交响乐欣赏数学建模各种分析报告方法

2020年11月30日发(作者：于德基)
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现代统计学

1.因子分析(Factor Analysis)
因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，< br>即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所
以称其为因子，是 因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因
子反映原资料的大部分信息。
运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度
的主要因素是哪些，以及它们 的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以
为市场细分做前期分析。
2.主成分分析
主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，
用主成分分 析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成
分分析一般很少单独使用：a，了解 数据。(screening the data),b,和cluster
analysis一起使 用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，
直接使用判别分析可能无解，这时候可以 使用主成份发对变量简化。（reduce
dimensionality）d,在多元回归中，主成 分分析可以帮助判断是否存在共线性（条
件指数），还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别
1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分 析中则是把主成
分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方 差，而因子分析则把重点放在解释
各变量之间的协方差。
3、主成分分析中不需要有假设( assumptions),因子分析则需要一些假设。因子
分析的假设包括：各个共同因子之间不相关 ，特殊因子（specific factor）之
间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。
4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，
的主成分一般是 独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因
子。
5、在因子分析中，因 子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，
只要是特征值大于1的因子进入分析），而 指定的因子数量不同而结果不同。在
主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成 分。
和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释
方面更加有 优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的
时候，更加倾向于使用因子分析，并 且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把
现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所 有变量的信息）来
进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分
做到。所以这中区分不是绝对的。
总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术 ，在分析者进行多元
数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
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和cluster analysis一起使 用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个
案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以 使用主成份发对变量简化。
（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成 分分析可以帮助判断是否存
在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。
在算法上，主成分分析和因子分析很类似，不过，在因子分析中所采用的
协方差矩阵的对角元素不在是变 量的方差，而是和变量对应的共同度（变量方差
中被各因子所解释的部分）。
3.聚类分析(Cluster Analysis)
聚类分析是直接比较各事物之间的 性质，将性质相近的归为一类，将性质差
别较大的归入不同的类的分析技术 。
在市 场研究领域，聚类分析主要应用方面是帮助我们寻找目标消费群体，运
用这项研究技术，我们可以划分出 产品的细分市场，并且可以描述出各细分市场
的人群特征，以便于客户可以有针对性的对目标消费群体施 加影响，合理地开展
工作。
4.判别分析(Discriminatory Analysis)
判别分析(Discriminatory Analysis)的任务是根 据已掌握的1批分类明确
的样品，建立较好的判别函数，使产生错判的事例最少，进而对给定的1个新样
品，判断它来自哪个总体。
根据资料的性质，分为定性资料的判别分析和定量资料的 判别分析；采用不
同的判别准则，又有费歇、贝叶斯、距离等判别方法。
费歇（FI SHER）判别思想是投影，使多维问题简化为一维问题来处理。选择
一个适当的投影轴,使所有的样品 点都投影到这个轴上得到一个投影值。对这个
投影轴的方向的要求是：使每一类内的投影值所形成的类内 离差尽可能小，而不
同类间的投影值所形成的类间离差尽可能大。
贝叶斯（BAYE S）判别思想是根据先验概率求出后验概率，并依据后验概率
分布作出统计推断。所谓先验概率,就是用 概率来描述人们事先对所研究的对象
的认识的程度；所谓后验概率，就是根据具体资料、先验概率、特定 的判别规则
所计算出来的概率。它是对先验概率修正后的结果。
距离判别思想是根据 各样品与各母体之间的距离远近作出判别。即根据资料
建立关于各母体的距离判别函数式，将各样品数据 逐一代入计算，得出各样品与
各母体之间的距离值，判样品属于距离值最小的那个母体。
5.对应分析(Correspondence Analysis)
对应分析是一种用来研究变量与变量之间联系紧密程度的研究技术。
运用这种研究技术，我们可 以获取有关消费者对产品品牌定位方面的图形，从
而帮助您及时调整营销策略，以便使产品品牌在消费者 中能树立起正确的形象。
这种研究技术还可以用于检验广告或市场推广活动的效果，我们可以 通过对
比广告播出前或市场推广活动前与广告播出后或市场推广活动后消费者对产品
的不同认知 图来看出广告或市场推广活动是否成功的向消费者传达了需要传达
的信息。
6.典型相关分析
典型相关分析是分析两组随机变量间线性密切程度的统计方法，是两变量间
线性相关分 析的拓广。各组随机变量中既可有定量随机变量，也可有定性随机变
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量(分析时须F6说明为定性变量)。本法还可以用于分析高维列联表各边际变量
的线性关系。
注意：
1．严格地说，一个典型相关系数描述的只是一对典型变量之间的相关，而不是
两个变量组之间的相关。而各对典型变量之间构成的多维典型相关才共同揭示了
两个观测变量组之间的 相关形式。
2．典型相关模型的基本假设和数据要求
要求两组变量之间为线性关系，即每对典型变量之间为线性关系；
每个典型变量与本组所有观测变 量的关系也是线性关系。如果不是线性关系，
可先线性化：如经济水平和收入水平与其他一些社会发展水 之间并不是线性关系，
可先取对数。即log经济水平，log收入水平。
3．典型相关模型的基本假设和数据要求
所有观测变量为定量数据。同时也可将定性数据 按照一定形式设为虚拟变量后，
再放入典型相关模型中进行分析。
7.多维尺度分析(Multi-dimension Analysis)
多维尺度分析(Multi-dimension Analysis) 是市场研究的一种有力手段，它
可以通过低维空间（通常是二维空间）展示多个研究对象（比如品牌）之间的联
系，利用平面距离来反 映研究对象之间的相似程度。由于多维尺度分析法通常是
基于研究对象之间的相似性（距离）的，只要获 得了两个研究对象之间的距离矩
阵，我们就可以通过相应统计软件做出他们的相似性知觉图。
在实际应用中，距离矩阵的获得主要有两种方法：一种是采用直接的相似性
评价，先所有评价对象进行两 两组合，然后要求被访者所有的这些组合间进行直
接相似性评价，这种方法我们称之为直接评价法；另一 种为间接评价法，由研究
人员根据事先经验，找出影响人们评价研究对象相似性的主要属性，然后对每个
研究对象，让被访者对这些属性进行逐一评价，最后将所有属性作为多维空间的
坐标，通过距离 变换计算对象之间的距离。
多维尺度分析的主要思路是利用对被访者对研究对象的分组，来反映被 访者
对研究对象相似性的感知，这种方法具有一定直观合理性。同时该方法实施方便，
调查中被 访者负担较小，很容易得到理解接受。当然，该方法的不足之处是牺牲
了个体距离矩阵，由于每个被访者 个体的距离矩阵只包含1与0两种取值，相对
较为粗糙，个体距离矩阵的分析显得比较勉强。但这一点是 完全可以接受的，因
为对大多数研究而言，我们并不需要知道每一个体的空间知觉图。
多元统计分析是统计学中内容十分丰富、应用范围极为广泛的一个分支。在
自然科学和社会科学的许多学 科中，研究者都有可能需要分析处理有多个变量的
数据的问题。能否从表面上看起来杂乱无章的数据中发 现和提炼出规律性的结论，
不仅对所研究的专业领域要有很好的训练，而且要掌握必要的统计分析工具。 对
实际领域中的研究者和高等院校的研究生来说，要学习掌握多元统计分析的各种
模型和方法， 手头有一本好的、有长久价值的参考书是非常必要的。这样一本书
应该满足以下条件：首先，它应该是“ 浅入深出”的，也就是说，既可供初学者
入门，又能使有较深基础的人受益。其次，它应该是既侧重于应 用，又兼顾必要
的推理论证，使学习者既能学到“如何”做，而且在一定程度上了解“为什么”
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这样做。最后，它应该是内涵丰富、全面的，不仅要基本包括各种在实际 中常用
的多元统计分析方法，而且还要对现代统计学的最新思想和进展有所介绍、交代。
因子分析

