灵魂转世纯粹数学与应用数学

2020年11月30日发(作者：殷润霖)
２００８年３月　
纯粹数学与应用数学　
Ｍａｒ．２ｏｏ８　
第２４卷第１期 　
Ｐｕｒｅ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｖｂ１．２４　Ｎ０．１　
内导集与内导集运算　
王昭海２，吴洪博　
，
代建云，李海霞　
（１．陕西师 范大学数学研究所，陕西西安７１００６２；２．安康学院数学系，陕西安康７２５０００）　
摘要：给 出了内导集的定义，证明了其性质，并且讨论了内导集与导集之间的关系．随　
之定义了内导集运算，利 用内导集运算定义了拓扑，并讨论了内导集运算条件之间的独　
立性．　
关键词：内导集；导集 ；领域；内部；拓扑空间　
中图分类号：Ｏ１８９．１　文献标识码：Ａ文章编号：１００８－５５１３ （２００８）０１—００３０－０４　
文【１】给出了拓扑空间中导集的定义，并对其性质进行了讨论． 文【５】又定义了导集运算　
并对导集定义拓扑的方法进行了较为细致的讨论．本文主要提出了内导集的 概念，讨论了其　
性质，并得到以下结果：设　是一个集合，ｅ　：Ｐ（　）一Ｐ（　）是一集值映射， 若ｅ幸满足条　
件：ＶＡ，Ｂ∈Ｐ（　），　
（１）ｅ　（　）＝　；（２）ｅ　（　ｎ　Ｂ） ＝ｅ　（　）ｎ　ｅ　（Ｂ）；（３）Ａ　ｎ　ｅ　（　）　ｅ　（ｅ　（　））；　
（４）ｅ幸（　） ＝｛　∈Ｘ　ｌ　∈ｅ　（　Ｕ｛　】．）】．．则存在　的唯一　拓扑　使得在拓扑空间（　，　）　
中的内导集等于ｅ　（　）．　
１预备知识　
定义１．１【　】　设　是…‘个集合，　是　的 一个子集族，如果　满足如下条件：　
（１）Ｘ，　ｅＪ；（２）若　，Ｂ∈　，则　ｎ　Ｂ　ｅＪ；（ ３）若３＂ｉ　ｃ　，则ＵＡ∈．　Ａ∈　，　
则称　是　的一个拓扑，并称偶对（　，　）是一个拓扑 空间．　
定义１．２【¨．设　是一个拓扑空间，Ａ　ｃ　Ｘ，如果　是点　的一个邻域，即存在　中的 一　
个开集　，使得　∈Ｖ　ｃ　Ａ，则称点　是集合　的一个内点．集合　所有内点构成的集合称为　
集合　的内部，记作　．　
定义１．３【。】　点　称为集　的聚点，如果　∈Ａ一｛　】．， 集　的所有聚点称为集　的导集，　
记作ｄ（　）．　
定理１．１【０】　设ｕ（ｘ）是点　的 所有邻域组成的集族，则满足：　
（Ｎ１）Ｘ∈ｚ，（　）；（Ｎ２）如果Ｕ∈ｚ，（　），则　∈　； （Ｎ３）如果Ｕ∈ｚ，（　），Ｖ　则Ｖ∈ｚ，（　）；　
（Ｎ４）如果　Ｖ∈ｚ，，　），则　ｎ　Ｖ ∈ｚ，，（　）；　
（Ｎ５）如果Ｕ∈ｚ，（　），则存在集合　，使　∈Ｖ　ｃ　且对任何　∈　Ｖ∈ ｕ（ｘ　）．　
２内导集的定义与性质　
