南海问题论文高中数学各章节编拟和引入应用问题的研究

2020年11月30日发(作者：廉孚)




高中数学各
章节编拟和引
入应用问题的
研究

成都七中 曹杨
可 王希平 张
世永 刘正平

数学“应用问题”源于实际． 它具有社会、科技、经济、生活等实际
背景，所用到的数学基础知识符合教学大纲的要求，是学生经过努 力能够
解决的一种问题．这种问题比较贴近学生的生活，溶科学性、思想性、典
型性、趣味性于 一体，能提高学生学习数学的兴趣，促进他们形成科学解
题的思想方法．但我们现行教材存在着忽视应用 的缺点，教材中现有的应
用题数量较少，内容陈旧，背景材料简单，基本上与现实生活无关，不能
体现数学在现代生活诸方面的广泛应用，给应用问题的教学带来了实际困
难，教师只得在高三数学总复 习中对应用问题进行强化训练，结果是事倍
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功半，未从根本上形成数 学应用的能力．在高考数学试卷中已经连续8年
考查了应用问题，1993年和1994年是以选择题和 填空题的形式出现的，
1995年——2000年均以解答题的形式出现。而从这几年高考应用问题得分
统计来看，虽应用问题在考题中只相当于中档试题，但考生完成得不好，
得分率低，这和我们的 教材内容和课内训练不够密切相关。
怎样才能使应用问题的教学步入正确的轨道，切实培养和提高学生 应用
数学的能力和意识呢?我们根据日常的教学内容，作了各章节选编和引入应
用问题教学的研 究尝试。
一． 选编应用问题
1．以教材为来源
在现行高中教 材中．每章都有内容、习题涉及到数学的应用：《代数》
上册(必修本)中：水池(渠)、寄信邮资、细 胞分裂、弹簧振动、钢板下料、
飞机机冀曲边等应用问题．《代数》下册(必修本)中：利用不等式求实 际
问题最值、堆放钢管(铅笔)、升价降价、增长率问题，浓度问题，排列组
合问题等等．《立 体几何》中，也有大量插图或以此作为背景的许多联系
实际的问题．《解析几何》中，拱桥、天体运行轨 道、平抛运动、双曲线
通风塔、探照灯反射面、弹道曲线等等．
虽然这些问题大多比较简单 ，但它们仍然为将实际问题‘数学化”提
供了丰富的材料和最基本的实例．不管对学生或教师都起着抛砖 引玉的作
用。应予以充分重视，切莫贪多求全、求深，忽视教材中最基本的应用问
题。忽视实例 引入．应充分挖掘现行教材中有关实际应用问题的潜力，从
中体味其中所用数学知识、方法和思想，使学 生在头脑中储存一定数量的
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“基本模式”，只有这样，搞好应用题的教学才有保
证．
（1）以新换旧
数学教材中原有的一些应用题从内容看
显得有些陈旧，但如能换上恰当的带有时代气息 的实际内容，就能使它们
成为以新面貌出现的“应用问题”，从而对学生产生现实的智育和德育作
用．
例1 墙壁上所挂画幅的高AB＝5尺，画幅的底边离地面8尺．身高
为5．5尺 的人看画时离墙壁多远才能看得最清楚?
这是以往数学教材和课外读物上出现过的所谓“看画 问
题”．它对训练学生的分析、解题能力有一定作用．我们对这道“旧题”
赋以新的内容，改编 成下题：
仪表和工业电视是现代企业的眼睛，发电厂主控室值班员主要是根
据仪表的数据 变化来加以操作的．若仪表的高AB＝m米，仪表的底边离地
面的距离为BC=n米(如图)，值班员坐 在椅子上时眼睛离地面的高度DE＝
1．2米，那么值班员坐在什么位置看仪表最清楚?
“旧题”经这样改编后，就具有了现实意义．在现代企业生产
的情境下，让学生应用相应的数学知识和解 题方法，以值班员的视角
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ADB最大为目标，求出EC＝
米．这样的题目对学生来说显得
新鲜，更具有实用性和启发性，其教育价值也就更大．
（2）推陈出新
数学教材中有一些历年使用过的带有代表性的应用题，虽是“陈题”，但根据当今数学教学的要求发展其内涵，就能使它们体现出新的“应用问
题”的教育价值．
例2从一块边长为a厘米的正方形铁片的四个角处各截去一个小正方形
(如图①)，把剩下的部分做成 一个正四棱柱形无盖盒子．当盒子底边长为
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多少时它的容积最大?最大值是多少?



