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段 有BC、BD
两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条 .
第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条 大线段
就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD 上有两个分
点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有 多少条线段？首
先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三 条基本线段的是
AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段 AE上有三个分点B、C、
D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线 段，那么线段AE上总共有多少条
线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含 有二条基本线段的有3条，然后是
包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条， 所以线段AE上总共有线段是4＋3
＋2＋1＝10条.
解：①2＋1＝3（条）.
② 3＋2＋1＝6（条）.
③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.
小 结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个
规律就 是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段
分点数 加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF
上 所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，
或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5 .
也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线 段的条数是5
＋4＋3＋2＋1＝15（条）.
二、数角
例2 数出右图中总共有多少个角.






分析 在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠< br>AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC 2、
∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1O B），最后是包含有
4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）.
解：4＋3＋2＋1＝10（个）.
小结：数角的 方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的
和，这个和里面的 最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.
例3 数一数右图中总共有多少个角？




19

解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.
所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.
三、数三角形
例4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
分析 可以采用类似
例1数线段的两种方法来数，如图（2）：
第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：
△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.
再数以AD为一条边的三角形共有：
△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.
以AE为一条边的三角形共有：
△AEF、△AEC二个三角形.
最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.
所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.
第二种方法：先数图中小三角形共有：
△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.
再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，
以三个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABF、△ADC二个三角形，
最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.
所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.
解：①3+2+1=6（个）
② 4+3+2+1=10（个）.
答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.
小结：计算三角形的总数也等于从1 开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上
的分点数加1，也就是三角形这边上分成 的基本线段的条数.
例5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？




分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？
怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段 （基
本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.
①要数多少条线段： 先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再
看BC、MN、G H这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.
②要数有多少个三角 形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在
△AGH中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC
中三角 形个数总共：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.
解：①在△ABC中共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）
②在△ABC中共有三角形是：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.
例6 如右图中，共有多少个角？
分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.
∠1、∠2、∠3、∠ 4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3
与∠4、∠4与∠1 ，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与
∠1；∠ 4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.
所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.
解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.
小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.






20



习题七

























































1.数一数下图中，各有多少条线段？
2.数一数下图中各有多少角？
3.数一数下图中，各有多少条线段？
4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

21

第八讲 几何中的计数问题（二）
我们在已经学会 数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来
进一步提高观察和思 考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.
一、数长方形
例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？







分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关 ，每一条线段对应一个长方形，所
以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：
4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每 一条线
段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中 共有长
方形为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）
=60（个）.
解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.
小结：一般情况下，如果有类似 图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），
另一边上有m-1个分点（不 包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，
这两组平行线将长方形分 为许多长方形，这时长方形的总数为：
（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.
例2 如右图数一数图中长方形的个数.
解：AB边上分成的线段有：
5+4+3+2+1=15.
BC边上分成的线段有：
3+2+1=6.
所以共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.
二、数正方形
例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）
分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：
2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：
1×1=1（个）.
所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.
图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.
所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.
图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：
4×4=16（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；
边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；
所以，正方形的总数为：
1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.
图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：
5×5=25（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；
边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；
边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

22
边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.
所有正方形个数为：
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.
小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个 大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单
位的正方形个数有：n×n=n2（个）， 边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；
边长为（n- 1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1
（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.
例4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.
分析 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正
方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：
6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有：
5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有：
4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有：
3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：
2×1=2（个）.
所以，正方形总数为：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（个）.
小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）
那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（ n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1
显然例4是结论的特殊情况.
例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问 能套
出多少个正方形.





分析 这 个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定
的，所以如何 确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向
正方形14 个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能
再围出比 它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：
14+6 =20（个）.
我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，







可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.
三、数三角形
例6 如右图，数一数图中三角形的个数.
分析 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形
开始.
Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：
W①上=1+2+3+4=10（个）.
②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：
W①下=1+2+3=6（个）.
Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：
W②上=1+2+3=6（个）.
②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.

23
Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：
①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：
W③上=1+2=3（个）.
②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.
Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：
W④上=1（个）.
所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.
我们还可以按另一种分类情况计算 三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算
三角形个数.
Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：
W①下=1+2+3+4=10
W②上=1+2+3=6
W③上=1+2=3
W④上=1
所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：
W①下=1+2+3=6
W②下=1
W③下=0
W④下=0
则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）
所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：
20+7=27（个）.
小结：尖朝上的 三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连
续自然数最多的和 中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比
上一次少一个最大 的加数，直到1为止.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是 尖朝上的第二个和，依次
各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.
例7 页图数一数图中有多少个三角形.
解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：
Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：
（1）W①上=8+7+6+5+4=30
（2）W②上=7+6+5+4=22
（3）W③上=6+5+4=15
（4）W④上=5+4=9
（5）W⑤上=4
∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.
Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：
（1）W①下=3+4+5+6+7=25
（2）W②下=2+3+4+5=14
（3）W③下=1+2+3=6
（4）W④下=1
尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）.
∴所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有
80+46=126（个）.
四、数综合图形
前面我们已对较基本、简单 的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形
即综合图形的数法，我们仍需 遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的
就按分类数，或者两者结合起 来就一定能把图形数清楚了.
例7 页图，数一数图中一共有多少个三角形.
分析图中 有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不
同的种类？ 每种相同的三角形各有多少个？
解：根据图中三角形的形状和大小分为六类：
Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；
Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；
Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；
Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；
Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；
Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个.
所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5=35（个）.

24
例8 图，数一数图中一共有多少个三角形？
分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：






第一步：大矩形ABCD可分为 四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所
包含的三角形个数是相 同的.
第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AE GD，每一个这样的
图形中所包含的三角形个数是相同的.
第三步：每三个小矩形占据的 部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样
的图形中所包含的三角形 个数是相同的.
最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个
数.
解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：
①由一个三角形构成的有8个.
②由两个三角形构成的三角形有5个.
③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.
这样在一个小矩形内有17个三角形.
Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.
Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.
所以整个图形共有三角形个数是：
（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）.


习题八
1.下图中有多少个正方形？ 2.下图中有多少个长方形？ 3.下图中有多少个三角形？






4.下图中有多少个长方形？ 5.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？






6.下图中有多少个三角形？ 7.下图中有多少个三角形？







8.下图中有多少个正方形？ 9.下图中有多少个长方体？










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第九讲 图形的剪拼（一）
把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图
形， 完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系.
例1 如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？






分析 如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑 它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个
面积相等的部分.每部分面积应是正方形面积的




图形，于是我们就有了如图（2）的分法.
仿照例1的分法我们把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块



正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右
图所示.
例2 把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.





分析 分成8块的方法是：先取各边的中点 并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，
然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图 所示的图形.
分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所 示的符合条件的
图形.
例3 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方
形.
分析 已知长方形面积9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方 形上半
部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形 ，如下
右图.



例4 把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等.
分析 连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它
们分 成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形.（如下页图（1）所示）
出于分成正方形、长方形面积 相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一
一拼出所要求的正方形和长方形了 （如图（2）、（3）所示）.





除这种方法外，还有多种拼接方法.
例5 在下左图中画5条线，把小圆圈分开，并使每块大小、形状都相等.
分析 因为图中有8个小圆圈，画5条线把图形应分成8块，根据小圆圈的分布特点，分法如下图（右）
所示.





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