定义２．１　设　是一个拓扑空间，Ａ　Ｘ．集合｛　 ＥＸｌ　∈（　Ｕ｛　】．）。】．称为Ａ的内导集，　
记作ｅ（　），也即ｅ（Ａ）＝｛　ＥＸｌ　∈ （　Ｕ｛　】．）。】．．从而　∈ｅ（Ａ）等价于Ａ　Ｕ｛　】．为点　的一　
收稿日期：２００６－ １１．０１．　
基金项目：国家自然科学基金（１０４７１０８３），陕西师范大学重点科研基金（９９ ５１３０）　
作者简介：王昭海（１９６６－），讲师，研究方向：格上拓扑学与不确定性推理．　第１期　工昭海等：内导集与内导集运算　３１　
个邻域．　
例２．１离散拓扑空间中集合 的内导集．　
由于离散拓扑空间中的任一子集都是开集，故其内导集均为全集．　
例２．２平庸 拓扑空间中集合的内导集．　
设　是一个平庸空间，　是　中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：　
情形１：Ａ＝Ｘ，这时显然Ｖｘ∈Ｘ，ｚ∈ｅ　），即ｅ（Ａ）＝Ｘ．　
情形２：Ａ＝Ｘ一｛ｚ ０】ｌ，ＸＯ∈Ｘ．由于当ｚ∈Ｘ，ｚ≠ＸＯ时，　Ｕ　】ｌ＝Ａ≠Ｘ，故此　
时，ｚ　ｅ　）．当ｚ＝ ＸＯ时，ＡＵ｛ｚ０】ｌ＝Ｘ，所以ＸＯ∈ｅ　）．即ｅ（Ａ）＝｛ｚ０】ｌ—Ｘ—　．　
情形３：Ａ　 Ｘ一｛ｚｌ，ｚ２】ｌ，ｚｌ，Ｘ２∈Ｘ．由于对Ｖｘ∈Ｘ，Ａ　Ｕ｛ｚ】ｌ≠Ｘ，故ｚ　ｅ（　），　
即ｅ（Ａ）＝　．　
例２．３　设（　，　）是一个拓扑空间，其中Ｘ＝｛ｎ，ｂ，ｃ】ｌ，　＝｛　， ｛ｎ，６】ｌ，　】１．容易验　
证，ｅ（｛８，ｃ】１）＝　】ｌ　．这个例子说明，内导集虽然是由 内部定义的，但它不一定是开集．　
定理２．１设　是一个拓扑空间，　，Ｂ＿ＣＸ，则　
（Ｅ １）ｅ（　）＝　；（Ｅ２）Ａ　Ｂ，则ｅ（Ａ）　ｅ（ｊＥ｝）；　
（Ｅ３）ｅ（ＡｎＢ）＝ｅ（Ａ） ｎｅ（ｊＥ｝）；（Ｅ４）Ａｎｅ（Ａ）　ｅ（ｅ（　））．　
证明（Ｅ１）由内导集定义可得ｅ（Ｘ） ＝｛ｚ∈Ｘ　Ｉ　ｚ∈（Ｘ　Ｕ｛ｚ】１）。】ｌ＝扣ＥＸＩ　ｚ　ｅｘ｝＝Ｘ．　
故证明了ｅ（ｘ１＝ Ｘ．　
（Ｅ２）设　ｊＥ｝，如果ｚ∈ｅ（　），则（Ａ　Ｕ　】１）∈ｚ，，　）．又（ＡＵ｛ｚ】１ ）　（Ｂ　Ｕ｛ｚ】１），结合邻域　
的性质可得　Ｕ　】１）∈ｚ，　），即ｚ∈ｅ　）．这就证明了 ｅ（Ａ）　ｅ　）．　
（Ｅ３）一方面，Ｖｘ∈ｅ（ＡｎｊＥ｝），（（　ｎＢ）Ｕ｛ｚ】１）∈ｚ，　 ），再由（ＡＵ｛ｚ】１）　（（　ｎＢ）Ｕ｛ｚ】１），（ＢＵ｛ｚ】１）　
（　ｎＢ）Ｕ　】１）． 结合邻域的性质可知（ＡＵ　】１）∈ｚ，　），（ＢＵ｛ｚ】１）∈ｚ，　），即ｚ∈ｅ（ａ）且ｚ∈　
ｅ（ｊＥ｝）．从而证明了ｅ（ＡｎＢ）　ｅ（Ａ）ｎｅ（ｊＥ｝）；另一方面，Ｖｘ∈ｅ（Ａ）ｎｅ（ｊＥ｝ ），则（ＡＵ｛ｚ】１）∈ｚ，，（ｚ）　
