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考研数学一真题
(1998---2012)
1998 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上
)
1 x
(1)
lim
x 0
x
2
1 x 2
= .
1
(2) 设
z f ( xy)
y ( x y), f ,
x
x
2
(3) 设
l
为椭圆
4
2
具有二阶连续导数 ,则
z
= .
x y
2
y
2
L
1,
其周长记为
a,
则
(2xy
3x
2
4 y)ds
= .
3
*
(4) 设
A
为
n
阶 矩 阵
, A
0,A
为
A
的伴随矩阵
, E
为
n
阶单位矩阵 .若
A
有特征值
.
,
则
(A
* 2
)E
必有特征值
1
x
(5) 设平面区域
D
由曲线
y
及直线
y
0, x 1,x
e
所围成 ,二维随机变量
( X ,Y)
关 于
X
的 边 缘 概 率 密 度 在
x
2
在 区 域
D
上 服 从 均 匀 分 布 , 则
( X ,Y )
2
处 的 值 为
.
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
(1)
设
)
f ( x)
连续,则
dx
2
d
x
0
tf (x
2
t
)dt
=
2
(A)
xf (x
) xf (x)
2
(B)
(C)
2xf ( x
2
)
3
(D)
2xf
2
( x)
2
(2)
函数
f ( x) ( x
x 2) x
x
不可导点的个数是
(B)2 (A)3
(C)1
(3)
已知函数
y y( x)
在任意点
x
处的增量
高阶无穷小 ,
y(0)
,则
y(1)
等于
y x
y
2
1 x
(D)0
,
且当
x
0
时
,
是
x
的
(A)
2
(B)
(C)
e
(4)
设矩阵
4
(D)
e
4
a
1
b
1
c
1
c
2
c
3
y b
1
b
2
b
3
z c
1
c
2
c
3
a
2
b
2
a
3
b
3
x a
3
是满秩的 ,则直线
a
1
a
2
y b
3
b
1
b
2
z c
3
与直线
x a
1
c
1
c
2
a
2
a
3
(A) 相交于一点
(C)平行但不重合
(B) 重合
(D) 异面
(5)设
A, B
是两个随机事件
,且
0
(A)
P( A | B)
(C)
P( AB)
P( A) 1, P( B)
0, P( B | A)
P(B | A),
则必有
(B)
P( A | B)
(D)
P( AB)
P(A | B)
P( A) P(B)
P(A | B)
P( A)P(B)
三、 (本题满分 5 分)
求直线
l :
x 1
1
y
1
z 1
在平面
1
.
: x y 2 z 1 0
上的投影直线
l
0
的方程 ,并求
l
0
绕
y
轴旋转一周所成曲面的方程
四、 (本题满分 6 分)
确定常数
,
使在右半平面
x
0
上的向量
A( x, y) 2xy (x
4
y ) i
2
x ( x
2
4
y ) j
2
为某二元函数
u( x, y)
的梯度 ,并求
u( x, y).
五、 (本题满分 6 分)
从船上向海中沉放某种探测仪器
,按探测要求 ,需确定仪器的下沉深度
y(
从海平面算起 )
,在下沉 与下沉速度
v
之间的函数关系 .设仪器在重力作用下 ,从海平面由静止开始铅直下沉
.设仪器的质量为
m,
体积为
B,
海水密度为
过程中还受到阻力和浮力的作用
,
仪器所受的阻
力与下沉速度成正比
,比例系数为
k (k 0).
试建立
y
与
v
所满足的微分方程 , 并求出函数关
系式
y
y(v).
六、 (本题满分 7 分)
计算
axdydz
( z a)
2
dxdy
其中
,
( x
2
y
2
z)
2 1 2
为下半平面
z a
2
x
2
y
的上侧
, a
为大
2
于零的常数 .
七、 (本题满分 6 分)
2
sin sin
n n
求
lim
x
1
n 1
n
2
八、（本题满分 5 分）
sin
.
1
n
n
1
设正向数列
{
a
n
}
单调减少 ,且
发散 ,试问级数
( 1)
a
n
n 1
n
理由 .
(
n 1
a
n
n
)
是否收敛 ?并说明
1
九、（本题满分 6 分）
设
y
f (x)
是区间
[0,1]
上的任一非负连续函数 .
(1) 试证存在
x
0
(0,1),
使得在区间
[0, x
0
]
上以
f ( x
0
)
为高的矩形面积 , 等于在区间
[ x
0
,1]
上以
y
f ( x)
为曲边的曲边梯形面积 .
2 f ( x)
,
证明 (1) 中的
x
0
是唯一的 .
x
(2) 又设
f ( x)
在区间
(0,1)
内可导 ,且
f (x)
十、（本题满分 6 分）
已知二次曲面方程
x
ay
22
z
2
2bxy 2xz 2 yz 4
可以经过正交变换
x
y
z
P
化为椭圆柱面方程
2
4
2
4,
求
a, b
的值和正交矩阵
P.
十一、（本题满分 4 分）
k
k 1
设
A
是
n
阶矩阵 ,若存在正整数
k,
使线性方程组
A x
0
有解向量
α,
且
A
α 0.
证明 :向量组
,
Aα
, ,
A
α
是线性无关的 .
α
k
1
十二、（本题满分 5 分）
已知方程组
(Ⅰ)
a
11
x
1
a
12
x
2
a
21
x
1
a
22
x
2
a
1,2n
x
2n
a
2,2 n
x
2 n
0
0
0
T
n1 n 2 n,2 n
a
n1
x
1
a
n 2
x
2
22
T
21
a
n,2n
x
2 n
T
2,2 n
的一个基础解析为
(b , b , ,b
)
,( b ,b , , b
11 12 1,2 n
), ,( b , b
, ,b
).
试写出线
性方程组
(Ⅱ)
b
11
y
1
b
12
y
2
b
21
y
1
b
22
y
2
b
1,2n
y
2n
b
2,2 n
y
2 n
0
0
0
的通解 ,并说明理由 .
b
n1
y
1
b
n 2
y
2
b
n ,2n
y
2 n
十三、（本题满分 6 分）
1
2
的正态分布 ,求随机变量
设两个随机变量
X ,Y
相互独立 ,且都服从均值为 0、方差为
X Y
的 方 差 .
十四、（本题满分 4 分）
从正态总体
N (3.4,6)
中抽取容量为
n
的样本 ,如果要求其样本均值位于区间
n
至少应取多大 ?
t
2
2
(1.4,5.4)
内的概率不小于 0.95,问样本容量
附: 标准正态分布表
z
( x)
1.28
0.900
1
2
e
2
dt
z
( x)
十五、（本题满分 4 分）
1.645
0.950
1.96
0.975
2.33
0.990
设某次考试的学生成绩服从正态分布
70 分?并给出检验过程 .
