首届奥运会与2011年考研数学大纲变化对比：数一文字

2020年11月30日发(作者：项炯)


章节 2011年数学考试大纲考试内容和考试要求 2012年数学考试大纲考试内容和考试要求
高等一、函考试内容 考试内容
变化对比
对比： 无变化
数学 数、极函数的概念及表示法 函数的有界性、单调函数的概念及表示法 函数的有界性、单调
限、连性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、
续 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及
及其图形 初等函数 函数关系的建立 其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数列极限与函数极限的定义及其性质 函数
数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的
量的概念及其关系 无穷小量的性质及无概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量
穷小量的比较 极限的四则运算 极限存的比较 极限的四则运算 极限存在的两个
在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要
两个重要极限: 极限:
函数连续的概念 函数间断点的类型 初函数连续的概念 函数间断点的类型 初等
等函数的连续性 闭区间上连续函数的性函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示
法，会建立应用问题的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期
性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，
了解反函数及隐函数的概念．
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，
会建立应用问题的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性
和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了
解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，
了解初等函数的概念. 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，
了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函数左极限
与右极限的概念以
5．理解极限的概念，理解函数左极限与
右极限的概念以
及函数极限存在与左、右极限之间的关系．
及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.
6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用
7．掌握极限存在的两个准则，并会利它们求极限，掌握利 用两个重要极限求极限
用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极
限的方法．
的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌
8．理解无穷小量、无穷 大量的概念，握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量
掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续
求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与
右连续），会判别函数间断点的类型．
与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的
1 0．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有
连续性，理解闭区间上 连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），
界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，
并会应用这些性质．
二、一考试内容 考试内容 对比： 无变化
并会应用这些性质．
元函导数和微分的概念 导数的几何意义和物导数和微分的概念 导数的几何意义和物理
数微理意义 函数的可导性与连续性之间的关意义 函数的可导性与连续性之间的关系
分学 系 平面曲线的切线和法线 导数和微分平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则


的四则运算 基本初等函数的导数 复合函运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函
数、反函数、隐函数以及参数 方程所确定的数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微
函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性
不变性 微分中值定理 洛必达微分中值定理 洛必达（L’Hospital）法则
（L’Hospital）法则 函数单调性的判别 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形
函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘
近线 函数图形的描绘 函数的最大值与函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概
最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与
曲率半径
念 曲率圆与曲率半径



考试要求 考试要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微1.理解导数和微 分的概念，理解导数与微分
分的关系，理解导数的几何意义，会求平的关系，理解导数的几何意义，会求 平面曲
面曲线的切线方程和法线方程，了解导数线的切线方程和法线方程，了解导数的物理
的物 理意义，会用导数描述一些物理量，意义，会用导数描述一些物理量，理解函数
理解函数的可导性与连续 性之间的关系． 的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数2．掌握导 数的四则运算法则和复合函数的
的求导法则，掌握基本初等函数的导数公求导法则，掌握基本初等函数的 导数公
式．了解微分的四则运算法则和一阶微分式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形
形式 的不变性，会求函数的微分． 式的不变性，会求函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函 数3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的
的高阶导数． 高阶导数．
4．会求分段函数的 导数，会求隐函数和4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由
由参数方程所确定的函数以及反函数的参 数方程所确定的函数以及反函数的导数.
导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日
5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor )定理，
日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)了解并会用柯西(Cauchy)中 值定理．
定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
理． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断
6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方函数 的单调性和求函数极值的方法，掌握函

法． 数最大值和最小值的求法及其应用．
7．理解函数的极值概念，掌握用导数判8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：
断函数的单调性和求 函数极值的方法，掌在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的
握函数最大值和最小值的求法及其应用． 图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：函数图形的拐点以 及水平、铅直和斜渐近
在区间内，设函数具有二阶导数。当时，线，会描绘函数的图形．
的图 形是凹的；当时，的图形是凸的），9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，
会求函数图形的拐点以及 水平、铅直和斜
渐近线，会描绘函数的图形．
9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，
会计算曲率和曲率半径．
三、一考试内容 考试内容 对比： 无变化
会计算曲率和曲率半径．
元函原函数和不定积分的概念 不定积分的原函数和不定积分的概念 不定积分的基
数积基本性质 基本积分公式 定积分的概本性质 基本积分公式 定积分的概念和
分学 念和基本性质 定积分中值定理 积分基本性质 定积分中值定理 积分上限的
上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨函数及其导数 牛顿- 莱布尼茨
（Newton-Leibniz）公式 不定积分和定（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积
积分的换元积分法与分部积分法 有理分的换元积分法与分部积分法 有理函数、
函数、三角函数的有理式和简单无理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分
的积分 反常（广义）积分 定积分的应
用
反常（广义）积分 定积分的应用



考试要求 考试要求

1．理解原函数的概念，理 解不定积分和1．理解原函数的概念，理解不定积分和定
定积分的概念． 积分的概念．
2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积
积分和定积分的性质及定 积分中值定理，分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握
掌握换元积分法与分部积分法． 换元积分法与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简3．会求有理函数、三角函数有理 式和简单
单无理函数的积分． 无理函数的积分．
4．理解积分上限的函数，会求它的导数， 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，
掌握牛顿-莱布尼茨公式． 掌握牛顿-莱布尼茨公式．
5．了解反常积分的概念，会计算反常积5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．
分． 6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量物理量（平面图形的 面积、平面曲线的弧长、
与物理量（平面图形的面积、平面曲线的旋转体的体积及侧面积、平行截面面积 为已
弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面知的立体体积、功、引力、压力、质心、形
面积为 已知的立体体积、功、引力、压力、
质心、形心等）及函数的平均值．
四、向考试内容 考试内容 对比： 无变化
心等）及函数的平均值．
量代向量的概念 向量的线性运算 向量的向量的概念 向量的线性运算 向量的数
数和数量积和向量积 向量的混合积 两向量积和向量积 向量的混合积 两向量垂