主成分分析通过线性组合将原变量综合成几个主成分，用较少的综合 指标来代
替原来较多的指标(变量)。在多变量分析中，某些变量间往往存在相关性。是什
么原 因使变量间有关联呢？是否存在不能直接观测到的、但影响可观测变量变化
的公共因子？因子分析(Fa ctor Analysis)就是寻找这些公共因子的模型分析方
法，它是在主成分的基础上构筑若干 意义较为明确的公因子，以它们为框架分解
原变量，以此考察原变量间的联系与区别。

例如，随着年龄的增长，儿童的身高、体重会随着变化，具有一定的相关性，
身高和体重之 间为何会有相关性呢？因为存在着一个同时支配或影响着身高与
体重的生长因子。那么，我们能否通过对 多个变量的相关系数矩阵的研究，找出
同时影响或支配所有变量的共性因子呢？因子分析就是从大量的数 据中“由表及
里”、“去粗取精”，寻找影响或支配变量的多变量统计方法。

可以说，因子分析是主成分分析的推广，也是一种把多个变量化为少数几个综
合变量的多变量分析方法， 其目的是用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量
之间的相关关系。

因子分析 主要用于：1、减少分析变量个数；2、通过对变量间相关关系探测，
将原始变量进行分类。即将相关性 高的变量分为一组，用共性因子代替该组变
量。
1. 因子分析模型

因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系
的变量归结为少数几个综合 因子的一种多变量统计分析方法。它的基本思想是将
观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密 的分在同一类中，而不同类
变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即 公
共因子。对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性
函数与特殊因 子之和来描述原来观测的每一分量。

因子分析模型描述如下：

（1）X = (x1，x2，…，xp)￠是可观测随机向量，均值向量E(X)=0，协方差阵Cov(X)=∑，且协方差阵∑与相关矩阵R相等（只要将变量标准化即可实现）。

（2）F = (F1，F2，…，Fm)￠ （m协方差矩阵Cov(F) =I，即向量的各分量是相互独立的。

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