附:
t
分布表
,从中随机地抽取 36位考生地成绩 ,算得平均成绩为
66.5分,标准差为 15分.问在显著性水平 0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为
P{ t (n) t
p
(n)}
p
0.975
2.0301
2.0281
0.95
35
36
1.6896
1.6883
1999 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上
(1)
lim(
x
0
1 1
)
d
x
(2)
x x tan x
2
sin( x t) dt
=
2
)
= .
dx
0
2x
.
(3)
y
4 y e
的通解为
y
= .
. (4) 设
n
阶矩阵
A
的元素全为 1,则
A
的
n
个特征值是
(5) 设
两 两 相 互 独 立 的 三 事 件
A, B
和
C
满 足 条
件:
ABC
且已知
P(A
, P( A) P( B)
P(C)
B C) ,
则
P( A)
=
16
9
1
,
2
.
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一个符
)
(1)
设
f ( x)
是连续函数
, F ( x)
是
f ( x)
的原函数 ,则
(B) 当
f ( x)
是偶函数时
, F (x)
必是奇函
(A) 当
f ( x)
是奇函数时
, F (x)
必是偶函数
数
(C)当
f ( x)
是周期函数时
, F (x)
必是周期函数
(D) 当
f (x)
是单调增函数时
, F (x)
必是单调增函数
1 cosx
x
xg(x)
2
(2)设
f ( x)
x 0
x 0
,其中
g( x)
是有界函数 ,则
f ( x)
在
x 0
处
(B) 极限存在 ,但不连续
(D) 可导
(A) 极限不存在
(C)连续 ,但不可导
x 0
1
2
x 1
x
1
,
S( x)
(3)设
f ( x)
a
0
2
n 1
2 2x
a
n
cosn x, x ,
5
)
等于
其 中
a
n
2 f (x)cos n xdx
(n
0,1,2, )
,则
S(
0
2
1 1
1
(A)
2
(B)
2
(C)
3
4
(D)
3
4
(4)
设
A
是
m
n
矩阵 ,
B
是
n m
矩阵 ,则
(B) 当 (A) 当
m
n
时,必有行列式
| AB | 0
m n
时 , 必 有 行 列 式
| AB | 0
(C)当
n
m
时,必有行列式
| AB | 0
(D) 当
n m
时 , 必 有 行 列 式
| AB | 0
(5)
设两个相互独立的随机变量
X
和
Y
分别服从正态分布
N (0,1)
和
N (1,1)
,则
(A)
P{ X Y 0}
1
2
(B)
P{ X Y 1}
1
2
(C)
P{ X Y
0}
1
2
(D)
P{ X Y 1}
1
2
三、 (本题满分 6 分)
设
y
y(x), z z( x)
是由方程
z xf ( x y)
和
F ( x, y, z) 0
所确定的函数 ,其中
f
和
,求
F
分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数
dz
dx
.
四、 (本题满分 5 分)
求
I
L
(e
sin
y b( x y)) dx (e
x
cos y ax) dy,
其 中
a, b
为正 的常数 ,
L
为从点
x
A(2 a,0)
沿曲线
y
2ax x
到 点
O(0,0)
的弧 .
2
五、 (本题满分 6 分)
设 函 数
y( x) ( x
0 )
二 阶 可 导 且
y ( x) 0 ,y ( 0 )
过
1.
曲 线
y y( x)
上 任 意 一 点
P( x, y)
作该曲线的切线及
x
轴的垂线 ,上述两直线与
x
轴所围成的三角形的面积记为
S
1
,区
间
[0, x]
上以
y
y(x)
为曲线的曲边梯形面积记为
S
2
,并设
2S
1
S
2
恒为 1,求曲线
y y(x)
的方程 .
六、 (本题满分 7 分)
论证 :当
x
0
时,
(x
2
1)
ln x ( x 1).
2
七、 (本题满分 6 分)
为清除井底的淤泥 ,用缆绳将抓斗放入井底 ,抓起污泥后提出井
口(见图 ).已知井深 30m,抓斗自重 400N, 缆绳每米重 50N, 抓斗抓起
的污泥重 2000N, 提升速度为 3m/s,在提升过程中 ,污泥以 20N/s 的速
率从抓斗缝隙中漏掉 .现将抓起污泥的抓斗提升至井口 ,问克服重力
需作多少焦耳的功 ?
(说明 : ① 1N 1m=1Jm,N,s,J 分别表示米 ,牛,秒,焦.②抓斗的高
度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计 .)
八、 (本题满分 7 分)
x
2
设
S
为椭球面
2
y
2
2
z
2
1
的上半部分 , 点
P( x, y, z) S,
为
S
在点
P
处的切平
的距离 ,求
S
面,
(x, y, z)
为点
O(0,0,0)
到平面
dS
.
( x, y, z)
z
九、 (本题满分 7 分)
设
a
n
4
0
tan xdx :
n
1
(1)
求
(a
n
a
n
2
)
的值.
n 1
n
0,
级数
n 1
(2)
试证 :对任意的常数
a
n
n
收敛 .
十、 (本题满分 8 分)
设矩阵
A
a
5
1 c
属于
1
b
0
c
3 ,
其行列式
| A |
a
T
0
的值
1,
又
A
的伴随矩阵
A
有一个特征值
*
0
,
0
的一个特征向量为
α ( 1, 1,1)
,
求
a, b, c
和 .
十一、 (本题满分 6 分)
设
A
为
m
阶实对称矩阵且正定
,
B
为
m
T
n
实矩阵 ,
B
T
为
B
的转置矩阵 ,试证
B AB
为
正定矩阵的充分必要条件是
B
的 秩
r (B ) n.
十二、 (本题满分 8 分)
设随机变量
X
与
Y
相互独立 ,下表列出了二维随机变量
关于
Y
的边缘分布率中的部分数值
X
( X ,Y )
联合分布率及关于
X
和
. ,试将其余数值填入表中的空白处
Y
y
1
y
2
1
8
y
3
P( X x
i
) p
i
x
1
2
x
1
p
8
1
j
P(Y y )
i
1
6
十三、 (本题满分 6 分)
设
X
的概率密度为
f ( x)
6 x
3
(
0
x) 0< x
其它
,
X , X ,
1 2
, X
是取自总体
X
的简单
n
随机样本
(1)
求
的矩估计量
?
.
(2)
求
?
的方差
D(
?
).
2000 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上
1
)
(1)
0
2x x dx
=
2
2
.
2
(2)
曲 面
x
2 y
2
3z
21
在点
(1, 2, 2)
的法线方程为
0
的通解为
1
2
x
1
x
3
1
3
无解 ,则
a
=
0
1
.
