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经典难题（二）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
C
E
G
A
B
D O
F
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
A D
求证：△PBC是正三角形．（初二）
P
C
B
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的 中点，AD、BC
的延长线交MN于E、F．
F
求证：∠DEN＝∠F．
E
N C
D
A
B
M
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
A
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60
0
，求证：AH＝AO．（初二）
O
·
H
E
B
C
M D
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2、设MN是圆O外一直线，过 O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、 Q．
G
E
求证：AP＝AQ．（初二）
O
·
C
B
D
M N
Q
P A
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN
E
于P、Q．
C
求证：AP＝AQ．（初二）
A
Q
M
·
N
P
·
O
B
D
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一 边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG，点P是EF的中点．
D
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
G
C
E
P
A
Q
B
F
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D
A
F
B
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E
C
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
A D
F
B
C
E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
A D
F
B
P C E
4、如图， PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于
B、D．求证：A B＝DC，BC＝AD．（初三）
A
O D
B
P
E
C
F
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A
P
B
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C
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A
D
P
B
C
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A
D
B
C
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
A
经典难题（五）
B
D
F
P
E
C
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
B
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≤L＜2．
A
P
C
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A
D
P
B
C
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A
P
D
B
C
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80
0
，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30
0
，
A
∠EBA＝20
0
，求∠BED的度数．
D
E
B
C
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即 △GHF∽△OGE,可得
EOGOCO
==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
GFGHCD
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2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝15
0
所以∠DCP=30
0
，从而得出△PBC是正三角形
3.< br>如下图
连接BC
1
和AB
1
分别找其中点F,E.连接C2
F与A
2
E并延长相交于Q点，
连接EB
2
并延长 交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
0
111
由A
2
E=
1
AB=BC= FB，EB=
AB=BC=F
C，又
∠GFQ+∠Q=90和
11112 21
2222
∠GE
B
2
+
∠Q=90
0
,所以∠GE
B
2
=
∠GFQ又∠B
2
FC
2< br>=∠A
2
EB
2
，
可得△B
2
FC2
≌△A
2
EB
2
，所以A
2
B
2
=B
2
C
2
， 又∠GFQ+∠HB
2
F=90
0
和∠GFQ=∠EB
2
A
2
,
从而可得∠A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得 出四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。< br>
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4.
如下图
连接 AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得
∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN和∠QM N=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG
⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得
∠BOC=120
0
，
从而可得∠BOM=60
0
,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
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