低碳环保生活应用数学答案

2020年11月30日发(作者：卞敏)
P. 34
2 研究一下，出现下列情况时，分析过程有何更改。

(a)

如果与
(b)

如果与
(c)

如果,
提示：

当 系统处于均匀态的时候，所有相关的物理量都将有其各自确定的值；我们的目
的是研究系统因为一个小的 扰动而偏离均匀态的时候，它能否在经过一段时间以
后回到这个均匀态。如果能，我们就称之为稳定的， 反之为不稳定的。我们把这
一分析过程称之为稳定性分析过程。它的基本思路是：首先确定系统的均匀态 （或
者称为平衡解），然后就每一个状态分析其稳定性，即引入小扰动，写出关于扰
动的物理方 程，并化简保留线性项，进而求解线性微分方程(组)，如果关于扰动
部分的解不随时间的增长而趋于零 ，说明该均匀态是不稳定的。

参考答案：

是
是
,和
的函数。

的函数。

都是的函数。(补充讨论)

控制方程：

均匀态：

小扰动：

(a) 自行写出分析过程，参考结果如下：

线性常系数
偏
微分方程组：


稳定性条件：

(b) 自行写出分析过程，参考结果如下：

线性常系数
偏
微分方程组：


稳定性条件：
(c) 参考分析过程：

i)

将,,和

作Taylor展开，忽略二阶(包括二阶以上)小量：





ii)

代入控制方程整理，忽略二阶(包括二阶以上)小量：


其中：
iii)

稳定性分析：

猜测有如下的形式解：



代入ii)的方程中可得：


有非平庸解的条件是系数行列式为零：



稳定性的充分条件：
稳定性条件：
注：这里根据物理条件已经假定
(为什么？上式两根均为负，见书上的分析！)


，当然也可以放弃这一假设，进行更详细的讨论。


注意：

(1) 和的书写，如这里也可以写作；

(2) 是一阶小量，不是二阶小量；

(3) /



4 定义 为，且假设是正小量。忽略的高次项，找到二次方
程较大根的近似值。推出增长得最快的扰动的波长的近 似值。

提示：(部分符号已作修改！做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整!)

i)

二次方程：


ii)

定义：


iii)

失稳条件：

因为是小量，所以也是小量，进而可知也是小量。

iv)

二次方程较大根的近似值：


v)

增长得最快，说明扰动最大

极大值条件：


小技巧：

(舍去负值)
vi)

波长近似值：

因为
注意：
，所以
波长近似值：

(1)

正确理解题目的意思。
(2)

掌握

在时的Taylor展开
(the Taylor expansion)
。
P. 51
6 在(9)式得方程中消去，以便得到关于径向运动的一个微分方程。把它积分 以便推得径
向运动的开普勒表示式
，
此处a是椭圆的长半轴，e是偏心率，n是轨道的频率，T是经过近日点的时间(the time of
perihelion passage)，而E（称为偏近点角, the eccentric anomaly）是一个参数，每走一圈，它
的取值范围为。位置角度即为所谓的真近点角(the true anomaly)，量值
，随时间而线性变化，称为平近点角(the mean anomaly)。
在推导中，应先得到下列形式的能量方程

为此，请注意在近日点和远日点（即分别离太阳最近和最远的位置）处的径向速度为零。
本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法，简要了解一下天文学名词。
提示：从轨道运动方程推导能量方程。
参考答案：
轨道方程：
由第二个式子，有：
代入第一个式子，有：
上式两边同乘以，整理得：
积分上式得：
在远日点和近日点处的径向速度为零，即：

因此： （注意C1是否写对了，可能差一个符号）

能量方程：

令，有：

即：

令，则有：

因此：
当
所以：


偏近点角和真近点角的关系：

时，，则
，







补充题：
用简单函数(如幂级数、指 数函数、对数函数)来表示当
(本题要求给出具体分析过程！！！)

(a)

(b)

(c)


时函数的量阶：



(d)


(e)


(f)

(g)



提示： 两个函数之间的关系：


/

/

参考分析过程举例如下：



方法一、可作Taylor展开(the Taylor expansion)的情况：

(求量阶只需要展出第一项即可，这里多展了几项，只作参考)

(a)

因为，

则

(b)

同(a)有，
(c)



(d)

(g)


方法二、不可能只作Taylor展开的情况：

(e) 逐渐忽略小量




(f) 这里只讨论的情况：




方法三、猜测比较法，如：

(c) 猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(the L'Hospital's rule)：