.
.
(3)
微分方程
xy 3 y
1 2
(4)
已知方程组
2 3 a 2 x
2
1 a
(5)
设两个相互独立的事件
A
和
B
都不发生的概率为
.
9
,
A
发生
B
不发生的概率与
B
发
生
A
不发生的概率相等 , 则
P( A)
=
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一个符
)
(1) 设
f ( x)
、
g ( x)
是 恒 大 于 零 的 可 导 函 数 , 且
f (x) g( x) f ( x) g ( x) 0
, 则 当
a
x b
时,有
(A)
f ( x) g(b) f (b) g(x)
f (b) g (b)
2
(B)
f ( x) g(a)
(D)
f ( x)g (x)
f (a)g( x)
f (a)g (a)
(C)
f ( x) g( x)
(2)
设
S : x
2
yz
2
a ( z
0), S
1
为
S
在第一卦限中的部分 ,则有
(B)
S
2
(A)
S
xdS 4 xdS
S
1
ydS 4 xdS
S
1
(C)
S
zdS 4 xdS
S
1
(D)
S
xyzdS 4 xyzdS
S
1
(3)
设级数
n 1
u
n
收敛 ,则必收敛的级数为
u
n
(A)
n 1
( 1)
n
n
(B)
n 1
u
2
n
(C)
n 1
(u
2n 1
u
2 n
)
(D)
n 1
(u
n
u
n 1
)
(4)
设
n
维列向量组
,β
α, α
维列向量组
β
1
,
m
(m n)
线性无关 ,则
n
1
,
m
线性无关的充
分必要条件为
(A) 向量组
(B) 向量组
,
α
,
β
α
1
,
m
可由向量组
β
1
,
m
线性表示
β,β, α
1
,
m
可由向量组
α
1
,
m
线性表示
α,α
, β
1
,
m
等价
1
,
m
与向量组
β
(α(β
1
, , α
m
)
与矩阵
B
1
, ,β
m
)
等价
( X ,Y )
服从二维正态分布 ,则随机变量
X Y
与
X Y
不
(C) 向量组
(D) 矩 阵
A
(5)
设二维随机变量
相关的充分必要条件为
(A)
E( X )
(B)
E( X
(C)
2
E(Y)
2
2 2
) [ E( X )]
E(Y ) [ E(Y)]
2
E( X ) E(Y )
2 2
2 2
E(Y )]
(D)
E( X ) [ E( X )]
E(Y ) [
2
三、 (本题满分 6 分)
1
x
2 e
求
lim(
4
x
x
1 e
sin
x
).
x
四、 (本题满分 5 分)
设
z
x x
z
f (
xy
, )
g
( )
,其中
f
具有二阶连续偏导数
, g
具有二阶连续导数 ,求
.
y y
x y
2
五、 (本题满分 6 分)
xdy ydx
计算曲线积分
I
L
4x
2
y
2
,其中
L
是以点
(1,0)
为中心
, R
为半径的圆周
(R
1),
取逆时针方向 .
六、 (本题满分 7 分)
0
内 任 意 的 光 滑 有 向 封 闭 曲 面
S,
都 有
设 对 于 半 空 间
x
xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx
e zdxdy
0,
其中函数
f ( x)
在
(0,
S
2 x
)
内具有连续的一阶
导数 ,且
lim f ( x) 1,
求
f ( x)
.
x 0
七、 (本题满分 6 分)
求幂级数
n 1
3
n
1 x
的收敛区间 ,并讨论该区间端点处的收敛性
n
( 2) n
n
.
八、 (本题满分 7 分)
, P
0
是此球的表面上的一个定点 , 球体上任一点的密度与该点到
设有一半径为
R
的球体
P
0
),求球体的重心位置 .
0
距离的平方成正比 (比例常数
k
九、 (本题满分 6 分)
设函数
f ( x)
在
[0, ]
上连续 ,且
0
f (x)dx
0,
f (
2
) 0.
0
f ( x)cos xdx
0.
试证 :在
(0, )
内至
少存在两个不同的点
1
,
2
,
使
f (
1
)
十、 (本题满分 6 分)
*
A
设矩阵
A
的伴随矩阵
位矩阵 ,求矩阵
B
.
1 0 0 0
0 1 0 0
,
且
ABA
1 0 1 0
0 3 0 8
1
BA
1
3E
, 其 中
E
为 4 阶 单
十一、 (本题满分 8 分)
某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计
,然后将
1
6
熟练工支援其
他生产部门 ,其缺额由招收新的非熟练工补齐 .新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2
5
量
成为熟练工 .设第
n
年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为
x
n
和
y
n
,
记成向
x
n
y
n
.
x
n
y
n
, η
2
x
n 1
的关系式并写成矩阵形式 :
(1)
求
x
n 1
y
n 1
与
y
n 1
A
x
n
y
n
.
(2)
验证
η
1
4
1
1
1
是
A
的两个线性无关的特征向量 ,并求出相应的特征值 .
(3)
当
x
1
y
1
1
2
时,求
x
n 1
.
y
n 1
1
2
十二、 (本题满分 8 分)
p(0
p 1)
,各产品合格与否相对独立 ,当出现 1
某流水线上每个产品不合格的概率为
个不合格产品时即停机检修
.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为
X
,求
X
的数学
期望
E( X )
和方差
D( X )
.
十三、 (本题满分 6 分)
f ( x; )
2e
0
2( x )
设某种元件的使用寿命
X
的概率密度为
x
,其中
x
0
为未知
参数 .又设
x
1
, x
2
, , x
n
是
X
的一组样本观测值 ,求参数 的最大似然估计值 .
2001 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上
)
(1)
设
y
e ( asin x bcosx)(a, b
为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通
.
2
x
解,则该方程为
(2)
r
x y
2
z
,则
div(grad r )
(1, 2,2)
=
0
2
.
.
.
(3)
交换二次积分的积分次序
2
:
1
dy
1 y
2
1
f ( x, y) dx
＝
(4)
设
A
A 4E O
,则
(A
2E)
=
2
,则根据车贝晓夫不等式有估计
(5)
D( X )
P{ X E( X ) 2}
.
