饱经风霜的日记大学全册高等数学知识点(全)

2020年11月30日发(作者：齐连云)
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续

一. 数列函数:
1. 类型:
(1)数列: *; *
(2)初等函数:
(3)分段函数: *; *
(4)复合(含)函数:
(5)隐式(方程):
(6)参式(数一,二):
(7)变限积分函数:
(8)级数和函数(数一,三):
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (单调
(2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数:
二. 极限性质:
1. 类型: *; *(含); *(含
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论:
, ,
, , ,
,
四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当时,
;


2. 泰勒公式:
(1);
(2);
(3);
;*
定号)
)
,
,
;
;



(4)
(5)
五. 常规方法:
前提: (1)准确判断
;
.
(其它如:); (2)变量代换(如:)
1. 抓大弃小,
2. 无穷小与有界量乘积 () (注:)
3. 处理(其它如:)
4. 左右极限(包括):
(1); (2); (3)分段函数: , ,
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与)
(2)幂指型处理: (如: )
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: (分段函数)
六. 非常手段
1. 收敛准则:
(1)
(2)双边夹: *, *
(3)单边挤: * * *
2. 导数定义(洛必达?):
3. 积分和: ,
4. 中值定理:
5. 级数和(数一三):
(1)收敛, (如) (2)
(3)与同敛散
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *
(1)
(2)
2. 渐近线(含斜):
(1)
(2),()

,

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)
八. 上连续函数性质
1. 连通性: (注:, “平均”值:
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: (根的个数);
(2).
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数:
(1) (注:连续)
(2)左右导:
(3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导)
2. 微分与导数:
(1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);
二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数
三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3)
(注: , 求:及的连续性)
2. 初等导(公式加法则):
(1), 求:(图形题);
(2), 求: (注:
(3),求及 (待定系数)
3. 隐式()导:
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): , 求:
5. 高阶导公式:
;


注: 与泰勒展式:
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线)
)
)

)


2. 物理: (相对)变化率速度;
3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)
五. 单调性与极值(必求导)
1. 判别(驻点):
(1)
(2)分段函数的单调性
(3)零点唯一;
2. 极值点:
(1)表格(
(2)二阶导(
注(1)与
(2)实例: 由
变号); (由
)
的匹配(图形中包含的信息);
确定点“”的特点.
;
驻点唯一(必为极值,最值).
的特点)
(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)
3. 不等式证明()
(1)区别: *单变量与双变量? *
(2)类型: *
*
(3)注意: 单调性端点值极值
介值 4. 函数的零点个数: 单调

六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. 表格; (
; *
; *
凹凸性. (如:
与


)
?
)
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
1. 结论:
2. 辅助函数构造实例:
(1)
(2)
(3)
(4)
3.
4. 特例: 证明
5. 注: 含
6. 附(达布定理): 在
八. 拉格朗日中值定理
1. 结论:
2. 估计:
九. 泰勒公式(连接
1. 结论:
2. 应用: 在已知或值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]


一. 基本概念:

之间的桥梁)
;
有个零点
的常规方法:令
时,分家!(柯西定理)
可导,
; (
,,使:
)


;
有个零点
有个零点(待定)


第三讲: 一元积分学
1. 原函数
(1)
注(1)
(2)
:
; (2)
(连续不一定可导);
(
;
;
连续)

; (3)
2. 不定积分性质:
(1)
(2)
二. 不定积分常规方法
1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(
如:

4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
(2)作用与引伸(化简):
5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如
(2)“反对幂三指”:
(3)特别:
6. 特例: (1)
(*已知
; (2)

的原函数为; *已知
快速法; (3)
)


);


)


三. 定积分:
1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*
(3)附: ,
; *
)

(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分
(1)
(2)
(3)由函数

3. 公式: (在上必须连续!)
可积连续,
的处理(重点)
连续
;
可导
;
参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性
(2)有理式, 三角式, 根式
(3)含
4. 变量代换:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
的方程.

,
(如:
,
;
,
,
)

5. 分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知或时, 求
6. 附: 三角函数系的正交性:



四. 反常积分:
1. 类型: (1)
(2)
2. 敛散;
3. 计算: 积分法
4. 特例: (1)
: (
公式
; (2)
在
极限(可换元与分部)

(连续)
处为无穷间断)



五. 应用: (柱体侧面积除外)
1. 面积,
(1)
(3)
2. 体积:
(1)
(3)
3. 弧长:
(1)
(2)
(3)
与



:



; (2)
(2)
; (4)侧面积:
;

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):
(1);
(2), (以为周期:)

第四讲: 微分方程
一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令(如欧拉方程)
(2)令
3. 建立方程(应用题)的能力
二. 一阶方程:
1. 形式: (1); (2)
2. 变量分离型:
(1)解法:
(2)“偏”微分方程:
3. 一阶线性(重点):
(1)解法(积分因子法):
(2)变化:
(3)推广: 伯努利(数一)
4. 齐次方程:
(1)解法:
(2)特例:
5. 全微分方程(数一):

6. 一阶差分方程(数三):
三. 二阶降阶方程
1. :
2.
3.
四. 高阶线性方程:
1. 通解结构:
(1)齐次解:
(2)非齐次特解:
2. 常系数方程:
(1)特征方程与特征根:


的算子法)
, 令
: 令
: 令






且


;

;




(如伯努利方程)
; (3)



(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附:
(3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一):