凯文科恩考研数学各种定义集锦

2020年11月30日发(作者：茅少菊)
1、函数的有界性在定义域内有f≥K1则函数f在定义域上有下界，K1为下界；
如果有f≤ K2，则有上界，K2称为上界。函数f在定义域内有界的充分
1、函数的有界性在定义域内有f≥K 1则函数f在定义域上有下界，K1为下界；如果有
f≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f在定义 域内有界的充分必要条件是在定义域内既有
上界又有下界。
2、数列的极限定理数列不能同时收敛于两个不同的极限。
定理如果数列收敛，那么数列一定有界。
如果数列无界，那么数列一定发散；但如果数列有界 ，却不能断定数列一定收敛，例
如数列1，－1，1，－1，n+1…该数列有界但是发散，所以数列有 界是数列收敛的必要条件
而不是充分条件。
定理如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收 敛于a。如果数列有两个子数列收敛
于不同的极限，那么数列是发散的，如数列1，－1，1，－1，n +1…中子数列收敛于1，收
敛于－1，却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0lt;x－x0表示x≠x0，所以x→x0时f有没有极限
与f在点x0有没有定义无关。
定理如果lim时f＝A，而且A0，就存在着点那么x0的某一去 心邻域，当x在该邻域
内时就有f00），反之也成立。
函数f当x→x0时极限存在的充分 必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f
＝f，若不相等则limf不存在。
一般的 说，如果limf＝c，则直线y＝c是函数y＝f的形水平渐近线。如果limf＝∞，
则直线x＝x 0是函数y＝f形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无 穷小的乘积是无穷
小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1≥ F2，
而limF1＝a，limF2＝b，那么a≥b。
5、极限存在准则两个重要极限l im＝1；limx＝1。夹逼准则如果数列、、满足下列条
件：yn≤xn≤zn且limyn＝a， limzn＝a，那么limxn＝a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y＝f在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f当x→x0时的
极限存在，且 等于它在点x0处的函数值f，即limf＝f，那么就称函数f在点x0处连续。
不连续情形：1、 在点x＝x0没有定义；2、虽在x＝x0有定义但limf不存在；3、虽
在x＝x0有定义且lim f存在，但limf≠f时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f的间断点，但左极限及 右极限都存在，则称x0为函数f的第一类间
断点。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商是个在该点连续的函数。
定理如果函数f在区间I x上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x＝f在对应的
区间Iy＝上单调增加或减少且连续。反三 角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。 如果函数在开区间内
连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f≤M。定理设函数f在闭区间
上连续 ，且f与f异号×flt;0），那么在开区间内至少有函数f的一个零点，即至少有一
点ξ在点x0处 可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim/h及右极限lim/h都存在且相
等，即左导数f－ ′右导数f+′存在相等。
2、函数f在点x0处可导＝函数在该点处连续；函数f在点x0处连续≠ 在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f在点x0 处可微＝函数在该点处可导；函数f在点x0处可微的充分必要条件
是函数在该点处可导。
1 、定理如果函数f在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，
即f＝f，那么在开 区间内至少有一点ξ如果函数f在闭区间上连续，在开区间内可导，那
么在开区间内至少有一点ξ如果函 数f及F在闭区间上连续，在开区间内可导，且F‘在内
的每一点处均不为零，那么在开区间内至少有一 点ξ，使的等式/＝f‘/F‘成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、 0×∞、∞－∞、00、1∞、
∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f在闭区间上连 续，在开区间内可导，那么：如果在内
f‘0，那么函数f在上单调增加；如果在内f’lt;0，那么 函数f在上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那 么只
要用方程f‘＝0的根及f’不存在的点来划分函数f的定义区间，就能保证f‘在各个部分
区间内保持固定符号，因而函数f在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f在区间内有定 义，x0是内的一个点，如果存在着点x0的一
个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，ff均成立 ，就称f是函数f的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的 地方，函数不一
定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。
定理设函数f在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f‘＝
0。 定理设函数f在x0一个邻域内可导，且f’＝0，那么：如果当x取x0左侧临近的值时，
f‘恒为正 ；当x去x0右侧临近的值时，f’恒为负，那么函数f在x0处取得极大值；如果
当x取x0左侧临近 的值时，f‘恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’恒为正，那么函数
f在x0处取得极小值；如果 当x取x0左右两侧临近的值时，f‘恒为正或恒为负，那么函
数f在x0处没有极值。
定理 设函数f在x0处具有二阶导数且f‘＝0，f‘‘≠0那么：当f‘‘lt;0时，函