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这是多年来出现于数学教材中的一道求极值的传统应用
题．我们从两方面考虑 改编这一“陈题”，获得两道新题：
(1) 将原题中的“正方形”改为“矩形”(设其长 为a厘米，宽
为b厘米，且a＞b)，从它的四个角处各截去一个小正方形(如图②)，把
剩下 的部分做成一个长方体无盖盒子．当截去的小正方形边长为多少时它
的容积最大?最大值是多少?
(2) 将原题中的“正方形”改为“正6边形”(设其边长为a厘
米)，从它的6个 角处各截去一个小四边形(如图(3))，把剩下的部分做成
一个正六棱柱形无盖盒子．当盒子底边为多 少时它的容积最大?最大值是多
少?
这里将“陈题”条件中的“正方形”在边数不变时改为 矩形，或在边
长不变时改为正6边形(一般地，可改为正n边形，n＞4)，就起到了推陈
出新 的作用．改编后所得的“应用问题”在对学生训练思维、培养能力方
面比原题的教育价值更大．
(3) 借题发挥
数学教材中有一些“成题”，它们在教学中对训练学生的解题< br>能力仍具有典型性，但题意比较单一．如能以此为基础，对它们作进一步
的引伸和拓展．往往能派 生出一些富有实际意义的“应用问题”来．
例3 工厂A、B位于铁路L的同侧．现要在L上建一个 货场C(如图1)．使
A、B两厂到货场C的距离之和为最小．C应选在何处?
这是平面几何教材上带有典型性的一道“成题”．我们以原题为基
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础．采用引伸、联想等手段，编制出如下两题：
(1) 在城市A的南边和西边各有一条 铁路L
1
和L
2
，L
1
与L
2
的夹角为 ，市中心到L
1
和L
2
的距离分
别为a和b (如图2)． 现要在L
1
和L
2
上各建一座车站，并计划修建一条环
形公路连接两 车站和市中心，如何确定两车站的最佳位置?并求出此时环形
公路的总长．
(2) 相距1公里的两村庄A、B位于公路L的同侧．它们到公路的距离分
别为 和
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公里(如图3)．现要在L上设置
一拍摄点P，能拍摄到同时含两村庄的照片，P点应选在什么 位置?


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当 (1) 在不 考虑其它因素的情况下，应以环形公路的总长最小
时车站的位置为最佳，这样，问题就转化为：在L1
和L
2
上分别确定车站B
l
和B
2
使 AB
1
B
2
的周长为最小．
在 (2) 中，要使两村庄 A、B都能摄入镜头，必须使拍摄点P
对A、B的视角为最大．这样，问题就转化为：以AB为一弦作圆 ，求此圆
与直线L的切点P
这样借“成题”作发挥而编制出来的“应用问题”．会给 学生
以新鲜感，从而激发他们解决数学“应用问题”的兴趣和提高他们举一反
三的解题能力．< br>