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一个符
)
(1)
设函数
f ( x)
在定义域内可导 ,
y
f ( x)
的图形如右图所示 , 则
y
f (x)
的图形为
(A) (B)
(C)
(D)
(2)
设
f ( x, y)
在点
(0,0)
的附近有定义 ,且
f
x
(0,0)
3dx dy
3, f
y
(0,0) 1
则
(A)
dz |
(0,0)
(B) 曲 面
z
f (x, y)
在
(0,0, f (0,0))
处的法向量为
{3,1,1}
z f( x,
y)
在
(0,0,
f (0,0))
处的切向量为
{1,0,3}
(C) 曲线
y 0
(D) 曲线
z f( x,
y)
y 0
(3)
设
在
(0,0,
f (0,0))
处的切向量为
{3,0,1 }
f (0) 0
则
f ( x)
在
x
=0 处可导
(A)
lim
f (1
h 0
cosh)
h
2
存在 (B)
lim
h 0
f (1 e)
h
h
h
存在
f ( h sin h)
存在
(C)
lim
2
h 0
h
(D)
lim
f (2h)
h 0
f (h)
存在
1 1 1 1
(4)
设
A
4
, B
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
, 则
A
与
B
0
0
(B) 合同但不相似
(D) 不合同且不相似
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
(A) 合同且相似
(C)不合同但相似
(5)
将一枚硬币重复掷
n
次,以
X
和
Y
分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则
X
和
Y
相关系数为
(A) -1 (B)0
(D)1
(C)
1
2
三、 (本题满分 6 分)
arctan e
求
x
e
2x
dx
.
四、 (本题满分 6 分)
设
z
f ( x, y)
在 点
函 数
(
d
1
3
可 微 , 且
f (1,1) 1, f
x
(1,1)
2, f
y
(1,1)
3
,
(x) f ( x,
f (x, x))
,求
dx
( x)
x 1
.
五、 (本题满分 8 分)
设
f ( x)
a r c t axn x 0
,
将
f ( x)
展开成
x
的幂级数 ,并求
x
1 x
0
1 x
2
( 1)
n 1
n
2
的和 .
1
4n
六、 (本题满分 7 分)
计 算
I
L
( y
2
z
)dx (2 z
2 2
x ) dy (3 x
2 2
y
) dz
,其中
L
是平面
x
y z 2
与
2
柱面
x y 1
的交线 ,从
Z
轴正向看去
, L
为逆时针方向 .
七、 (本题满分 7 分)
设
f ( x)
在
( 1,1)
内具有二阶连续导数且
f ( x)
0
.证明 :
f ( x)
=
f ( 0)
+
xf ( (x)x)
成
(1) 对于
x ( 1,0) (0,1)
, 存在惟一的
(x) (0,1)
,使
立.
x 0
(2)
lim
(x)
0.5
.
八、 (本题满分 8 分)
设 有 一 高 度 为
h(t )( t
为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 , 其 侧 面 满 足 方 程
2
z h(t )
2( x
2
y)
h(t)
(设长度单位为厘米 , 时间单位为小时 ), 已知体积减少的速率与侧面积
? 成正比 (系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间
九、 (本题满分 6 分)
设
α
1
,α
2
,
O
的一个基础解系 ,
, α
s
为线性方程组
AX
β
t
1
α
t
2
α
1 1
2
,β
2
t
1
α
t
2
α
,β
2
3
,
s
t
1
α
t
2
α
s
1
,
O
的一个基础解系 ?
其中
t
1
,t
2
为实常数 ,试问
t
1
, t
2
满足什么条件时
,
β
β
β
1
,
2
,
s
也为
AX
十、 (本题满分 8 分)
3
2
2
已知三阶矩阵
A
和三维向量
x
,使得
x, Ax, A x
线性无关 ,且满足
A x
3Ax
2 A x
.
(1)
记
P
( x, Ax, A x),
求
B
使
A
A E
.
2
PBP
.
1
(2)
计算行列式
十一、 (本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数
X
服从参数为
( 0)
的泊松分布 ,每位乘客在中途下车的
概率为
p(0
p 1),
且中途下车与否相互独立 .
Y
为中途下车的人数 ,求:
(1)
在发车时有
n
个乘客的条件下 ,中途有
m
人下车的概率 .
(2)二维随机变量
( X ,Y )
的概率分布 .
十二、 (本题满分 7 分)
设
X ~ N(
,
2
)
抽取简单随机样本
X
1
, X
2
, , X
2 n
(n
2),
2n
样本均值
X
1
n
X
i
,
Y
i 1
( X
i
X
n i
2n
i 1
2 X )
, 求
E(Y ).
2
2002 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.把答案填在题中横线上
(1)
)
dx
e
2
x ln
x
y
=
2
.
(2)
已 知
e
(3)
yy
6xy x
1 0
,则
y
(0)
=
.
y
2
0
满足初始条件
y(0) 1, y (0)
f ( x
1
, x
2
, x
3
)
2
1
,则
1
2
2
3
的特解是 .
(4)
已知实二次型
a( x
2
1
x
.
2
2
x )
4 x
1
x
2
4x
1
x
3
4x
2
x
3
经正交变换
可化为标准型
f
6y
a
=
2
(5)
设随机变量
X ~ N( ,
.
)
,且二次方程
y
2
4 y X 0
无实根的概率为 0.5, 则
=
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一个符
)
(1)
考虑二元函数
f ( x, y)
的四条性质 :
①
f ( x,
y)
在点
(
x
0
,
y
0
)
处连续 , ②
f ( x, y)
在点
( x
0
, y
0
)
处的一阶偏导数连续 ,
③
f ( x,
y)
在点
(
x
0
,
y
0
)
处可微 , ④
f ( x, y)
在点
( x
0
, y
0
)
处的一阶偏导数存在 .
则有 :
(A) ②
(C)③
③
④
n
①
①
(B) ③
(D) ③
②
①
①
④
(2)
设
u
n
0
,且
lim
n
1
,则级数
( 1)
n 1
1
(
u
n
1
)
为
u
n 1
(B) 绝对收敛
(D) 收敛性不能判定 .
u
n
(A) 发散
(C)条件收敛
(3)
设函数
f ( x)
在
R
上有界且可导 ,则
0
时,必有
lim
f
(
x
) 0
x
(A) 当
lim
f (x)
x
(B) 当
lim
f ( x)
存 在 时 , 必 有
x
x
l i mf
( x) 0
0
时,必有
lim
f
(
x
) 0
x 0
(C) 当
lim f ( x)
x 0
(D) 当
lim f ( x)
存 在 时 , 必 有
x 0
x 0
lim f ( x) 0
.
(4)
设有三张不同平面 ,其方程为
a
i
x b
i
y c
i
z d
i
(
i
1,2,3
) 它们所组成的线性方程
组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为
2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)
设
X
和
Y
是相互独立的连续型随机变量
,它们的密度函数分别为
f
X
( x)
和
f
Y
( y)
,分
布函数分别为
F
X
( x)
和
F
Y
( y)
,则
(B)
(D)
(A)
f
X
(x)
＋
f
Y
( y)
必为密度函数
f
X
(x)
f
Y
( y)
必为密度函数
F
X
( x)
F
Y
( y)
必为某一随机变
(C)
F
X
( x)
＋
F
Y
( y)
必为某一随机变量的分布函数
量的分布函数 .
