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军训后的感想数学运算之几何问题专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-30 16:24
tags:数学, 初中教育

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2020年11月30日发(作者:黄健翔)
数学运算之几何问题专题
面积基本公式:(1)三角形的面积S=1/2ah (2)长方形的面积S=a×b
(3)正方形的面积S=a
2
(4)梯形的面积S=(a+b)/2×h
(5)圆的面积=πr
2
=1/4πd
2

(1)等底等高的两个三角形面积相同;
(2)等底的两个三角形面积之比等于高之比;
(3)等高的两个三角形面积之比等于底之比。
解决面积问题的核心是“割、补”思维,即当 我们看到一个关于求解面积的问题,
不要立刻套用公式去求解,这样做很可能走入误区,最后无法求解或 不能快速求
解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图
形 分割或者补全为很容易得到的规则图形,从而快速求得面积。
体积基本公式:(1)长方体的体积V=abc (2)正方体的体积V=a3
(3)圆柱的体积V=Sh = πr2, S为圆柱底面积。
(4)圆锥的体积V=1/3Sh =1/3πr2h ,S为圆锥底面积。
周长基本公式:(1)长方形的周长C=(a+b)×2
(2)正方形的周长C=a×4 (3)圆的周长C=2πr =πd

例1、现有边长1米的一个木质正方体,已知将其放入 水里,将有0.6米浸入水
中,如果将其分割成边长0.25米的小正方体,并将所有的小正方体都放入 水中,
直接和水接触的表面积总量为()。
A3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米
【解析】边长1米的一个木质 正方体放入水里,有0.6米浸入水中,说明要考虑
水的浮力的作用,并且告诉了浮力的大小。可以得到 的小正方体有64个,每一
个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意,直接 和
水接触的表面积总量为64×(0.25×0.25+40.6×0.25×0.25)=13.6( 平方米)。答
案选C。

例2、甲、乙两个容器均有50厘米深,底面积之比为5∶ 4,甲容器水深9厘米,
乙容器水深5厘米,再往两个容器各注入同样多的水,直到水深相等,这时两容
器的水深是()。
A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米
【解析】不妨假设 两个容器的底面积分别为5和4,设注入同样多的水后相等的
水深为x厘米,根据题意,注入水的体积相 等,得到方程5(x-9)=4(x-5),
解方程得x=25(厘米)。答案选B。
例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域,其中AB弧与AD弧为
四分之一圆弧,而B CD弧是一个半圆弧,则此区域的面积是多少平方厘
米?()
A25B10+5πC50D
【解析】作辅助线如右图所示,显然所求区域面积等于矩形BDEF的面积,即5
×10=50 (平方厘米)。答案选C。

例4、一个边长为8的正立方体,由若干个边长为1的正立方体 组成,现在要将
大立方体表面涂漆,请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?()
A296B324C328D384
【解析】解法一:大立方体的表面积就是被涂了色的小立 方体的面数,等于8×
8×6=384(面),其中顶点上的8个小立方体每个都有3个面被涂了颜色, 12条
棱每条棱上有6个小立方体每个都有2个面被涂了颜色。可以想象,被涂色的
小立方体的 个数与被涂了色的小立方体的面数相比,3个面被涂了颜色的小立方
体算了3次,2个面被涂了颜色的小 立方体算了2次,因此,被涂色的小立方体
的个数=384-2×8-12×6=296(个)。答案选 A。
解法二:小立方体共有83=512(个),其中在内部(没有一个面在外侧)的共
有6 3=216(个),则在外部的共有512-216=296(个),因此,被涂色的小立方
体有296 个。答案选A。

例5、右图中心线上半部与下半部都是由3个红色小三角形,5个蓝色小三 角形
与8个白色小三角形所组成。当把上半图沿着中心线往下折叠时,有2对红色
小三角形重合 ,3对蓝色小三角形重合,以及有2对红色与白色小三角形重合,
试问有多少对白色小三角形重合?()
A4B5C6D7

【解析】依题意,该图共有6个红色小三角形,10个蓝色小三 角形,16个白色
小三角形,折叠后有6个红色小三角形,6个蓝色小三角形,2个白色小三角形
重合,可以想象剩余的4个蓝色小三角形要与4个白色小三角形重合,于是剩
余的10个白色小三角形 重合,即5对。答案选B。

例6、半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周,小圆滚了
几圈?()
A4B5C6D7
【解析】小圆在大圆外滚动一周的圈数等于大圆周长与小圆周长比较的倍数 。圆
周等于2,即圆周的倍数等于半径的倍数,即答案为5。选B。

例7、欲建一 道长100尺,高7尺的单层砖墙,能够使用的砖块有两种:长2
尺高1尺或长1尺高1尺(砖块不能切 割)。垂直连接砖块必须如右图所示交错间
隔,且墙的两端必须砌平整。试问至少需要多少砖块才能建成 此墙?()
A347B350C353D366