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2．以科技成果为背景
在世纪之交的 今天，数学科学广泛深入地向其它科技领域渗透，
成为整个科技发展水平的带动因素．在高新科技的不断 涌现之中，不乏体
现数学巨大作用的典型事例．只要我们经常关注国内外科技信息，并善于
筛选 积累合适的资料，以此为背景，编制出一些适宜的数学“应用问题”，
就能激励学生认真
学好数 学，将来攀
登科技高峰．
例4 设三城市A、B、 C位于一个等边三
角形 的三个顶点，今要在三城市间敷设通讯电缆，分别用以下三种方法联
线时，哪种方法的联线为最短?最短 值是多少?
(1) 联接BA、BC (如图(1))；
(2) 联接BC，再从A向BC作垂线 (如图(2)；
(3) 找出ABC的中心O，联接0A、OB、OC (如图(3))
分析设等边三角形ABC的边长为1．由直接计算知：(1)的连线长为2；
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(2)的连线长为1+ ；(3)的连线
长为 ．
所以．以(3)的连线为最短．其值是A、 B连线长的
倍.
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3. 以市场经济活动为背景
随着市场经济体制的运行，数学知识的应用越来越被 社会所重
视．计算产品成本、利润、以及揭示它们与价格之间的关系，对投资、消
费的决策等， 都离不开相应的数学知识．以这些经济活动为背景，编制一
些数学“应用问题”，对培养学生的经济头脑 和决策能力将会起到促进作
用．
例5 某商场以每台2500元进了一批彩电，如果 以每台2700元
为定价，可卖出400台．以100元为一个价格等级，若每台提高一个价格
等级．则会少卖50台．那么，每台彩电定价为多少时，该商场可获得最大
利润?其值是多少?
分析设每台彩电提高n个价格等级，则每台的定价为(2700十100n)
元．此时可卖出
(400一50n)台，获利润为M元．所以
M＝(2700十100n)(400—50n) 一2500(400 — 50n)，
即M＝一5000(n一3)
2
十125000．
当n=3时，M
max
＝125000．
即每台彩电以定价为3000元卖出，该商场可获得最大利润
125000元．
说明 本题实质为求二次函数的最大值．现以商品贸易为问题背
景，使函数知识更富有实用性和趣味性．通过解 题，学生就会意识到数学
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知识在市场经济中有重要的应用价值．
4. 以身边的事例为背景
人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物．如果我们能 以数学
的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性的
东西．有的学生 确定了讨论十字路口红绿灯时间是否合理这一课题，自己
在十字路口测试了几天车流量、行人、过街的时 间等等数据；有的学生为
讨论成都火车站春运的车辆调配问题，专门去成都火车站收集近五年客流
量的数据；有的学生讨论抗洪中运沙袋采用传递好，还是个人背运好，就
自己在家中以米袋为工具进行 简单测算。以此为背景，编制出一些富有启
发性的数学“应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆 学问”的道
理．
例6 常用的书本封面的长与宽的比是多少?为什么?
为 解决这一问题，我们先让学生用一张8开白纸，沿长边对折
成16开的纸；再将16开的纸对折成32开 的纸．通过测量和计算，要学生
回答下列问题：
(1)8开纸和16开纸的形状相似吗?16开纸和32开纸的形状相
似吗?
如果将“纸的对折”继续进行下去，那么得到的16开，32开，
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64开，…， (n
N)开的纸的形状都相似吗?
(2)如果要使一张矩形纸沿长边对折后仍与原来纸的形状相似，
那么该纸的长和宽的比应是多少?
(3)翻开你的数学课本的最后一页(或第一页)，找出纸张的开本
数，计算出纸的长 和宽的比．这个比是否与1．414接近呢?
分析： 通过测量，可知8开，16开，32开，…，
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(n
N)开纸的长与宽之比均约为
：1，
所以这些纸的形状都相似．
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我们希望，各种书本的纸张虽然大小可 以不一样，
但形状相似．这就要求一张纸对折之后所得的小矩形
与原矩形相似．
设大矩形的长、宽分别为
，则小矩形的长、宽就分别为
(如图)．
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所以 ＝
， 即

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从而 ＝
1．414
说明: 关于书的开本问题，可以说是常人不以为然的一件事．但
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是，我们通过对这一 日常生活中的平凡素材的巧妙发掘，不仅可使学生巩
固已学的相似形的概念和判定定理，而且更主要地能 激发学生对数学的亲
切感，懂得数学是有用的，数学就在我们身边，从而增强他们学好数学的
信 心．
二、解答数学应用问题的核心是建立数学模型
应用问题来源于生活和生产，不但题型变 化较大，而且对每个应用问题
而言，一般所给条件都较多，不易发现条件与条件，条件与所要解决的问< br>题之间的内在联系，学生难于构造出理想的数学模型，实现实际问题向数
学问题的转化。
中学数学中常见的建模类型一般有：
（1）函数建模 （2）数列建模 （3）几何建模 （4）
最佳方案建模
如何建立数学模型：
1． 认真审 题，准确理解题意。建立数学模型首先要认真审题。应用
问题的题目一般都较长，涉及的名词、概念较多 ，因此要耐心细致地读题。
在读题的过程中，弄清每一个名词、概念。分析已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件。准确理解题意，
应达到如下要求：
① 明确问题属于哪类应用问题（生产应用问题，或生活应用
问题，或科技应用问题）；
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② 弄清题目中的主要已知事项；
③ 明确所求的结论是什么。 < br>2．抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适
当建立坐标系，将文字语言 翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达。
由于应用问题中数量关系分散，已知与所求之间的联系没 有纯数学问题那
样明了，因此在理解题意的基础上，把有关的数量关系找出来，联想与题
意有关 的数学知识和方法，恰当引入变量或适当建立坐标系，将已知事项
中的数量关系翻译成数学语言或数学表 达式.
3．将实际问题抽象为数学问题。在前两步的基础上，将已知与所求联
系起来，据题意 列出满足题意的数学关系式（如函数关系、或方程、或不
等式），或作出满足题意的几何图形，将实际问 题转化、抽象为数学问题。
三、针对教学内容引入应用问题