三、 (本题满分 6 分)
设函数
f ( x)
在
x
0
的某邻域具有一阶连续导数 , 且
f (0) f (0) 0
,当
h
0
时, 若
af (h) bf (2h)
f (0) o(h)
,试求
a,b
的值 .
四、 (本题满分 7 分)
已知两曲线
y
f (x)
与
y
arctanx
0
e
dt
在点
(0, 0)
处的切线相同 .求此切线的方程 ,并
t
2
求极限
lim
nf (
)
.
n
2
n
五、 (本题满分 7 分)
计算二重积分
D
e
max{ x
2
, y
2
}
dxdy
,其中
D {( x, y ) | 0 x 1,0 y 1}
.
六、 (本题满分 8 分)
设函数
f ( x)
在
R
上具有一阶连续导数 ,
L
是上半平面 (
y
>0) 内的有向分段光滑曲线
,起
点为 (
a, b
),终点为 (
c, d
).
记
I
1
[1
y
2
f ( xy)] dx
y
x
y
2
y
[
f
(
xy
)
1]
dy
,
2
(1)
证明曲线积分
I
与路径
L
无关 .
(2)
当
ab
cd
时,求
I
的值 .
七、 (本题满分 7 分)
(1)
验证函数
y( x)
n 0
x
3n
(3n)!
(
x
)满足微分方程
y y y e
.
x
x
3n
(2)
求幂级数
的和函数 .
y( x)
n
0
(3n)!
八、 (本题满分 7 分)
设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为
x o y
面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为
D {( x, y) | x
2
y
2
xy 75}
,小山的高度函数为
h( x, y)
75 x
2
y
2
xy
.
?若
(1)
设
M (x
0
, y
0
)
为区域
D
上一点 ,问
h( x,
y)
在该点沿平面上何方向的方向导数最大
此方向的方向导数为
g
(
x
0
,
y
0
)
,写出
g( x
0
, y
0
)
的表达式 .
,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起
(1) 中
g( x, y)
达到最大值的点 .试确定攀登起点的位
(2)
现欲利用此小山开展攀岩活动
点.也就是说要在
D
的边界线上找出使
置.
九、 (本题满分 6 分)
已知四阶方阵
α
,其中
α
A
(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)
,
α
2
,α
3
,α
4
线性
1
,α
2
,α
3
,
4
均为四维列向量
无关 ,
α
1
x
β
的通解 .
2ααα
α
α
2
3
.若
β α
1
2 3
4
,求线性方程组
A
十、 (本题满分 8 分)
设
A ,B
为同阶方阵 ,
(1)
若
A , B
相似 ,证明
A ,B
的特征多项式相等 .
(2)
举一个二阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成立 .
(3)当
A , B
为实对称矩阵时 ,证明 (1) 的逆命题成立 .
十一、 (本题满分 7 分)
设维随机变量
X
的概率密度为
f ( x)
1 x
c o s
2 2
0
0 x x
其它
的次数 ,求
Y
的数学期望 .
2
对
X
独立地重复观察 4 次,用
Y
表示观察值大于
3
十二、 (本题满分 7 分)
设总体
X
的概率分布为
X
P
其中 (
0
0
2
1 2 3
1 2
2 (1 )
2
1
2
)是未知参数 ,利用总体
X
的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3.
求 的矩估计和最大似然估计值 .
2003 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 6 小题 ,每小题 4 分 ,满分 24 分.把答案填在题中横线上
)
1
(1)
lim (cos x)
x 0
ln( 1
x
2
)
= .
(2) 曲 面
z
x
2
y
与平面
2 x 4 y z 0
平行的切平面的方程是
x )
, 则
a
2
= .
2
.
(3) 设
x
2
n 0
a
n
cos nx(
(4) 从
R
的 基
α
1
2
1
0
,
α
2
1
1
到基
β
1
1
1
,
β
2
1
2
的过渡矩阵为 .
(5) 设 二 维 随 机 变 量
(X ,Y )
的 概 率 密 度 为
f ( x, y)
6x
0
0
x y 1
其它
, 则
P{ X Y 1}
.
(6) 已知一批零件的长度
X
(单位:cm) 服从正态分布
N ( ,1)
,从中随机地抽取
的置信度为 0.95 的置信区间是 .
16 个零件 ,
得到长度的平均值为
40 (cm), 则
(注:标准正态分布函数值
(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)
二、选择题 (本题共 6 小题 ,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一个符
)
,则
f ( x)
有
(1)
设函数
f ( x)
在
(
, )
内连续 ,其导函数的图形如图所示
(A) 一个极小值点和两个极大值点
(B) 两个极小值点和一个极大值点
(C) 两个极小值点和两个极大值点
(D) 三个极小值点和一个极大值点
lim a
n
(2)设
{ a
n
}, {b
n
}, { c
n
}
均为非负数列 , 且
n
0
,
lim b
n
n
1
,
lim c
n
n
,则必有
(A)
a
n
b
n
对任意
n
成立
n
(B)
b
n
c
n
对任意
n
成立
n
(C)极限
lim
a
n
c
n
不存在 (D) 极限
lim
b
n
c
n
不存在
(3)
已知函数
f (x, y)
在点
(0,0)
的某个邻域内连续 ,且
lim
x 0, y
0
f ( x, y)
(x
2
2
xy
2
1
,则
y )
(A) 点
(0,0)
不是
f (x, y)
的极值点
(B)
点
(0,0)
是
f ( x, y)
的极大值点
点
(0,0)
是
f ( x, y)
的极小值点
(C)
(D)
根据所给条件无法判断点
(0,0)
是 否为
f ( x, y)
的极值点
(4)
设向量组 I:
α
1
,
α
2
,
,
α
,
ββ
r
可由向量组 II:
β
1
,
2
,
s
线性表示 ,则
(B) 当
r
(D) 当
r
(A) 当
r
(C)当
r
s
时,向量组 II 必线性相关
s
时,向量组 I 必线性相关
A x 0
和
Bx
s
时,向量组 II 必线性相关
s
时,向量组 I 必线性相关
(5)
设有齐次线性方程组
0
,其中
A ,B
均为
m
n
矩阵,现有 4 个命题 :
① 若
A x
0
的解均是
Bx
秩
(B )
,则
A x
0
的解 ,则秩
(A )
秩
(B )
0
的解均是
Bx 0
的解
② 若 秩
(A )
③ 若
A x
0
与
Bx 0
同解 ,则秩
( A )
秩
(B)
秩
(B )
, 则
Ax
④ 若 秩
(A )
0
与
Bx 0
同解
以上命题中正确的是
(A) ①②
(C)②④
(6)
设随机变量
(B) ①③
(D) ③④
X ~ t (n)( n 1), Y
1
X
2
, 则
(A)
Y ~
2
(n)
(B)
Y ~
2
(n 1)
(C)
Y ~ F( n,1)
(D)
Y ~ F (1,n)
三、 (本题满分 10 分)
过坐标原点作曲线
y
ln x
的切线 ,该切线与曲线
y
ln x
及
x
轴围成平面图形
D
.
