k1078大学数学中的无穷观

2020年11月30日发(作者：宦懋庸)
云南大学学报
(
自然科学版
),2008,30(S2):456
～
460
JournalofYunnanUniversity
CN53-1045/ N
　
ISSN0258-7971
Ξ
大学数学中的无穷观
杨宗文,李 友宝
(
云南大学数学系
,
云南昆明　
650091)
摘要< br>:
讨论数学中的无穷概念的学习与理解
,
使大学数学教育更有利于大学生建立科 学的数学无穷观
,
提高
大学生的数学素质
.
关键词
:
无穷大量
;
无穷小量
;
潜无穷
;
实无穷
;ZFC
公理集合论系统
中图分类号
:G642.0;O143
　　文献标识码
:A
　　文章编号
:0258-7971
(
2008
)
S 2-0456-05
　　无穷是数学中一个基本概念,不仅是几乎所有大学生都学习的高等数学中的一个 重要概念,更是
数学类大学生课程中一个不可缺少的概念:几乎所有的数学专业课程都离不开无穷概念. 无穷是一个数学
中广泛使用的概念:高等数学、数学分析极限论中有无穷大量、无穷小量之无穷
[1
～
2]
,实变函数集合论中
有无穷集合之无穷
[3
～< br>4]
,复变函数中有无穷远点之无穷,广义函数、非标准分析中也有含义不同之无
穷[5
～
8]
,等等.同时无穷概念又是一个包含矛盾、倍受争议的概念:数学史上 “潜无穷”与“实无穷”2种无穷
观长期争论,这一争论延续至今仍未完全停止,虽然这已不是现代数学 的主流,但也使无穷这一基本的数
学概念蒙上了一层阴影,时时会影响我们的数学学习
[9～
16]
.
那么,无穷到底为何物呢?面对争论,我们该何去何从呢?
本 文对大学数学相关的无穷概念进行一些分析讨论,以求有利于大学生的数学学习,并有助于大学生
形成基 于现代数学的科学的数学无穷观.
1
　潜无穷与实无穷
从哲学上讲
,
从公元前400多年前开始对无穷的观念就产生了分歧
,
潜无穷与实无穷的无穷观一直争
论至今
.
潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程
;
实无穷的无穷观 认为无穷是实际存在的
,
无穷
是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象
.
认为无穷能否完成或形成整体
,
是无穷观的关键所在
.
如果坚持潜无 穷论
,
将导致一些与实际相矛盾的现象
(
如芝诺关于时间、空间无穷可分的悖 论的一个
原因
,
就在于认为相应无穷分划是一个“潜无穷”过程
,
永 远不能完成
;
如果使用实无穷论
,
认为相应无穷
分划虽然是一个无穷 过程
,
但这是一个已经完成的过程
,
就不出现悖论了
)
,< br>并且数学上将导致现代数学失
去大部分内容
.
当然坚持实无穷论
,也会出现一些与日常知识不一致的方面
(
如整体大于部分将不再绝对
成立
).
这是不同的哲学观点对无穷世界的不同认识
.
那么
,
在数学中我 们怎样认识无穷这个概念呢
?
基于哲学上潜无穷观与实无穷观的影响
,
数学上 对无
穷的看法也有2种不同的观点
:
潜无穷观与实无穷观
.
经典数学 的基础是ZFC公理集合论系统
,
ZFC公理
集合论系统中有无穷集合存在公理
,
从而承认无穷集合的存在
,
故经典数学接受实无穷观
.
坚持潜无 穷观
的数学家不能认可无穷集合的存在
,
他们研究的也是数学
,
只不 过他们研究的不是经典数学
,
而是与经典
数学不同的另一个数学体系
:
直觉主义数学
.
集合论的公理系统中由数学家策梅罗提出
,
后经弗兰克尔、 斯科兰姆和冯诺伊曼等人改进的一组公
Ξ
收稿日期
:2008-11-10
基 金项目
:
云南省教育厅基金资助项目
(07Z10533);
云南大学理(
工
)
科校级科研项目资助
(2008YB027).
)
,
男
,
云南人
,
硕士
,
副教授
,
主要从事代数、作者简介
:
杨宗文
(
1965-
　数论、数学基础 方面的研究
.
第
S2
期　　　　　　　　　　　　　　　杨宗文等
:
大学数学中的无穷观
457
)
:
①外延公理
;
②空 集合存在公理
;
③无序对集理
,
称为ZF系统
.
ZF系统的 非逻辑公理是
(
公理①～⑨
合存在公理
;
④幂集合存在公理
;
⑤并集合存在公理
;
⑥分离公理模式
;
⑦替换公理
;⑧无穷集合存在公
理
;
⑨正则公理
.
另外还有⑩选择公理
(
AC
).
ZF集合公理系统加上选择公理AC就成为ZFC公理集合论
系 统
.
