熙春台集合论数学应用一

2020年11月30日发(作者：田志东)

二、集合思想在高中数学的应用
应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（ 2）方程（或方程组
的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。
只有深刻 理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与
集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂 用集合语言描述的数学
命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。
例1：集合M={y∣y=x
2
-1,x∈R},N={x∣y=
（ ）
},则M∩N等于
分析
：集合M中的元素是y,它表示函数y=x
2-1的值域，从而M={ y
∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函数y=
N={ x∣ }.因此，M∩N={x∣
的定义域，从而
}
例2：设f(x)=x
2
+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.
分析
：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a 。
方程即为x
2
+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=
更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形
性质给出的点集和满足某性 质P的实数对组成的集合建立起一一对
应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对 代
数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新
教材中球、椭圆、双曲线 、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又
直观，便于学生理解。
例3：集合A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y=
单元素集，求m的取值范围。

},如果A∩B是