七点钟将数学应用到实际生活中去

2020年11月30日发(作者：茅晚成)
将数学应用到实际生活中去
——试析数学建模的理论与实践
随着现代科学技术的迅 猛发展，人们在解决各种实际问题时须更加精确化和定量
化，尤其是在计算机得到普及和广泛应用的今天 ，数学更加深入得渗透到各种科学技
术领域。马克思说过：“只有充分应用了数学的科学才是完美的”。 数学建模正是从
定性和定量的角度去分析和解决实际问题，为人们解决问题提供了一种数学方法、一种思维形式，因此越来越受到人们的重视。一个企业该上什么工程？一个投资商如何
投资风险最小、 收益最大？在战争尚未消灭的今天，武器的发展方向是大而多还是少
而精？人口众多已成为全球性的问题 ，如何制定一个国家的人口政策？……所有这些
问题都需建立数学模型加以论证，为投资者提供理论依据 。
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一、关于数学建模的注解
<一）数学教育的弊端
我国的数学教育，一个较为突出的弊端是“忽视数学的应用”。虽然我们在课上总
是听到老师谈到“数 学的广泛应用性”，但我们还只是周旋于纯数学的概念和推理之中
，只重理论，不求实用，只管解题，不 讲思想，其结果就是课本上的数学知识掌握的
滚瓜烂熟，考试门门优秀，可一遇到实际问题，就丈二和尚 摸不着头脑，不知从何下
手，这可能就是所谓的“高分低能”吧。究其原因是没能跳出应试教育的束缚， 不少教
育工作者认为“正因为数学具有广泛应用性，到处都有用，毕业以后总有用，学好理论
自 然有用，因此不必教应用。”“考试不考应用，当然不必教应用。”……
从而使原本生动活泼的数学问题 变成枯燥乏味的解题程式，使很多人讨厌、畏惧数学
。
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面对当 前数学教育的弊端，不少有识之士提出应强调数学应用是数学教案改革的
方向。怎样才能把数学知识应用 于其他学科和日常生活中呢？数学建模就是数学知识
与数学应用之间的一座桥梁。有些人把数学建模看得 高深莫测，甚至有还人把“数学
建模”误认为是“航模、造船”，其实我们早就已经接触过数学建模，大 家一定都记
得我们在小学阶段做过很多应用题，实际上那些就是简单的数学建模。数学建模的确
切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法是：通过对实际问题的抽象、归纳、
简化，确定变量与参 数，并应用数学的理论和方法，建立起合理数学模型；然后运用
数学和相关学科的理论、方法与计算机等 技术手段，求解数学模型；同时对该模型进
行验证、解释、讨论，并对该模型进行修正、改进和推广，使 之规范化，并展示其实
际应用的前景。简而言之，数学建模就是以现实为背景，以数学科学理论为依托， 来
解决实际问题的过程。事实上，任何数学概念、命题、定理、结构都是数学模型。17
世纪伟 大的科学家牛顿在研究变速运动的过程中发明了微积分，并以此为工具发现了
万有引力定律，便是科学发 展史上成功的数学建模范例。
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<二）数学建模的一般方法和步骤 数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果
关系，在适当的假设 下用数学工具去描述其数量特征。它的主要步骤有：
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第一步，了解问题 ，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进
行全面的、深入细致的观察。明确所要解决 问题的目的和要求，并按要求收集必要的
数据。
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第二步，对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多
1 / 9 < br>，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要
矛盾，舍去一 些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简
化和假设，有可能得出不同的模型 和结果。
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第三步，建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的 数学理论和方法建
立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。
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第四步，对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分 析，即用
解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到
数 量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型
要经过反复地修改才能 成功。
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第五步，模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象， 并预测未来的发
展趋势，以便给人们的决策提供参考。
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归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：