(1) 求
D
的 面 积
A
.
(2) 求
D
绕直线
x
e
旋转一周所得旋转体的体积
V
.
四、 (本题满分 12 分)
将函数
f ( x)
1 2 x
arctan
展开成
x
的幂级数 ,并求级数
1
2 x
n 0
( 1)
2n
1
的和 .
n
五 、(本题满分 10 分)
已知平面区域
D
{( x, y) 0 x
sin x
,0 y
}
,
L
为
D
的正向边界 .试证:
sin x
(1)
L
xe
sin y
dy y e
dx
L
xe
sin y
dy y e
dx
.
(2)
x e
L
sin y
dy y e
sin x
dx
2
2
.
六 、(本题满分 10 分)
某建筑工程打地基时
第一次击打将桩打进地下
,需用汽锤将桩打进土层 . 汽锤每次击打 ,都将克服土层对桩的阻力
(比例系数为
k.k
而作功 .设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比
0
).汽锤
a
m.根据设计方案 ,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打
r (0 r 1)
.问
时所作的功之比为常数
(1) 汽锤击打桩 3 次后 ,可将桩打进地下多深 ?
(2) 若击打次数不限 ,汽锤至多能将桩打进地下多深
(注:m 表示长度单位米 .)
?
七 、(本题满分 12 分)
设函数
y
y( x)
在
( , )
内具有二阶导数 , 且
y
2
0, x x( y)
是
y y( x)
的反函数 .
(1) 试将
x x( y)
所满足的微分方程
的微分方程 .
dx
3
d x
( y sin x)( )
0
变换为
y y(x)
满足
2
dy
dy
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
y(0) 0, y ( 0)
3
2
的解 .
八 、(本题满分 12 分)
设函数
f ( x)
连续且恒大于零 ,
y
2
f ( x
F (t)
(t )
2
2
z)dv
2
D (t )
2
f ( x
t
1
y ) d
2
2
2
f (x
,
G(t )
,
y )d
f ( x)dx
t }.
2
其中
(1)
讨论
D (t )
2
z
2
2
2
(
t
)
{(
x
,
y
,
z
)
x
y
2
t
}
,
D(t)
{( x, y) x y
2
F (t)
在区间
(0,
0
时,
F (t )
)
内的单调性 .
2
G(t ).
(2)
证明当
t
九 、(本题满分 10 分)
3 2 2
0 1 0
1 0 1
,
B P
A
*
P
,求
B
2E
的特征值与特征向量
,
0 0 1
1
设矩阵
A
2 3 2
,
P
2 2 3
其中
A
*
为
A
的伴随矩阵 ,
E
为 3 阶单位矩阵 .
十 、(本题满分 8 分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:
ax
2by 3c 0
,
l
2
:
bx 2cy 3a 0
,
l
3
:
cx 2ay 3b 0
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
a b c 0.
十一 、 (本题满分 10 分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品 ,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品 ,乙箱中仅装有
3 件合格品 . 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 ,求:
(1) 乙箱中次品件数的数学期望 .
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率
.
十二 、 (本题满分 8 分)
设总体
X
的概率密度为
f (x)
2e
0
2 (x )
x
x 0
其 中
0
是 未 知 参 数 . 从 总 体
X
中 抽 取 简 单 随 机 样 本
X
1
, X
2
, , X
n
, 记
?
min( X
1
, X
2
, , X
n
).
(1) 求总体
X
的分布函数
F ( x)
.
(2) 求统计量
?
的分布函数
F
(
x
)
.
?
(3)
如果用
?
作为 的估计量 ,讨论它是否具有无偏性 .
2004 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 6 小题 ,每小题 4 分 ,满分 24 分.把答案填在题中横线上
)
(1)
曲 线
y
ln x
上与直线
x y 1
垂直的切线方程为
x
x
.
.
(2)
已知
f (e)
x e
,且
f (1) 0
,则
f ( x)
=
x
2
(3)
设
L
为正向圆周
y
2
2
在第一象限中的部分 , 则曲线积分
L
xdy 2 ydx
的 值
为 .
dy
d y
4x 2 y
0( x
0)
的通解为
(4)
欧拉方程
x
2
dx dx
2
2
.
2 1 0
(5) 设矩阵
A
1 2 0
, 矩阵
B
满足
ABA
0 0 1
.
*
2BA
*
E
, 其 中
A
为
A
的伴随矩
*
阵,
E
是单位矩阵 ,则
B
=
(6)
设随机变量
X
服从参数为
的指数分布 ,则
P{ X DX }
= .
二、选择题 (本题共 8 小题 ,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
(7)
把
x
,只有一个符
)
x
2
0
0
时的无穷小量
x
0
cost
dt,
2
tan
t dt,
x
0
sint
dt
,使排在后
3
面的是前一个的高阶无穷小
,则正确的排列次序是
(B)
, ,
(D)
, ,
(A)
, ,
(C)
, ,
(8)
设函数
f ( x)
连续 ,且
f (0) 0,
则存在
0
,使得
(B)
f ( x)
在
(
(A)
f ( x)
在(0,
)
内单调增加
(0, )
有
f ( x) f (0)
,0)
内单调减少
(
,0)
有
(C) 对任意的
x
(D) 对 任 意 的
x
f ( x)
f (0)
(9)
设
n 1
a
n
为正项级数 ,下列结论中正确的是
(A) 若
lim
na
n
=0,则级数
n
n 1
a
n
收 敛
(B) 若存在非零常数
,使得
lim
na
n
n
,则级数
n 1
a
n
发 散
(C) 若级数
n 1
a
收敛 ,则
lim n a
n
n
2
n
0
(D) 若级数
n 1
a
n
发散, 则存在非零常数
t
1
t
,使得
lim
na
n
n
(10)
设
f ( x)
为连续函数 ,
F (t )
dy f ( x)dx
,则
F
(2)
等于
y
(A)
2 f (2)
(B)
f (2)
(D) 0
(C)
f (2)
(11)
设
A
是 3 阶方阵 ,将
A
的第 1 列与第 2 列交换得
B
,再把
B
的第 2 列加到第 3 列得
C
,
则满足
AQ
C
的可逆矩阵
Q
为
0 1 0
(A)
1 0 0
0 1 0
(B)
1 0 1
1 0 1
0 1 0
(C)
1 0 0
0 0 1
0 1 1
(D)
1 0 0
0 1 1
0 0 1
(12)
设
A ,B
为满足
AB
O
的任意两个非零矩阵 ,则必有
,B
的行向量组线性相关
,B
的列向量组线性相关
,B
的行向量组线性相关
,B
的列向量组线性相关
N (0,1),
对 给 定 的
(0 1)
, 数
u
满 足
(A)
A
的列向量组线性相关
(B)
A
的列向量组线性相关
(C)
A
的行向量组线性相关
(D)
A
的行向量组线性相关
(13)
设 随 机 变 量
X
服 从 正 态 分 布
P{ X
u }
,若
P{ X x}
,则
x
等于
(B)
u
1
(A)
u
2 2
(C)
u
1
2
(D)
u
1
2
(14)
设 随 机 变 量
X
1
, X
2
, , X
n
(n 1)
独 立 同 分 布 , 且 其 方 差 为
0.
