秦淮名妓多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法

2020年11月30日发(作者：钱国梁)
电大理工
２００８年６月
Ｓｔｕｄｙ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｅｎ ｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ａｔ
ＲＴＶＵ．
第２期总第２３５期
多因素方差分析中数 学模型的建立与检验方法
邢航
阜新高等专科学校（阜新１２３０００）
摘要
在 实际问题和科学实验中很多现象的发生或变化是多个因素共同作用的结果，因素之间有些
相互没有影响， 有些是交互影响的，针对不同情况可以通过试验利用数学模型分析和解决这些问题．文章
论证了多因素方 差分析建模的条件和基本原理以及受各因素影响的显著性检验方法。
关键词
数学模型方差分析< br>离差平方和随机．误差
０
引言
ｊ＝ｌ，２，…，功，试验结果所得数据如表１。
方差分析是在随机干扰存在的情况下，把因
素变化所产生的影响分离出来进而做出因素变
表Ｉ方差分析样本数据
化对研究对象是否有显著性影响的推断。在实际
问题中很多现象的变化 是多因素共同作用的结
占
口ｌ
如…岛…
风
平均值Ｚ
．
果，多因素方差分析是利用数学模型的可分解
因一
素一４
ＸＩＩ
Ｘｔ２…Ｘ Ｉｊ…
∞ｂ
Ｚ．
性，从总变异中分解出条件误差（组间）和随机
误差（组内） ．并进行对比，从中找出影啊试验
局ｌ恐２．．’恐，．．．
Ｘ２ｌ，
爻ｔ．
结果的主要因素。我们主要研究二因素方著分析
以；
数学模型的建立与显著性检验。二因素方差 分析
４
Ｘｎ
Ｘ设…Ｘ｜ｂ．”
Ｘ｜ｂ
Ｘｔ．
中．分因素之间 无交互影响和有交互影响，即在
试验中分不重复试验和重复实验两个方面。下面
；以
Ｘ ｏ、…Ｘ西”Ｘ曲
Ｘ曲
夏。．
论述无交互影响不重复试验的二因素方差分析
数 学模型建立及假设检验。
己
均值
Ｘ．ｊＸ－Ｉ’‘‘ｘ。ｊ‘‘’’
ｚ一呓辫
∞否１ｒ’
ｌ
建立数学模型
首先假设所有试验数据都来自同一正态总
其中ｘ．，＝与兰扎产ｌ，２，…，６
体。
一．＝ｉＩ∑ｂ
ｘⅣｆ＿１’２＇…，口< br>（１）
对试验彳、曰两个因素进行考察。二者试验
设置，是服从正态分布．％～Ⅳ船Ⅳ， Ｇ２）的总体中
地位平等。Ａ因素有ａ个不同水平Ａｌ一２，…，Ａ。：
抽取的样本，假定彳， Ｂ不存在交互作用。
口因素有ｂ个不同水平岛局，…，既。Ａ、Ｂ之
假定劫叩玎＋ｓ玎
（２）
间无交互作用，对水平的每种组合０，锄进行一
ｓｕ～Ⅳ（ｏ，ａ２）Ｏ＝１，２…ａ； ｊ＝ｌ，２…６），
次独立试验。共得口６个试验结果姒卢１，２，…，ａ，
其中∥“表示４哆 ，条件下的理论期望值，Ｂ』
万　
基金项目：
方数据
辽宁省教育厅高等学校科 学研究皋会资助项目（２００８Ｄ０２８）
．７４．
电大理工总第２３５期
表示随机误 差，且相互独立。Ｅｈ（１）得
∥２去善萎～
（３）
∥７＝去∑Ｈ，（．，＝ｌ，２， …，６）Ｍ’－ｉＩ一９．。ｉ＝ｌ，２，…，口）
“Ｉ＝１
‘，ｉ＝ｌ
令
ｏ Ｉｉ＝ｐｉ．一ｐ，
ｐ｜＝／ａ．｜一ｐ
称口，为因素Ａ，的第ｉ个水平的效应，∥，为因素< br>乃的第，个水平的效应，分别表示因素Ａ、Ｂ的
各个水平的影响的程度。显然有关系式
∑ ％＝∑岛＝ｏ
（４）
将砌进行分解
隹ｉｊ＝讧七伐ｔ七ｐｊ七ｌ睡一讳ｔ一悻ｊ七ｐ）
令
６ｑ＝弘ｑ一弘ｉ一啦七ｔｌ
称为Ａｉ和Ｂｊ的交互效应。而对二因素无重
复试验方差分析，假设任意Ａｉ和Ｂ，之间不存在
交互效应，即全部６矿＝ｏ。这样岫分解式可写为地『＝旷。廿Ｂ』
综上所述，可得二因素无重复试验方差的数
学模型
—Ｋ，＝∥＋ ｑ＋岛＋岛／，ｆ＝１，２，…，口；／＝ｌ，２，…，ｂ，
窆ｑ－ｏ，圭绣：ｏ
＠’
１＝１
ｊ＝ｌ
６，ｊ＿Ｎ（０，盯２）且相互独立
其中∥，盯２，ａ【，∥Ｕ＝ｌ，２ ，…，ａ，ｊ＝ｌ，２，…，６），均
为未知参数。
２
显著性检验
对于二因素 无交互方差数学模型（１．５）的检
验主要是检验两个因素彳与Ｂ的影响是否显著。
要判断因素 彳的影响是否显著等价于检验
假设
Ｈｏｌ：ａｌ＝ａ２＝…＝ａｏ＝０
要判断因素曰的 影响是否显著等价于检验
假设
万　方数据
／／０２：ｐ
ｌ＝Ｊ，２－－＇－－ …＝∥触
检验上述假设的基本原理是将总离差平方和分
解为各因素导致的离差平方和及随机误差 导致
的离差平方和。具体方法如下
设定
Ａ一万台
矿一１÷
。∑川Ｘ
一Ｕ
ｘ｝
＝
１—６
置＿，（江ｌ，２，…，ａ）
（６ ）
Ｘ．．，
＝
１一口
置Ｊ（ｊ『＝１，２，…，ｂ）
由（６）有隅＝６∑（Ｚ．－２）２
ｉ＝１
￥Ｓｎ＝口∑ｂ（Ｅ—ｊ）２
（７）
』＝ ｌ
鼹Ｅ＝∑∑（墨厂墨．一牙．ｊ＋贾）２
ｉ＝１
ｊ＝ｉ
其中鼢称为因素彳的 效应平方和，表示因素么
的水平变化引起的影响；鼢称为因素Ｂ的效应
平方和，表示因素Ｂ的水 平变化引起的影响；
踊称为误差平方和，表示试验的随机误差影响。
●
总离差分解后的 公式为
蹈．＝∑∑瓯－２）２＝隅＋鼹厅＋ＳＳＥ（８）
Ｉ＝１
ｊ＝ｌ
上式表 明总离差的平方和分解为二因素的
影响（组间）和随机误差影响（组内）的离差平
方和。
在（８）成立时，利用关于正态分布平方和分解
的Ｃｏｃｈｒａｎ定理。可证明凰Ｉ与凰２分别成立时
的鼢，鼢，跣及Ｍｓｓ的分布规律。
Ｃｏｃｈｒａｎ定理：ＸＩ，Ｘ２…．Ｘｎ为刀个相互独立的服从标准正态分布的随机变量，
Ｑ，（卢ｌ，２，…，幼是某些ＸＩ，Ｘ２，…Ｘｎ线性组合
的平方和，其自由度分ＳＳＡ别为ｄｉ（／＝ｌ，２，…，／０。