祭奠青春工程数学作业答案

2020年11月30日发(作者：叶世金)
工程数学作业（一）答案（满分100分）
第2章 矩阵
（一）单项选择题
⒈设 ，则 （D ）．
A. 4 B. －4 C. 6 D. －6
⒉若 ，则 （A ）．
A. B. －1 C. D. 1
⒊乘积矩阵 中元素 （C ）．
A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）．
A. B.
C. D.
⒌设 均为 阶方阵，k为常数，则下列等式正确的是（D ）．
A. B.
C. D.
⒍下列结论正确的是（ A）．
A. 若 是正交矩阵，则 也是正交矩阵
B. 若 均为 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵
C. 若 均为 阶非零矩阵，则 也是非零矩阵
D. 若 均为 阶非零矩阵，则
⒎矩阵 的伴随矩阵为（ C）．
A. B.
C. D.
⒏方阵 可逆的充分必要条件是（B ）．
A. B. C. D.
⒐设 均为 阶可逆矩阵，则 （D ）．
A. B.
C. D.
⒑设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．
A. B.
C. D.
（二）填空题
⒈ 7 ．
⒉ 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2


．

⒊若 为 矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，则 为 5×4 矩阵．
⒋二阶矩阵 ．
⒌设 ，则
⒍设 均为3阶矩阵，且 ，则 -72 ．
⒎设 均为3阶矩阵，且 ，则 －3 ．
⒏若 为正交矩阵，则 0 ．
⒐矩阵 的秩为 2 ．
⒑设 是两个可逆矩阵，则 ． 证明： 是 阶方阵，且

或
⒐若 是正交矩阵，试证 也是正交矩阵．
证明： 是正交矩阵


即 是正交矩阵

工程数学作业（第二次）
第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
⒈用消元法得 的解 为（C ）．
A. B.
C. D.
⒉线性方程组 （B ）．
A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解
⒊向量组 的秩为（ A）．
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⒋设向量组为 ，则（B ）是极大无关组．
A. B. C. D.
⒌ 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A）．
A. 秩 秩 B. 秩 秩
C. 秩 秩 D. 秩 秩
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（B ）．
A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解
⒎以下结论正确的是（D ）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．
A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量
C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9．设A，Ｂ为 阶矩阵， 既是Ａ又是Ｂ的特征值， 既是Ａ又是Ｂ的属于 的特征向量，
则结论（ D）成立．
Ａ． 是AB的特征值 Ｂ． 是A+B的特征值
Ｃ． 是A－B的特征值 Ｄ． 是A+B的属于 的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（二）填空题(每小题2分，共16分)
⒈当 １ 时，齐次线性方程组 有非零解．
⒉向量组 线性 相关 ．
⒊向量组 的秩是 ３ ．
⒋设齐次线性方程组 的系数行列式 ，则这个方程组有 非零 解，且系数列向量 是线
性 相关 的．
⒌向量组 的极大线性无关组是 ．
⒍向量组 的秩与矩阵 的秩 相等 ．
⒎设线性方程组 中有5个未知量，且秩 ，则其基础解系中线性无关的解向量
有 ２ 个．
⒏设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且 的基础解系为 ，则 的通解为 ．K1,K2为
任意常数。
9．若 是Ａ的特征值，则 是方程 的根．
10．若矩阵Ａ满足 ，则称Ａ为正交矩阵．
（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)
1．用消元法解线性方程组

解： 方程组解为
２．设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
解：
］
当 且 时， ，方程组有唯一解
当 时， ，方程组有无穷多解
３．判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

解：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解
这里

方程组无解
不能由向量 线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

解：
该向量组线性相关
５．求齐次线性方程组 的一个基础解系．
解：


方程组的一般解为 令 ，得基础解系
６．求下列线性方程组的全部解．

解： 方程组一般解为
令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解

７．试证：任一４维向量 都可由向量组
， ， ，
线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
证明：
任一４维向量可唯一表示为

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只
有零解．
证明：设 为含 个未知量的线性方程组
该方程组有解，即
从而 有唯一解当且仅当
而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是
有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解
9．设 是可逆矩阵Ａ的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值．
证明： 是可逆矩阵Ａ的特征值
存在向量 ，使


即 是矩阵 的特征值
10．用配方法将二次型 化为标准型．
解：


令 ， ， ，