令
Y
1
n
n
i 1
X
i
,则
2
(A)
Cov( X
1
, Y)
2
2
)
(C)
D( X
1
Y
n
n 2
n
(B)
Cov( X
1
,Y)
(D)
D ( X
1
Y)
n 1
n
2
三、解答题 (本题共 9 小题 ,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(15)( 本题满分 12 分)
设
e a b
e
,证明
ln b ln a
2
2 2
)
4
e
2
(b a)
.
(16)( 本题满分 11 分)
某种飞机在机场降落时 ,为了减少滑行距离 ,在触地的瞬间 ,飞机尾部张开减速伞 ,以增大
阻力 ,使飞机迅速减速并停下 .
现有一质量为 9000kg 的飞机 ,着陆时的水平速度为
700km/h 经测试 ,减速伞打开后 ,飞机
6
所受的总阻力与飞机的速度成正比
(比例系数为
k
6.0 10
).
问从着陆点算起 ,飞机滑行
的最长距离是多少 ?
(注:kg 表示千克 ,km/h 表示千米 /小时 )
(17)( 本题满分 12 分)
计 算 曲 面 积 分
I
2
2
2
x
3
dydz
2
y
3
dzdx
3(
z
2
1)
dxdy
,
其 中 是 曲 面
z 1 x
y( z 0)
的上侧 .
(18)( 本题满分 11 分)
设有方程
x
n
nx
1 0
,其中
n
为正整数 .证明此方程存在惟一正实根
x
n
,并证明当
1
时,级数
n 1
x
n
收敛 .
(19)( 本题满分 12 分)
设
z
z(x, y)
是由
x
2
6xy 10 y
2
2 yz z
2
18 0
确定的函数 ,求
z z( x, y)
的极
值点和极值 .
(20)( 本题满分 9 分)
设有齐次线性方程组
(1 a) x
1
x
2
x
n
2 x
n
( n a) x
n
0,
2 x
1
(2
a) x
2
0,
( n 2) ,
nx
1
nx
2
0,
试问
a
取何值时 ,该方程组有非零解 ,并求出其通解 .
(21)( 本题满分 9 分)
1
2
a
3
3
的特征方程有一个二重根
5
,求
a
的值 ,并讨论
A
是否可相似对
设矩阵
A
1 4
1
角化 .
(22)( 本题满分 9 分)
设
A, B
为随机事件 ,且
P( A)
1 1 1
, P( B | A) , P( A | B)
,令
4 3 2
X
1, A
发生
,
0, A
不发生
;
Y
1, B
发生
,
0, B
不 发 生
.
求:(1) 二维随机变量
( X ,Y)
的概率分布 .
(2)
X
和
Y
的相关系数
XY
.
(23)( 本题满分 9 分)
设总体
X
的分布函数为
F ( x, )
1
1 ,
x 1,
x
0,
x
1,
其中未知参数
1, X
1
, X
2
,
, X
n
为来自总体
X
的简单随机样本 ,
的矩估计量 .
的最大似然估计量 .
求:(1)
(2)
2005 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 6 小题 ,每小题 4 分 ,满分 24 分.把答案填在题中横线上 )
(1)
曲线
y
x
2
的斜渐近线方程为 .
(2)
微分方程
2x 1
x ln x
满 足
y(1)
x
2
xy 2 y
y
2
1
9
z
的解为 .
2
(3)
设 函 数
u( x, y, z) 1
6
12 18
, 单 位 向 量
n
1
{1,1,1}
, 则
3
u
n
(1, 2, 3)
=. .
(4)
设 是由锥面
z
x
2
y
与半球面
z
2
R
2
x
2
y
围成的空间区域 , 是
.
2
的整个边界的外侧 ,则
xdydz ydzdx zdxdy
(5)
设
α
1
, α
2
, α
3
均为 3 维列向量 ,记矩阵
A (αα
,
B (ααα2α4αα3α9α
1
,
2
,α
3
)
1
2
α
3
,
1
2
3
,
1
2
3
)
,
如果
A 1
,那么
B
.
, 记为
X
, 再 从
1,2,
(6)
从数 1,2,3,4 中任取一个数
, X
中任取一个数 , 记 为
Y
, 则
P{ Y 2}
= .