【解析】由墙高7尺可知共需砌7 层,要用砖尽量少,则第1、3、5、7层用
50块长2尺高1尺的砖,2、4、6层两头各用一块长1 尺高1尺的砖,中间用
49块长2尺高1尺的砖。所以共需用砖4×50+3×(49+2)=353( 块)。答案选
C。

例8、设有边长为2的正立方体。假定在它顶上的面再粘上一个 边长为1的正立
方体(如右图)。试问新立体的表面积比原立方体的表面积增加的百分比最接近于
下面哪一个数?()
A10B15C17D

21
【解析】原立方体的表 面积为:2×2×6=24,新立方体的表面积为:2×2×6+1×1
×4=28,增加的百分比为: 28-2424≈17%。答案选C。

例9、一个油漆匠漆一间房间的墙壁,需要3天时间 。如果用同等速度漆一间长、
宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁,那么需要多少天?()
A3B12C24D30
【解析】长、宽、高都比原来大一倍,表面积就是原来的4倍,因此 需要3×4=12
(天)。答案选B。
例10、对右图方格板中的两个四边形,下列表述正确 的是()。
A
B
C
D





【解析】将两个四边形分成四个三角形,如下图所示,四个三角形等底等高,面
积相等,因此, 两个四边形有相同的面积;同时,2,4完全相同,1和3的两
条底边相等,第二、三条边3比1长。因 此,Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长。答案选D。

例11、设S、R、T三点为一等边三角形的三个 顶点,X、Y、Z为△SRT三边的
中点。若用此六个点中的任意三个点作顶点,可有多少类面积不等的 三角
形?()
A2B3C4D

5
【解析】如图所示,可以看到, 不同形状的三角形有△SRT、△XRY、△SYR、△
SXY四类,其中△SXY和△XRY面积相等 ,所以,共有3类面积不等的三角形。
答案选B。

例12、一家冷饮店,过去用圆 柱形的纸杯子装汽水,每杯卖2元钱,一天能卖
100杯。现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装 ,每杯只卖1元钱。如果
该店每天卖汽水的总量不变,那么现在每天的销售额是过去的多少?()
A50%B100%C150%D200%
【解析】过去每天的销售额是2×100=200 (元)。由于等底等高的圆柱体的体积
是圆锥体的3倍,那么如果该店每天卖汽水的总量不变,每天要卖 300杯,则
现在每天的销售额是1×300=300(元),是原来的1.5倍。答案选C。

例13、一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米,现
在 要用一张纸将其六个面完全包裹起来,要求从纸上剪下的部分不得用作贴补,
请问这张纸的大小可能是下 列哪一个?()
A
C
25厘米、宽17厘米B
24厘米、宽21厘米D26厘米、宽14厘米
24厘米、宽14厘米
【解析】纸的面积一定大于或等于长方体的表面积,通过运算,符合条件的只有
C。答案选C。
例14 如图,三角形ABC的面积为1,并且AE=3AB,BD=2BC,那么△BDE
的面积是多少?

解:在△BDE与△ABC中,∠DBE+∠ABC=180°.因为AE=3AB,所以B E=2AB.又
因为BD=2BC,所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4.
答:△BDE的面积是4.
例15 如图,在△ABC中,AB是AD的6倍,AC是AE的3倍.如 果△ADE的
面积等于1平方厘米,那么△ABC的面积是多少?

解:在△ABC 与△ADE中,∠BAC=∠DAE.因为AB=6AD,AC=3AE,所以S△
ABC=6×3×S △ADE=18×1=18(平方厘米).
答:△ABC的面积为 18平方厘米.

例16 如图,将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′,连接这些点,得到一
个新的三角形A′B′C′.若△ABC的面积为1,求△A′B′C′的面积.

解:在△A′B′B与△ABC中,∠A′BB′+∠ABC=180°.因为 AB=AA′,所以A ′B=2AB,
又因为B′B=BC,所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2.
同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2.
S△A′C′A=2×1×S△ABC=2.
所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC
=2+2+2+1
=7
答:△A′B′C′的面积为7.
例17 如下图,将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′,连接
这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′,若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米,
那么 四边形ABCD的面积是多少?
分析 要求四边形ABCD的面积,必须求出四边形ABCD与四边形 A′B′C′D′的关
系,因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与 四边形ABCD的关系.

解:连结AC、BD.
在△A′B′B与△ABC中, ∠A′BB′+∠ABC=180°.因为A′A=AB,所以A′B=2AB,
又因为 B′B=BC,所以有S△A′B′B=2×1×S△ABC=2S△ABC.
同理 有S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD
S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC
S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD.
所以 S四边形A′B′C′D′=S△A′ B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形
ABCD
=2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD
=2(S△ABC+S△ADC)+2(S△BCD+S△ABD)+S四边形ABCD
=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD
=5S四边形ABCD
则S四边形ABCD=30÷5=6(平方厘米).
答:四边形ABCD的面积为6平方厘米.

B1C1=C1C,△A1B1C1的面积为1平方厘米,则△ABC的面积为多少平
方厘米?

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