变形记读后感数学文化作业

2020年11月30日发(作者：霍祝三)


《缀术》的读书报告
《缀术》是中国南北朝时 期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅之父子的数学研究
成果。这本书被认为内容深奥，以致“学官莫能究 其深奥，故废而不理”（《隋
书》）。《缀术》在唐代被收入《算经十书》，成为唐代国子监算学课本， 当时
学习《缀术》需要四年的时间，可见《缀术》的艰深。《缀术》曾经传至朝鲜、
日本，但到 北宋时这部书就已亡佚。
《缀术》是祖冲之所作，还是祖暅之所作，中国数学史界至今没有定论，在可 以
预见的将来，也不可能有定论。不过，有两点是可以肯定的：一，它是祖冲之父
子的著作。二 ，它是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。李淳风高度评价了
祖冲之的数学贡献，认为“指要精密， 算氏之最者也”。他所著的《缀术》，因
“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。遂失传。稍前于李淳风 的王孝通却对《缀
术》横加指责，他说：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之
术全错不通，刍亭[2]、方亭之间，于理未尽。”那么，到底是《缀术》“全错
不通”，还是王孝通 “莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界
却一直有不同的看法。笔者认为：“王孝通对 缀术的指责表明王氏不能理解祖家
父子的数学创造，而不是相反。然而，当时对这种看法的理由说得不充 分，现阐
述如下。
第一点：首先，考察中国传统数学的发展脉络。隋唐虽然是盛世，数学上也 有设
立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和
不等间距内 插法外，几无创造。它在数学成就与数学理论上，不仅远低于后来的
宋元，而且远低于前此的魏晋南北朝 。人们往往只注意明朝数学的落后——它适
逢西方文艺复兴前后，西方数学崛起，随后是变量数学的产生 ，中国从此失去了
数学大国的地位，以至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，< br>而同时，却忽视了盛唐数学的落后。因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前面
曾经出现过的低潮 ，另一方面设立算学馆、明算科，整理算经十书等举措给人以
繁荣的假象；同时，人们也不容易将盛世与 数学这一重要学科落后联系起来；甚
至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于宋”实际上，隋唐时期没 有出现过一
位可以与其前刘徽、祖冲之，其后贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的数学家，
也 没有创作过一部可以与其前《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》，其后
《黄帝九章算经细草》、《 数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算
学启蒙》、《四元玉鉴》等等量齐观的数学著作。 王孝通的《缉古算经》在解决
土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。而据钱宝琮考 证，
祖冲之已能解负系数三次方程，比王孝通还高明。李淳风等整理十部算经，很有
贡献，然而 ，除《周髀算经注释》比赵爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，
意义都不大。尤其是对《九章算术 》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是
数学理论，都是远远低于刘徽注的作品。[7]应该说，王 孝通、李淳风是唐朝最
有名的两位数学家．他们尚且如此，遑论其他。事实上，李淳风已经发现隋和唐< br>初的数学不如前代，直言当时的算学馆学官（相当于今天的重点大学数学系教授）
对《缀术》“莫 能究其深奥，是故废而不理”。这一状况的直接后果是造成《缀
术》失传的悲剧。《缀术》列入算学馆教 材。但是，是不是实施了教学活动，我
很怀疑。教师都不懂，怎样教学生？只好“废而不理”。此语出自 一位当时的大
数学家，应该是可信的。《唐六典》等史书反映的只是官方文件，而官方文件总
不 会百分之百的被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。顺便说一下《缀
术》的失传问题。笔者认 为，《缀术》的失传不是在宋初，而是在唐初之后，很
可能在安史之乱时。当时没有印刷术，《缀术》只 有几个抄本，被废而不理，是
很难流传下来的，特别，经不起大的全国性的战乱。在安史之乱之后，又有 唐末
的大战乱和五代十国的纷争。无论如何，是流传不到宋初的。史书说楚衍“于《九
章》、《 缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”，[8]只不过是史家信
笔书来，并不是完全靠得住的。 楚衍是宋初天算家的领袖，贾宪的老师，天圣初
（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇佑（1049 ~1053）中造《司晨星漏历》，
后来与周琮同管司天监。可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积 极地从事科学
活动。宋朝从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会动乱或打击文化人的活
动 ，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到30年后的元丰七年（1084）秘书
省刻十部算经时，不会 找不到《缀术》而付之阙如。总之，是隋唐数学的落后，
导致了《缀术》的失传。
第二点：其 次，与第一点相联系的，我们考察一下李淳风、王孝通对刘徽、祖冲
之父子的指责。先看李淳风等对刘徽 的指责，主要有三处。第一处是《九章算术》
方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相 乘谓之幂”的定义，
一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义“全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略
为料简，遗诸后学” 。这种指责是没有道理的。《九章算术》没有幂的概念，它
所使用的积，既可以是面积，又可以是体积。 刘徽则在积中划出广从相乘这一种，
称为幂，也就是现在所说的面积。显然，幂是积的一种。换言之，幂 是积，而积
不一定是幂。在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种差。刘徽关于幂的定义
符合 逻辑学中定义等于属加种差的要求，是十分严谨的。李淳风既看不出积、幂
的相同之处，又看不出它们的 区别，指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养
和数学水平的低下，起码远远低于刘徽。第二处是方田 章圆田术注释，李淳风等
说，对周三径一，“刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周、径相乘，数难契合。
徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，
捃摭诸家，考 其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。”李淳
风等表彰祖冲之求圆周率的成绩是完全 正确的，然而贬斥刘徽则是十分错误的。
祖冲之与刘徽，没有是与非的问题，只有圆周率精确度的问题。 在中国数学史上，
是刘徽首先创造了在正确的数学理论基础之上的求圆周率的程序。科学的理论、
正确的方法的建立，其意义远比它们的应用重要。祖冲之求圆周率的程序没有流
传下来，比较可靠的看 法是，他使用了刘徽的方法，而在计算上更加精确。钱宝
琮指出：“李淳风缺少历史发展的认识，有意轻 视刘徽割圆术的伟大意义，徒然
暴露他们自己的无知。”[12]钱宝琮的看法非常中肯。李淳风不懂刘 徽证明圆面
积公式时所使用的无穷小分割方法和极限思想。第三处在少广章开立圆术注释
中，李 淳风等在引用祖暅之的开立圆术之前说：“祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以
圆qun为方率，丸为圆率。” 在引用了祖氏开立圆术之后说：“张衡放旧，贻哂
于后。刘徽循故，未暇校新。夫其难哉，抑未之思也。 ”这里的所谓“祖暅之谓”
恐是李淳风等未准确反映祖氏的意思。刘徽否定了《九章算术》的开立圆术， 设
计了牟合方盖，提出球与方盖的体积之比为 π∶4 这一正确的论断，指出了解
决球体积的 正确途径。刘徽未能求出牟合方盖的体积，实事求是地记下了自己的
困惑，并寄希望于后学，表示“以俟 能言者”，表现了一位真正的科学家的宽广