问题假设建模分析 应用


检验、修改

图1
<三）数学建模的作用
学习数学的主要目的是应用数学，这就要求我们在学习数学的同时不断 提高自己
应用数学的意识、兴趣和能力。而这方面正是当前数学教育的薄弱环节，所以在数学
教 育中开展数学建模活动是相当有益的，主要表现在以下几个方面：
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1．数学建模可以在很大程度上解决现存的“学何以致用”的问题
知识是能力的载体，只有把 所学的知识理论用于其他学科和日常生活中的现实问
题，才能称为具备了某方面的能力，否则只能称之为 “纸上谈兵”。而数学建模正是数
学知识与应用能力共同提高的最佳结合点，通过数学建模的学习和实践 ，我们拥有的
不仅是数学知识，还拥有了数学思想和解决实际问题的能力。
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2．数学建模可以使数学教育生动化
数学建模可以使学生更好地理解教材的概念、定理、 思想和方法，既清楚“来
龙”，也了解“去脉”，而不单单是严格的证明、抽象的逻辑思维以及数学公式 的套
用。数学建模可以使学生真正体会到“数学源于显示，寓于现实，用于现实”的事
实，帮助 学生认识数学及科学技术的发展道路。数学建模充分调动和刺激了学生学习
的积极性，形成学习——应用 ——再学习——再应用的良性循环，教案过程也趋于生
动化。
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3．数学建模可以尝试数学教案改革
数学建模的教案已突破纯粹由教师讲、学生听、做习题的 模式。教师要变主导为
引导，在整个过程中充当组织者、质疑者、评价者的角色，充分发挥学生的主观能 动
性，增强学生的应用意识，有效提高了解决问题的能力，这符合我国当前教育改革的
方向。< br>SixE2yXPq5
二、数学建模的典型范例
数学是高度抽象和严密的，它的结论 和方法可以用在许多方面，如物理、生物、
化学、经济、人口、医学等，随着人类社会的进步、科学技术 水平的提高以及数学本
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身的发展，数学在各个学科中的应用显得越来越重要了。应 用数学去解决各类实际问
题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。下面我们就 通过
三个简单的问题来看一看如何应用数学知识建立模型，解决问题。
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例1 一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是
圆轨道。若 地球半径R=6400km，卫星距地面的高度h=36000km，那么卫星的覆盖面
积是多少？kavU42VRUs
我们大家都知道，地球表面是凹凸不平的，所以为了简化计算，我们假设地 球表
面是光滑的。这是一个求卫星覆盖面积的问题，换句话说，就是求从卫星上向下看，
所能看 到的地球表面面积，可以立体几何球体模型。
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解法1：如图2.1-1 所示，这是过卫星A和球心O的截面图，设AB、AC切大圆
O于B、C，则OB⊥AB，OC⊥AC， 作BF⊥AO，球冠CDB的球面面积即为卫星的覆盖面
积，球冠的高为DF的长度。在Rt△AOB中 ，由三角函数关系知，
为OB=R=6400km，AO=AD+DO=h+R=42400km， 所以
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，因
A



由球冠面积公式得：
①
代入数据，我们便可得到卫星的覆盖面积为：
km
2
.
h
D
C F B
O

这个问题我们运用了简单的中等数学的知识，很快地

便得到了结果，那么我们是不是也可以利用高等数学的知
图2.1-1 识来解决这个问题呢？我们在微积分中学过曲面积分，下
面我们就利用微积分方法建立数学模型，解 决这个问题。
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解法2：取地心为坐标原点，地心到卫星中心的连线为z 轴建立坐标系，如图2.1-
2所示。卫星的覆盖面积
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z
其中是上半球面上被圆锥角所
A


h
D
C B
限定的曲面部分，这是第一型曲面积分。所以


R
O y

x

图2.1-2
其中D为
标变换，得
上的区域。利用极坐
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由于代入上式得：
km
2
②
在①式和②式中，我们注意到

其中正是地球的表面积，所以恰为卫星的覆盖面积与地球表面积的比例系
数。将R= 6400km，h=36000km代入得：
GMsIasNXkA
=
的通信卫可 以看到卫星覆盖了全球以上的面积<但小于），故使用三颗相间为
星就可以覆盖几乎全部地球表面。 < br>在计算的过程中，我们得到这样一个结论：若卫星离地面的距离为hkm，地球的
半径为Rkm， 则卫星的覆盖面积为 km
2
，记住这个结论对于我们以后解决
类似问题是十分方便的 。
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目前，在大学生头脑中有这样一种观点，高等数学太深奥、太难懂了 ，而且离实
际生活非常遥远，没有太大用处。但是从例1中我们可以看出，用中等数学能够解决
的问题，用高等数学同样能够解决。虽然解法1，简单易懂，计算简便，但解法2也有
一定的优越性：首 先，解法1应用了球冠面积的计算公式，在中学阶段，我们只学习
了这个公式的应用，而不知道它是如何 推导来的，所以对于中学生来说，只能机械地
套用公式。对比一下解法2，两种方法的结果完全相同，再 仔细观察一下解法2的过
程，实际上就是球冠面积公式的推导过程，所以解法2能使我们更加深刻地思考 问
题、理解问题的本质，而不是单单停留在表面上；再次，因为高等数学是非常抽象
的，如果能 够学以致用的话，更能增加学生学习数学的兴趣和培养学生应用数学的能
力。总之，不管是中等数学还是 高等数学，都可以应用到实际生活中去。
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例2 一位老人有三个儿子， 老人去世后留下了11匹马。在遗嘱中，老人将这十一
匹马的分给老大，分给老二，分给老三，该如何分 ？
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这是一个智力游戏题，很多人可能都知道答案：
解法1：在原有11匹马的基础上，借来一匹，凑成12批，这样：
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