为使
(g) 猜测 量阶为
，只有取

，比较时使用L’Hospital法则(the L'Hospital's rule)：


为使


详细解题示例：

(a)
，只有取


方法一：直接进行Taylor展开(the Taylor expansion)

因为：




…

所以：


方法二：

因为：
所以：



则：
方法三：

猜测量阶为

，比较时使用L’Hospital法则(the L'Hospital's rule)：


为使
注意：

(1)
，只有取

称为的双曲正弦函数，也可以写作：
称为的双曲余弦函数，也可以写作：
称为的反双曲正弦函数，也可以写作：
称为的反双曲余弦函数，也可以写作：
有同学将理解为、
；

；

；

。

，都是不对的。

参考：/topics/

(2) 幂级数不足于构成完备的标准函数集，需要补充对数函数、指数函数，

以及


P. 64
10 水星轨道方程：


式中，，是一小参数。

题目提示的方法：
解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号推导！）

设方程有形式解：
一阶导数：


二阶导数：
平方项：（补充推导过程！）



方程左边：
方程右边：



由的任意性，则：

一级近似：（补充推导过程！）


因此：



所以：


两个相继的近日点之间的角度为：


注：

平方项中涉及了三角函数的积化和差，请自行复习。



我们也可以有下面更加一般化的写法：

设方程有形式解：
一阶导数：


二阶导数：
平方项：


方程左边：



方程右边：

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

庞加莱方法（Poincare’s method）


水星轨道方程：


式中，，是一小参数。

解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号！）

假设：

则：




即原方程左边：

原方程右边：



当
因为当
则：
时：
（近日点）即

时，

而当
很小时：
方程右边除了零阶的项以外，最大的项为，它是
因此方程的左边除了零阶的项以外，最大的项的量阶必须为
我们可以分别讨论和两种情况，
易见这两种情况均不合理，前者不可能找到一个常数
立，
后者不能消除久期项的影响；因此必须有
使得
，此时
成

为消除久期项（自行复习高等数学内容），关于
结合定解条件
我们可以定出
即有：


的系数必须为零，则

两个相继的近日点之间的角度为：


为得到更高阶的解，我们可以继续假设如下形式：


具体的讨论略去，因为方法完全类似于上述的讨论。



极烦的方法：
水星轨道方程：


式中，，是一小参数。

这是来自一本很老的纸版参考答案的题解，里面有诸多笔误，
但还是不断被传抄，因此我们将其主要的错误修改后贴在这里，仅供参考。
实际上，这个解题过程相当繁琐，原因是它一开始就将一级近似代入方程推导，
我们前面提供的方法有效地避免了这一复杂性，希望引起大家的重视。

先简要提炼一下这份参考答案的解题过程：(最烦的方法，吃力不讨好！)

解的形式：
一级近似：
Taylor展开：




则：


方程左边：（太复杂略去）

方程右边：（太复杂略去）

相应项相等：




所以：



两个相继的近日点之间的角度为：


！！详细图片见网上答案！！


P. 90
4

(a) 阶的第一类贝塞耳函数(Bessel function of the First Kind)的定义如下：


证明（形式地）这个级数给出了贝塞耳方程(Bessel differential equation)：

的解。

(b) 如果是整数，试证：

(c) 证明:



它可充当带有整数下标的贝塞耳函数(Bessel differential equation)的母函数。

(d) 证明:



(e) 证明:

提示：本题要求验证即可，有推导兴趣的参见“数学物理方程(科大版p.84)”。



(a) 推导过程如下：





因此：


式中，为The (complete) gamma function



(b) 推导过程如下：



(c) 推导过程如下：




(d) 令，代入(c)，利用Euler公式(The Euler formula)得：



两边同乘以，并在上对积分，交换积分和求和的顺序有：


式中，
因此：

是the Kronecker delta.



(e) 令，代入(d)得：


实际上就是周期函数的性质。





P. 102
7：求下列积分当
(a) 补余误差函数：

时的渐近展开式：

(b) Fresnel积分：


&

参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）

提示：
分部积分法(integration by parts)，注意渐近展开(asymptotic expansion)的表示(p.94)。
(a) The complementary error function:



或者
或者
或者
























































(b) Fresnel integrals:

(可直接推导，也可利用上述结果，具体推导过程略去，做作业需要完全写出！)

因此：


或者写作：