数f在x0处取 得极大值；当f‘‘0时，函数f在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，
不是驻点也有可能是极值 点。
7、函数的凹凸性及其判定设f在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有flt;/< br>2，那么称f在区间Ix上形是凹的；如果恒有f/2，那么称f在区间Ix上形是凸的。
定理 设函数f在闭区间上连续，在开区间内具有一阶和二阶导数，那么若在内f‘’0，
则f在闭区间上的形 是凹的；若在内f‘’lt;0，则f在闭区间上的形是凸的。
判断曲线拐点的步骤求出f‘’；令f ‘’＝0，解出这方程在区间内的实根；对于中
解出的每一个实根x0，检查f‘’在x0左右两侧邻近 的符号，如果f‘’在x0左右两侧邻
近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点）是拐点， 当两侧的符号相同时，点）
不是拐点。
在做函数形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
1、原函数 存在定理定理如果函数f在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F，
使对任一x∈I都有F‘＝ f；简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑
用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数 的幂降
低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反
三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都 是
初等函数。
1、定积分解决的典型问题曲边梯形的面积变速直线运动的路程
2、函数可积的充分条件定理设f在区间上连续，则f在区间上可积，即连续＝可积。
定理设f在区间上有界，且只有有限个间断点，则f在区间上可积。
3、定积分的若干重要性 质性质如果在区间上f≥0则∫abfdx≥0。推论如果在区间上f
≤g则∫abfdx≤∫abgd x。推论∫abfdx≤∫abfdx。性质设M及m分别是函数f在区间上的
最大值和最小值，则m≤ ∫abfdx≤M，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小
值可以估计积分值的大致范围。
性质如果函数f在区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫a
bfdx ＝f。
4、关于广义积分设函数f在区间上除点c
直角坐标系下
极坐标系下
旋转体体积指曲线的方程）
平行截面面积为已知的立体体积dx，其中A为截面面积）
功、水压力、引力
函数的平均值∫abfdx）
1、多元函数极限存在的条件极限 存在是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近
于A，如果P以某一特殊方式，例如沿着一条定直线 或定曲线趋于P0时，即使函数无限接
近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果 当P以不同方式趋于P0
时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f＝ ｛0/x^2+y^
2≠0
2、多元函数的连续性定义设函数f在开区域D内有定义，P0是 D的内点或边界点且P
0∈D，如果limf＝f则称f在点P0连续。
性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D
上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对
于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏
导数存在只能 保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f趋于f，但不能保证
点P按任何方式趋于P0时 ，函数值f都趋于f。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要 条件，
但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微＝可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理如果函数z＝f的偏导数存在且在点连续，则函数在
该点可微分。
6。多元函数极值存在的必要、充分条件定理设函数z＝f在点具有偏导数，且在点处
有极值， 则它在该点的偏导数必为零。
定理设函数z＝f在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f x＝0，fy＝0，
令fxx＝0＝A，fxy＝B，fyy＝C，则f在点处是否取得极值的条件如下 ：AC－B20时具有极
值，且当Alt;0时有极大值，当A0时有极小值；AC－B2lt;0时没 有极值；AC－B2＝0时可
能有也可能没有。
7、多元函数极值存在的解法解方程组fx＝ 0，fy＝0求的一切实数解，即可求得一切
驻点。
对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A 、B、C。定出AC－B2的符号，按充分条件进
行判定f是否是极大值、极小值。
注意：在 考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，
那么对这些点也应当考虑在 内。
1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积
平面薄片的质量平面薄片的重心坐标dσ，Iy＝∫∫x2ρdσ；其中ρ为在点处的密度。
平面薄片对质点的引力
2、二重积分存在的条件当f在闭区域D上连续时，极限存在，故函数 f在D上的二重
积分必定存在。
3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f≤ψ，则有 不等式∫∫fdxdy≤∫∫ψ
dxdy，特殊地由于－f≤f≤f又有不等式∫∫fdxdy≤∫∫f dxdy。性质设M，m分别是f在
闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫fd σ≤Mσ。
性质设函数f在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点使得下式成
立：∫∫fdσ＝fσ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系
换为极 坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的
面积元素d xd