ZFC公理集合论系统中罗素悖论等悖论被赶走了
,
故ZFC公理集合论 系统可以作为经典数学的逻
辑依据
,
是康托集合论的形式化
,
在ZF C公理集合论系统中康托集合论的所有结论都成立
,
从而ZFC公理
集合论系统是最常 用的公理集合论系统
,
也是为绝大多数数学家所接受的数学基础
.
由于ZFC 公理集合
论系统是经典数学的基础
,
在不加说明或者通常所说的数学研究中就必须以Z FC公理集合论系统为基
础
,
必须接受ZFC公理集合论系统及其中的相应结论
,
如必须承认无穷集合的存在
,
数学归纳法及超限归
纳法
(
从而接受无穷集合的归纳构造方法
)
等经典的数学知识
.
如果不承认这些前 提
,
即使是严格推导出
的结果
,
可能也已经不是经典数学的结论(
也可能是数学结论
,
但是是其它数学系统中的结论
,
与经典数 学
结论可能完全不同
)
.
直觉主义数学认为“存在必须是被构造
:.
”即数学中的概念和方法必须是构造性的
,
亦即只承认按固
定方式经有限个步 骤能够定义的概念和能够实现的方法才是有效的
.
构造性亦称能行性
.
虽然直 觉主义数
学强调的能行性问题具有十分重大的现实意义
,
特别是在使用计算机时
,
构造性方法是有重要意义的
.
但
是
,
直觉主义数学对于 对非构造性数学是绝对排斥的
,
从而无法解释非构造性数学在一定范围内应用上的
有效 性
.
又由于只承认一部分最保险的数学
,
大部分经典数学内容
(特别是与实际生活一致、有用的数学内
容
)
都被抛弃
,
同时人们 许多日常认为最简单、最明白无讹的数学内容都需要重新用构造化方法处理
,
变
得麻烦 、不方便起来
.
基于这些原因
,
直觉主义数学并不被绝大多数数学家接受.
2
　无穷大量、无穷小量及无穷集合中的无穷概念
大学数学中高等数学、数学分 析分别对普通大学生、数学类大学生后续课程的学习有着直接的影响
,
集合论更是现代数学乃至 现代科学的基础
,
集合论还可以看成是研究无穷的理论
.
准确把握大学数学极 限
论及集合论中的无穷概念
,
是大学生数学素质培养的一个重要方面
.
基本上无穷有3种类型
:
无穷大、无穷
小及无穷多
,
对应到高等数 学、数学分析极限论及集合论中的无穷概念为
:
ε
>
0
,
一 定存在
δ
>
0
,
使定义1　
(
1
)
设
A
是一个定数
,f
(
x
)
是
x
0
的邻域内有定义的函数
.
如果Π
得当0
<|x-x
0< br>|<
δ
时
,
总有
|f
(
x
)
-A|<
ε
,
则称
A
是函数
f
(
x)
当
x
→
x
0
时的极限
,
记为
lim
f
(
x
)
=A.
x
→
x
0
(
2
)
如果lim
f
(
x
)
=
0
,
则称
f
(
x
)
当
x
→
x
0
是无穷小量
.
x
→
x
0
(
3
)
如果对任意给定的
X>
0
,
一定存在
δ
>
0
,
使得当0
<|x-x
0
|<
δ< br>时
,
总有
|f
(
x
)
|>X,
则< br>称函数
f(x)
当
x
→
x
0
时是无穷大量< br>,
记为lim
f(x)=
∞
.
x
→
x
0
类似还有数列极限相应的无穷大量、无穷小量概念
,
单侧极限无穷大量、无穷小量
,
无穷远处的无穷大
量、无穷小量等概念
.
引理1　设
x< br>0
是一个定数
,f
(
x
)
是
x
0< br>的邻域内有定义的函数
.
则
:
(
1
)
如果l im
f
(
x
)
=
∞
,
则lim
x
→
x
0
x
→
x
0
1
f(x)=
0
.
(
2
)
如果lim
f
(
x
)
=
0
,
且在
x
0
的邻域内
f
(
x
)
≠0
,
则lim
x
→
x
0
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
∞
.
引理1的结论简言之即为
:
无穷大量的倒数是无穷小 量
,
无穷小量的倒数是无穷大量
,
无穷大量与无
穷小量互为反演关系
,
从而二者的关系是
:
知道了其中一个的性质也就相应的知道了另一个的性质
.
定义2　设
A,B
是2个集合
.
如果存在一一映射
f:A
→
B,
则称集合
A
与
B
成1
-< br>1对应
.
如果集
合
A
与
B
能建立1
-
1对应
,
称集合
A
与
B
互相对等
.对所有对等的集合给定一个标志
,
称这个标志为这
类集合中各个集合的基数
.
故所有对等的集合中各个集合的基数都相等
,
亦即对等的集合基数都相等
.