六月节日第一节：别人的数学,数学应用,数学史

2020年11月30日发(作者：柏子庭)

第一节：认识数学，数学美与数学应用
Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme
beauty — a beauty cold and austere, without the gorgeous trappings of
painting or music.
—— Betrand Russell
正确的看待数学应该是这样：它拥有的 不单单是真理，还有一种极致的美——它
没有绘画或音乐的浮华装饰，这种美极其冷峻，极其庄严！—— 伯特兰·罗素

1、数学的一般定义：
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息 等概念的一门学科，从某种角度看
属于形式科学的一种。而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着 不可替代的作用，也是学习和研究
现代科学技术必不可少的基本工具。


2、数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
亚里士多德：把数学定义为“数量科学”，
数学家和哲学家开始强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。
今天，即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。
许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。 ”
数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想 学派。
都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。

3、数学的分支：

1:数学史
6:几何学
11:常微分方程
16:计算数学
21:运筹学
2:数理逻辑与数学
基础
7:拓扑学
12:偏微分方程
17:概率论
22:组合数学
8:数学分析
13:动力系统
18:数理统计学
23:模糊数学
9:非标准分析
14:积分方程
19:应用统计数学
24：量子数学
10:函数论
15:泛函分析
20:应用统计数学
25:应用数学 (具体学
科)
3:数论 4:代数学 5:代数几何学
4、数学史：
在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最 后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为
“数”）．
数学起源于人类早期的生 产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用
实际问题．从数学本身看，他 们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯
定他们对数学所做出的贡献．
基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态．
代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学” ．可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的
数学就是代数学．而数学作为一个研究“数”的 学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一．几何学则是
最早开始被人们研究的数学分支．
1
直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一
起．从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程 ．而
其后更发展出更加精微的微积分．

5、世界七大数学难题
多项式算 法与非多项式算法问题：在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局
促不安，你想知道这 一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正
在甜点盘附近角落的女士罗丝 。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须 环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识
的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的 解时间花费要多得多。
霍奇(Hodge)猜想
庞加莱(Poincare)猜想（已被证 明）：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以
既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢 慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的
橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么 不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收
缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面 不是。
黎曼(Riemann)假设：有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如， 2,3,5,7,
等等。这样的数称为素数；在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模 式；然而，
德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓 黎曼蔡塔函数
z。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经 对于开始的
1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数 分布的许多奥秘
带来光明。
杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口：杨振宁 和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子
物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。
方 程的存在性与光滑性：起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随
着我们的现代 喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理
解纳维叶－斯托克斯方 程的解，来对它们进行解释和预言。
贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton- Dyer)猜想：x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整
数解
哥德巴赫猜想：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇
数，都可以表示成三个奇质数之和。



6、主要数学奖
菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的，得奖者须在该年元旦前未 满四十岁.1924年他在多
伦多市召开的国际数学家大会上，倡议将学术会议剩余经费作为基金，并自 己捐赠了部分资金.这个倡议得
到了与会的各国数学家的一致拥护.1932年菲尔兹不幸病故，但是同 年在苏黎世召开的国际数学家大会通过
了菲尔兹奖的成立并决定从1936年起开始评定，在每届国际数 学家大会上颁发，菲尔兹奖的奖品为奖金
1500美元和一枚金质奖章.
沃尔夫奖也是国际数 学界的一个大奖.不过，与菲尔兹奖不同的是，它是在1976年1月1日，由沃尔
夫及其家族捐献而成 立的.沃尔夫出生于德国，在第一次世界大战前移民古巴，他用了将近20年的时间成
功地发现了如何从 熔炉废渣中回收铁，从而致富.沃尔夫家族总共捐款1千万美金，宗旨是希望“促进科学
和艺术的发展以 造福人类”. 沃尔夫奖每年颁发一次，奖给在化学、农业、医学、物理、数学和艺术领域的
杰出成就者 ，每个领域奖金10万，可由几个人联合获得，它没有年龄的限制，而且获奖者都是世界上作出
卓越贡献 的科学家.这些科学家的巨大声誉使得该奖广为人知，也可以说沃尔夫奖就是数学界的“诺贝尔奖”.
中国有陈省身数学奖、钟家庆数学奖等.
2