geocaching考研数学应用题：真题实例讲解

2020年11月30日发(作者：陆福庆)

考研数学应用题：真题实例讲解
数学应用是数学教学的一个重要的任务，学生学 数学的目的就是为了以后用它去解决实际
问题。因此，增强数学应用意识，养学生数学应用能力,是数学 教学的任务之一。现在，历
年考研试题中都涉及数学实际应用的问题。下面就以考研真题为例，总结归纳 了函数的极值
和最值、积分、微分方程和概率等考研中数学应用题的四大类型以及各个类型问题的解法。
一、函数的极值和最值模型
函数的极值和最值的应用问题主要分为一元函数和多元函 数的极值和最值的应用，解决
这类问题的思路是：第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式及求出 函数的定义域;
第二利用求函数极值和最值的方法求解。
例如：某厂家生产的一种产品同 时在两个市场销售，售价分别为p1，p2;销售量分别为
q1和q2;需求函数分别为q1=24-0 .2p1，q2=10-0.05p2;总成本函数为C=35+40(q1+q2)。试问：
厂家如何 确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?
分析：这是一个典型的二元函数求最值问题。首先要根据题意求出总利润函数：总利润
=总收益- 总成本;其次求出函数的定义域;最后根据二元函数求最值的方法求解即可。
二、积分模型
在积分的应用过程中关键要解决好两个问题:一是什么样的量可以用积分来表达;二是
用什 么样的积分表达,即确定积分区域和被积表达式。
例如：某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对
桩的阻力而作功 。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为
kk>0)。汽锤第一次击打将桩 打进地下am。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功
与前一次击打时所作的功之比为常数r( 0
问： (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?(2) 若击打次数不限，汽锤至多能
将桩打进地下多深?(注：m表示长度单位米)
分析：本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的
极限。
三、微分方程模型
应用微分方程解决实际问题,其实就是建立微分方程数学模型,通过建立微分方 程、确定
定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律。应用微分方程解决具体问题时，首先将实际问题抽象,建立微分方程,并给出合理的定解条件;其次求解微分方程
的通 解及满足定解条件的特解;最后由所求得的解或解的性质,回到实际问题。
例如：现有一质量为9 000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h。经测试，减速伞
打开后，飞机所受的总阻力与 飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0×106)。问从着陆点算起，
飞机滑行的最长距离是多少? 注：kg表示千克，km/h表示千米/小时。
分析：本题是以运动力学为背景的数学应用题，可 通过利用牛顿第二定理，列出关系式
后再解微分方程即可。
四、概率模型
关于概率论的应用题主要集中在古典概型、随机变量的分布以及随机变量的数字特征等
方面。应用概率论 的知识解决具体问题时，首先要分析实际问题，找出随机变量的关系及其
分布;下来是列出它们的函数关 系，利用概率论的有关知识求解。
例如：设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格产品 中只有3/4的产品可进行再
加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品。已知每件合格品可获利 80元，每件废品亏
损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少 产品?