世界最大的蟒蛇如何学好数学分析

2020年11月30日发(作者：房集)如何学好数学分析



刘轼波



数学分析是数学 系最重要的课程。许多后续课程都以它为基础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及泛函分 析。这些都属于分析数学的范畴。此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要研究拓扑空间在连续映射下不变的性质 ，而连续映射是数学分析中研究的连续函数的推广。而当今数学研究中最重要的部门——微分几何，乃是在微积分 对几何学的应用过程中发展起来的，因此也离不开数学分析的理论和方法。所以，要顺利完成数学系本科阶段的学 习，学好数学分析非常重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学研究的青年学子，好好掌握数学分析的理论和 方法是关键的第一步。



要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是 如此。如果真有这样的捷径，老师在上课时早就告诉大家了。这样的话，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了 呢? 如果只是蛮干，是不会有好的结果的，而且会很累。我见过不少同学，书都读破了，书页上也写满了笔记或 是在读书过程中的心得，看来还是很用功的。但是他跑来问我的问题却很简单，有些甚至在书上就有明白的解释。 我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是由于他虽然花了很多时间，但却没有认真对以下要提到的几个方面进 行思考。所以他对基本内容没有很深的印象。



下面我想就数学分析的学习，谈 谈我的看法。一谈到数学的学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先仔细研读教科书 ，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有 吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚至会丧失自信心。这是一种不可取的学习方法。
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首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学上的定义，都是从许多具体的事例中抽象出 来的。这些定义虽然是具体事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具体的例子来掌握 各个定义的内涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣摩，体会它们的作用。有时还需要通 过正反两方面的例子来辨析不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运用。



其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往 可以结合几何直观来把握。然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了解这些条件的作用，还 可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会

对这个 定理有比较好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为f是闭集F上的连续函数，所以f有界”。之 所以犯这样的错误，就是因为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。


再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证明，可以加深我们对这个定理的理解。而 且，在定理的证明过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方法之后，我们就自然能够把 它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过程中还要好好 体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以 先跳过它，等过后有机会再回来研究它。事实上，有些定理本身很重要，但它的证明却未必非常重要。关于这一点 ，大家可以去看伍洪熙先生在北京大学出版社出版的《黎曼几何初步》前面的“致读者的话”第iv页关于弧长的 二次变分公式的叙述。这整篇“致读者的话”对学数学的人都是很有启发性的。



另外，学了一个定理后，一个很重要的方面就是如何把它应用到各种问题中去。这甚至比定理本身的证明更为重 要。设想，如果你由一个定理推出一些有趣的结论，那你一定会觉得这个定理妙不可言。数学分析中的许多定理都 有很直观的几何意义。许多证明题，如果从几何直观上看就很好理解。这样的几何直观往往会启发我们发现解题的 思路。



我们还可以从全局的角度来看我们学过的定理，看它和数学分析中的其 它定理有什么联系。比方说为什么需要这个定理? 想象一下，如果没有闭区间上连续函数的性质的各个定理，整 个数学分析的理论会是什么样子。把各个定义、定理联系起来，在我们的头脑中形成一个有机的网络，我们在解决 问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。



在牢固地掌握了各个定义和定理后。 一定要做一些习题，以加深理解。好的教科书每节后面的习题都是对本节所学知识的运用。做这些习题有助于更好 地掌握该节的内容。做习题的过程也是对自己的一种训练，这是做习题的另一个目的。正如长期的体育锻炼会使身 体逐渐强壮一样，坚持做习题，分析问题和解决问题的能力就会逐渐提高。



数 学分析的习题，灵活性比较强。我们常常有面对一个问题却束手无策的经历。这是很正常的现象，千万不要失去信 心。这是由于我们的阅历比较少的原因。现在出版了不少解题指南之类的参考书。这些书上有很多很典型的例题， 有些是很有启发性的。大家可以根据自身情况选读一些。

不过，每道好的习题都是非常珍贵的。 如果遇到题目，没有经过深入的思考就急于去看答案，那么你虽然也知道这道题乃至这类题的解法，但却失去了一 次独立思考的机会。这道题就被你浪费掉了。所以，对于习题大家一定要独立思考(也可以几个同学一起讨论)， 实在做不出来再去看答案，并认真总结自己失败的原因。对于参考书中的例题，如果时间允许，也应先自己试做一 下。如果没有试做参考书中的例题，就一定要选做它里面的一些习题。



最后， 数学分析的内容非常丰富，它跟后续的许多课程有着密切的联系。我们在后续课程的学习中，有时还应该回来看看 数学分析中的有关内容，厘清它们之间的联系。这对更好地掌握数学分析，以及后续课程的学习，都有好处。