且（ＢＵ｛ｚ】１）∈ｚ，　）．由邻域的性质可知（ＡＵ｛ ｚ】１）Ｃｉ（ＢＵ　】１）＝（　ｎＢ）Ｕ｛ｚ】１）∈ｚ，　），　
即ｚ∈ｅ（ａｎｊＥ｝）．从而 证明了ｅ（Ａ）ｎｅ（Ｂ）　ｅ（　ｎｊＥ｝）．故（Ｅ３）成立．　
（Ｅ４）Ｖｘ∈Ａ　ｎ　ｅ（　） ，则ｚ∈Ａ，ｚ∈ｅ（　）．由于ｚ∈ｅ（Ａ）可知（　Ｕ｛ｚ｝）∈　），又ｚ∈Ａ，　
故Ａ∈ｚ，， 　）．由Ａ∈ｚ，　）可知存在ｚ的开邻域Ｖ包含于　，则对Ｖｙ∈　Ｖ∈ｚ，（　）．又　．　
因此Ａ ∈ｚ，　）．从而（ＡＵ｛　】１）∈ｚ，，　），即Ｙ　ｅｅ（Ａ）．由于Ｖｙ∈　Ｙ∈ｅ（　），可得　ｅ（ 　）．又　
因为Ｖ∈ｚ，，（ｚ），所以ｅ（Ａ）∈ｚ，，　）．从而ｚ∈ｅ（ｅ（　））．以上证明了 　ｎｅ（Ａ）　ｅ（ｅ（　））．　
注１设　是拓扑空间，｛ＡＩｉ　ｅｌ｝　ｚ）．由（Ｅ２）易证ｅ （ｎｔ∈ＪＡｉ）　ｎｉＥＩｅ（Ａ），ｅ（Ｕｉ∈ＪＡ）　
ＵｉＥＩｅ（Ａ）．但是它们的反包含都是 不成立的，举例如下：　
例２．４　设Ｒ是通常实数空间，｛ａｉ　Ｉ　ｔ∈　）＝｛（一１／ｉ，１／ ｉ）Ｉ　ｔ＝１，２…】１．显然０∈　
ｎ‘∈Ｊ　ｅ（Ａ），而ｎ　Ｊ　Ａ＝｛０】ｌ，所以０　ｅ（ Ｃｌｉ￣ｊ　Ａｉ）．故ｅ（Ｃｉ‘∈Ｊ　Ａｉ）　ｎｉＥＪ　ｅ（Ａｉ）不成立．　
例２．５　设　是 平庸拓扑空间且ＩＸＩ≥３．令Ａｔ＝Ｘ一｛ｚ０】ｌ，Ｘ０∈Ｘ．Ａ２＝Ｘ一　
ｌ，ｚ２】ｌ，ｚｌ， Ｘ２∈Ｘ．且Ｘ０，ｚｌ，Ｘ２互不相同．由例２．２知ｅ（Ａ１　Ｕ　Ａ２）＝ｅ（ｘ）＝Ｘ，而ｅ（Ａ１）Ｕ 　ｅ（Ａ２）＝　
｛　ｏ】ｌＵ　：｛ｚ０】１．所以ｅ（Ｕｉ∈ＪＡｉ）　Ｕ‘∈Ｊｅ（Ａ）不成立． 　
定理２．２设　是一个拓扑空间，　，则Ａ。＝Ａｎ　ｅ（　）．　
证明Ｖｘ∈Ａ。，Ａ∈ｚ ，，　）．则　Ｕ｛ｚ））∈ｚ，，　），故ｚ∈ｅ　）．从而，ｚ∈Ａｎ　ｅ（　）．这就　
证明了　 。　ｎ　ｅ（　）．另一方面，Ｖｘ∈Ａｎ　ｅ（　），则ｚ∈Ａ且ｚ∈ｅ（　）．由ｚ∈ｅ（Ａ）可　
知ｚ∈（ＡＵ　】１）。．从而ｚ∈Ａ。．故　ｎ　ｅ（Ａ）　Ａ。．结合以上两方面，证明了Ａ。＝Ａｎ　ｅ（ 　）．　
推论２．２拓扑空间　的子集　是开集的充分必要条件是　ｅ（　）．　
定理２．３设 　是一个拓扑空间，　，则ｚ∈ｅ（ａ）且ｚ∈ｅ（ｘ—Ａ）的充要条件为｛ｚ】ｌ　
是　的…个开集． 　
证明充分性显然成立．　
必要性：　，若ｚ∈ｅ（Ａ）且ｚ∈ｅ（ｘ—　），即（Ａ　Ｕ　】 １）∈ｚ，　）且（（　—Ａ）Ｕ｛ｚ】１）∈　
ｚ，，　），则（ＡＵ　】１）Ｃｉ（（ｘ—Ａ）Ｕ　 】１）＝｛ｚ】ｌ∈ｚ，　），所以｛ｚ】ｌ为　的一个开集．　
推论２．３　Ｘ是一个拓扑空间，Ｖｘ ∈Ｘ，存在　，使得ｚ∈ｅ（Ａ　）并且ｚ∈ｅ（ｘ—Ａ　）　
的充要条件是　是离散拓扑空间．也即ｅ （０）＝Ｘ的充要条件是ｘ是离散拓扑空间．