针对现行教材习题中应用问题偏少的情况．根据高中教材章节
内容引入的应用问题
1．现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面是矩形的墚 。从材料力学
知横断面是矩形的墚 的强度
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K是常数），若要强度最大，则
。
2．降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为
38cm，底面直径为 24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在
一次降雨过程中，用此桶盛得的雨水正好是 桶深的
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，则此次下雨的降水量
是 （精确到1cm）。
3．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，尺寸
如 图，为保证行车安全，要求车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方
向上高度之差至少要0.5米，若 行车道总宽AB为6米，车辆过此隧道限高
为 （精确到0.1cm）。
4．某罐装饮料厂生产的某种饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），
上、下底半径r，高h，体积 为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，问
r与h比是多少时，用料最省 。
5． 某房产公司，有一“缺角矩形”地ABCD尺寸如图，要在此建地基为
长方形东西走向的公寓，求地基最 大面积 。
6．生物体内都含有一定量的放射性碳C—14，它的半衰期为5570 年，
科学研究表明，生物死亡后C—14的含量
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与a的原始含量a随时间变化有
以下关系 （K是常数）我国出土
的长沙马王堆一号古 墓杉木盖板，经测量与现代杉木内含量比为76.7%，
这个古墓建造的年代大约
是
年以前。
7．一桥洞呈抛物线形（如图），桥下水面宽16米，当水面上涨2米后，
水面宽度为12米，此时桥洞顶部距水面高度
为 米（精确0.1米）。
8．某隧道长a米，最高限速为V
0
米/秒，一个匀速行进的 车队有10辆
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车，每车长L米，相邻两车之间距离M米与车速V的平方成正比 ，比例系
数K，自第一辆车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道所用时间为t秒：
（1） 求出 的
解析式，并求定义域
（2） 求t的最小值，并求出t取最小值时V的大小
9．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地 ，速度不超过C
千米/小时。已知汽车每小时运输成本由可变部分和固定部分组成，可变部
分与 速度V的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a，
（1） 把全程运输成本y表示为速度V的函数，并求函数
定义域
（2） 为使全程运输成本y最小，汽车应以多大速度行驶。
10．某商场一年内进彩电5000台，彩电价格 每台4000元，每次进货费
用1600元，保管费率10%
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（ ），问每次进货多少台，进货
费域保管费之和最少。
11．甲工厂去年上交利税40万元，今 后5年内计划每年平均增长10%，
乙工厂去年上交利税比甲工厂少，今后5年内计划平均每年增长20 %，这
样从今年起，第二年乙工厂上交利税能超过甲工厂，但是要到第三年末，
才能使从今年开 始的三年内上交的总利税不少于甲工厂，问乙工厂去年上
交利税多少万元（只取整数万元）。
12．某工厂今年1月、2月、3月年产某产品分别为1万件、1.2万件、
1.3万件，为了估测以后 每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，
用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模 拟函数可以选用
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二次函数或函数 （其中a、b、c
为常数）。已知 四月份产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函
数较好，说明理由。
13．某公 司欲将一批不易存放的蔬菜，从A地运往B地，有汽车、火车、
直升飞机三种运输工具可供选择，三种运 输工具的主要参考数据如下：
途中速度 途中费用 装卸时间 装卸费用
（千米/小时） （元/千米） （小时） （元）
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 2000
飞机 200 16 2 1000
若这批蔬菜在运输过程（包含装卸时间）中的 损耗300元/小时，问采
用哪种运输工具比较好，即运输过程中费用与损耗之和最小。
14 ．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定不记名，每
卡每次只限1人，每天1次，某班 有48名同学，老师组织集体游泳，除需
买卡外，每次包一辆汽车，包车费40元，若使每个同学游8次 ，那么买几