二、选择题 (本题共 8 小题 ,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中
合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
(7)
设函数
,只有一项符
)
f ( x)
lim 1
n
n
x
,则
f ( x)
在
(
3 n
, )
内
(B) 恰有一个不可导点
(D) 至少有三个不可导点
(A) 处处可导
(C)恰有两个不可导点
(8)
设
F ( x)
是连续函数
f (x)
的一个原函数 ,
M N
表 示
的充分必要条件是
N
则必有
(A)
F ( x)
是偶函数
f (x)
是奇函数 (B)
F ( x)
是奇函数
f ( x)
是偶函数
(C)
F ( x)
是周期函数
调函数
f ( x)
是周期函数 (D)
F (x)
是单调函数
f ( x)
是单
(9)
设函数
u( x, y) (x y) ( x y)
x y
x y
(t )dt
, 其中函数
具有二阶导数 ,
具有一阶导数 ,则必有
2
(A)
u
x
2
u
2
y
2
2
u
(B)
2
x
2
2
2
u
2
y
2
2 2
(C)
2
(D)
u u u u
x y
y
xy z ln y
e
xz
x y
x
(10)
设有三元方程
1
, 根据隐函数存在定理 ,存在点
(0,1,1)
的一个邻域 ,
在此邻域内该方程
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
z z( x, y)
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x( y, z)
和
z
z( x, y)
(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
y
y( x, z)
和
z
z( x, y)
(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x( y, z)
和
y
y(x, z)
α
1
,α
2
, 则
(11)
设
1
,
2
是 矩 阵
A
的 两 个 不 同 的 特 征 值 , 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为
α
(αα
1
,
A
1 2
)
线性无关的充分必要条件是
(A)
1
0
(B)
2
0
0
B.A , B
分别为
A , B
* *
1
(C)
0
(D)
2
(12)
设
A
为
n(n 2)
阶可逆矩阵 ,交换
A
的第 1 行与第 2 行得矩阵
的伴随矩阵 ,则
(A) 交换
A
的第 1 列与第 2 列得
B
* *
*
(B) 交换
A
的第 1 行与第 2 行 得
B
* *
*
(C) 交换
A
的第 1 列与第 2 列得
(13)
设二维随机变量
*
*
B
(D) 交换
A
的第 1 行与第 2 行得
B
( X , Y)
的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
1
a
0.1
b
已知随机事件
{ X
0}
与
{ X
Y 1}
相互独立 ,则
(B)
a 0.4,b
(A)
a 0.2, b 0.3
(C)
a 0.3,b 0.2
0.1
(D)
a 0.1,b 0.4
2
(14)
设
X
1
, X
2
,
, X
n
(n 2)
为来自总体
N (0,1)
的简单随机样本 ,
X
为样本均值 ,
S
为
样本方差 ,则
(A)
nX ~ N (0,1)
(B)
nS~
2 2
( n)
(C)
(n
1) X
S
~ t (n 1)
(D)
(n 1)X
2
1
n
~ F (1,n 1)
X
i 2
2
i
三 、解答题 (本题共 9 小题 ,满分 94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(15)( 本题满分 11 分)
)
设
D
{(
x
,
y
)
x
2
y
2
2
2 , 0, 0}
xy
,
[1 x
2
y ]
表示不超过
1 x
2 2
y
的最
2
大整数 . 计算二重积分
D
xy[1 x
y ]dxdy.
2
(16)( 本题满分 12 分)
求幂级数
n 1
( 1)
n1
(1
) x
的收敛区间与和函数
n(2n
1)
1
2n
f ( x)
.
(17)( 本题满分 11 分)
f (x)
,点
(3, 2)
是它的一个拐点 ,
如图 ,曲线
C
的方程为
y
直线
l
1
与
l
2
分别是曲线
C
在点
(0,0)
与
(3, 2)
处的切线 ,其交点
为
(2, 4)
. 设 函 数
3
0
f ( x)
具 有 三 阶 连 续 导 数 , 计 算 定 积 分
(x
2
x) f
(x)
)dx.
(18)( 本题满分 12 分)
已知函数
f ( x)
在
[0,1]
上连续 ,在
(0,1)
内可导 ,且
f (0) 0, f (1) 1
. 证明:
(1) 存在
(0,1),
使得
f ( ) 1
,
.
(2) 存在两个不同的点
(0,1)
,使得
f (
) f ( ) 1.
(19)( 本题满分 12 分)
设函数
( y)
具有连续导数 ,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线
L
上 ,曲线积分
( y)dx 2 xydy
L
2 x
2
y
4
的值恒为同一常数 .
(1) 证明: 对右半平面
x 0
内的任意分段光滑简单闭曲线
C,
有
( y)dx
2xydy
C
2x
2
y
4
0
.
(2) 求函数
( y)
的表达式 .
(20)( 本题满分 9 分)
已知二次型
f ( x
1
, x
2
, x
3
)
(1 a)x
2
1
(1 a) x
2
2
2 x
2
3
2(1 a) x
1
x
2
的秩为 2.
(1) 求
a
的值；
Q y
,把
f ( x
1
, x
2
, x
3
)
化成标准形 .
(2) 求正交变换
x
(3) 求方程
f ( x
1
, x
2
, x
3
)
=0 的解.
(21)( 本题满分 9 分)
已知 3 阶矩阵
A
的第一行是
1 2 3
3 6 k
( a,b, c), a, b, c
不全为零
,矩阵
B
2 4
6
(
k
为常数
),
且
AB
O
,求线性方程组
A x
0
的通解 .
(22)( 本题满分 9 分)
设二维随机变量
( X ,Y)
的概率密度为
f ( x, y)
1
0 x 1,0 y 2 x
0
其它
求:(1)
( X ,Y)
的边缘概率密度
f
X
(x), f
Y
( y)
.
(2)
Z
2 X Y
的概率密度
f
Z
( z).
(23)( 本题满分 9 分)
设
X
1
,
X
2
,
,
X
n
(
n
2)
为 来 自 总 体
N ( 0, 1)
的 简 单 随 机 样 本 ,
X
为 样 本 均 值 , 记
Y
i
X
i
X ,i 1,2, , n.
求:(1)
Y
i
的方差
DY
i
, i
1,2, , n
.
(2)
Y
1
与
Y
n
的协方差
Cov(Y
1
,Y
n
).
2006 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一)试卷
一、填空题 (本题共 6 小题 ,每小题 4 分 ,满分 24 分.把答案填在题中横线上
(1)
lim
)
x ln(1 x)
1 cos x
y(1
x)
x
是 锥
x 0
.
微分方程
y
(2)
的通解是 .
(3)
设 面
z x
2
y
2
(
0 z 1
) 的 下 侧 , 则
xdydz 2 ydzdx 3(z 1)dxdy
.
(4)点
(2,1, 0)
到平面
3 x 4 y 5z 0
的距离
z
=
.
(5) 设 矩 阵
A
2 1
1 2
,
E
为 2 阶 单 位 矩 阵 , 矩 阵
B
满 足
BA B 2E
, 则
B
= .
(6) 设 随 机 变 量
X
与
Y
相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间
[0,3]
上 的 均 匀 分 布 , 则
P max{ X, Y} 1
=
.
二、选择题 (本题共 8 小题 ,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中
符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内
,只有一项
)
(7) 设函数
y
f (x)
具有二阶导数 , 且
f ( x) 0,
f ( x) 0
,
x
为自变量
x
在
x
0
处的增
量,
y
与
dy
分别为
f ( x)
在点
x
0
处对应的增量与微分 ,若
x 0
,则
(A)
0 dx
y
0
1
(B)
0
(D)
dy
y dy
y 0
(C)
y dy
(8) 设
f ( x, y)
为连续函数 ,则
4
0
d f
( r cos , r
sin )rdr
等 于
0
2
1 x
2
0
2
(A)
2
0
dx
1 x
2
x
f ( x, y)dy
(B)
0
2
dx f (x,
y)dy
(C)
2
2
0
dy
1 y
2
y
2
f (x, y)dx
(C)
2
0
dy
1 y
2
0
f
( x, y)dx
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