张卡最合算，每人最少交多少钱。
15．某工厂生产某种产品共m件，分若干批生产，每生产一批产品需用
26 / 65 原料费为15000万元，每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数
的立方成正比，当生产 一批产品为5件时，需消耗管理费1000万元：
（1）求每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品件数的函数式
（2）每批生产多少件时，一年生产的总费用最低
（精确到1件， ）
16．“依 法纳税是每个公民应尽的义务”国家征收个人工资、薪金所得
税是分段计算，总收入不超过800元，免 征个人工资，薪金所得税，超过
800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入—800 ，税率见
下表：
级数 全月应纳税所得额x 税率
1 不超过500元部分 5%
2 超过500元至2000元部分 10%
3 超过2000元至5000元部分 15%
…… …… ……
9 超过1000000元部分 45%
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17．建造一个容积为V 的无盖
长方体蓄水池，若池深h米，池底一边长x米（由于地形条件 限制，该边
长不能超过K米，另一边长度不限），池座造价
，池底造价
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：
（1）把总造价y（元）表示为x的函数，并指出该函数的定义域
（2）为使造价y最小，池底边长应为多少米？
18．某公司从2000年起，实行工资改革，每人工资由以下三部分组成
项目 金额（元/人.年） 计算方法
基础工
资
10000元 从2000年起,每年递增10%(与工龄无关)
房屋补按职工到公司年限计算,每年每人递增
贴
400元
400元
医疗费 1600元 固定不变
该公司今年有5位职工,计划从明年起每年新召5名职工
(1)若今年(2000年)算第一年,求第几年公司付给职工的工资总额
(2)判断发给职工的工资总额中,房屋补贴和医疗费总和,能否超过基础
工资总额的20%。
19．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共1150万元，购
买当天当天付款1 50万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利
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息，月利息为1%：
（1）若交款150万后第一个月开始计算付款的第一个月，问分期付款
的第10个月应付多少钱。
（2）全部付清后，买过40套住房实际花了多少钱。
20．某人年初向银行贷款10万元，用于购房：
（1）向建行贷款，年利息5%，这笔借款 分10次等额归还（不计复利），
每年一次，问每年应还多少万元（精确到元）
（2）向工行 贷款，年利息4%计复利，分10次等额归还，每年一次每年
应还多少元（精确到元）
21． 某外国银行A提供每月支付一次，年利息7%的复利存款业务，B银
行提供每天支付一次，年利息为6. 9%的复利存款业务分析哪种银行存款效
益好（ ）。
22．某乡企业有一蔬菜生产基地，共 有3位工人，过去每人年薪1万元，
从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加10%，并每年新招3 位工人，
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每位新工人第一年年薪8千元，第二年起与老工人一样数额的年薪：
（1）若今年算第一年，试把第n年基地工人的工资总额y（万元）表示
成n的函数，
（2）企业从今年起向每位工人收90元作为住房基金，并且今后每年向
每位工人收取的住房基金都比 上一年增加10元，试证工人的住房基金总额
不会超过工资总额10%。
23．有一小自来水 厂，蓄水池中有水450吨，水厂每小时可向蓄水池中
注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小 时内供水总量
吨，现在开始向池中注水并同时
向居民小区供水：
（1）多少小时后池中水量最少
（2）若蓄水池中水量少于150吨时，就会出现供水紧张现象，问有几
小时供水紧张。 24．有两个容量为400ml的容器，各装300ml的溶液，A容器中溶液浓
度为80%，B容 器中溶液浓度为40%，将A中溶液100ml倒入B中，搅均匀
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后，再将B中溶液倒回A中100ml，这样称为一次操作，如果不计损耗，
问：
（1）操作一次后A容器溶液浓度是多少？
（2）操作多少次后，A、B两容器中溶液的浓度小于1%。
25．如图，某农场要修建3个形状相同的矩形养鱼塘，每个面积
，鱼塘前留4m宽运料通道 ，其余
各边为2米宽的提埂，问每个鱼塘长、宽各多少时，占地总面积最少。
26．某种汽车 （A）购买时费用10万元，（B）每年应交保险费、养路
费、油费合计为0.9万元，（C）汽车维修 费平均为第一年0.2万元，第二
年0.4万元，第三年0.6万元依等差数列逐年递增，问这种汽车使 用多少
年报废最合算（即使用多少年平均费用最少）？并分析A、B、C三种费用
对使用时间的 影响。
27．某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000
年起， 20年内甲种产品盈利每年比上一年减少
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