空间量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐
解析量的坐标表达式及其运算 单位向量 标表达式及其运算 单位向量 方向数与
几何 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概
线方程的概念 平面方程 直线方程 平念 平面方程 直线方程 平面与 平面、平
面与平面、平面与直线、直线与直线的夹面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂
角 以及平行、垂直的条件 点到平面和点直的条件 点到平面和点到直线的距离
到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面
常用的二次曲面方程及其图形 空间曲方程及其图形 空间曲线的参数方程和一
线的参数方程和一般方程 空间曲线在般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线
坐标面上的投影曲线方程
考试要求
方程
考试要求
1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念1.理解空间直角坐标系，理解向量的概 念及
及其表示. 其表示.
2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、2.掌握向量的运算（ 线性运算、数量积、向
向量积、混合积），了解两个向量垂直、量积、混合积），了解两个向量垂直、平 行
平行的条件. 的条件.
3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向3.理解单位向量、方 向数与方向余弦、向量
量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向 量
向量运算的方法. 运算的方法.
4.掌握平面方程和直线方程及其求法.



4.掌握平面方程和直线方程及其求法. 5．会求平面与平面、平面与直线、直线与

5．会求平面与平面、平面与直线、直线直线之间 的夹角，并会利用平面、直线的相
与直线之间的夹角，并会利用平面、直线互关系（平行、垂直、相交等 ）解决有关问
的相互关系（平行、垂直、相交等））解
决有关问题.
题.
6．会求点到直线以及点到平面的距离.
6．会求点到直线以及点到平面的距离. 7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.
7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念. 8.了解常用 二次曲面的方程及其图形，会求
8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会
求简单的柱面和旋转 曲面的方程.
简单的柱面和旋转曲面的方程.
9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了
9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该
了解空间 曲线在坐标平面上的投影，并会
求该投影曲线的方程.
五、多考试内容 考试内容 对比： 无变化
投影曲线的方程.
元函多元函数的概念 二元函数的几何意义 多元函数的概念 二元函数的几何意义
数微二元函数的极限与连续的概念 有界闭区二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域
分学 域上多元连续函数的性质 多元函数的上多元连续函数的性质 多元函数的偏导
偏导数和全微分 全微分存在的必要条数和全微分 全微分存在的必要条件和充
件和充分条件 多元复合函数、隐函数的分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二
求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的
空间曲线的切线和法平面 曲面的切平切线和法平面 曲面的切平面和法线 二
面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值
多元函数的极值和条件极值 多元函数和条件极值 多元函数的最大值、最小值及

的最大值、最小值及其简单应用
考试要求
其简单应用
考试要求
1．理解多元函数的概念，理解二元函数1．理解多元函数的 概念，理解二元函数的
的几何意义. 几何意义.
2．了解二元函数的极限与连续的概念以2 ．了解二元函数的极限与连续的概念以及
及有界闭区域上连续函数的性质. 有界闭区域上连续函数的性质.
3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，3．理解多元函数偏导数和 全微分的概念，
会求全微分，了解全微分存在的必要条件会求全微分，了解全微分存在的必要条件和和充分条件，了解全微分形式的不变性. 充分条件，了解全微分形式的不变性.
4．理解方向导 数与梯度的概念，并掌握4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其
其计算方法. 计算方法.
5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的
的求法. 求法.
6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数
数 的偏导数. 的偏导数.
7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面7．了解空间曲线的切线和法平面及 曲面的
的切平面和法线的概念，会求它们的方
程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
切平面和法线的概念，会求它们的方程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，
9． 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二
掌握多元函数极值存在 的必要条件，了解元函数极值存在的充分条件，会求二元函数
二元函数极值存在的充分条件，会求二元的 极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，


函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会
极值，会求简单多元函数的最大值和最小
值，并会解 决一些简单的应用问题.
解决一些简单的应用问题.


六、多考试内容 考试内容 对比： 无变化
元函二重积分与三重积分的概念、性质、计算二重积分与三重积分的概念、 性质、计算和
数积和应用 两类曲线积分的概念、性质及计应用 两类曲线积分的概念、性质及计算
分学 算 两类曲线积分的关系 格林（Green）两类曲线积分的关系 格林（Green）公式
公式 平面曲线积分与路径无关的条件 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函
二元函数全微分的原函数 两类曲面积数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、
分的概念、性质及计算 两类曲面积分的性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯
关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes)公式
（Stokes)公式 散度、旋度的概念及计散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面
算 曲线积分和曲面积分的应用
考试要求
积分的应用
考试要求
1．理解二 重积分、三重积分的概念，了1．理解二重积分、三重积分的概念，了解
解重积分的性质，，了解二重积 分的中值重积分的性质，了解二重积分的中值定理.
定理. 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标 、
2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱
极坐标 ），会计算三重积分（直角坐标、
柱面坐标、球面坐标）.
3．理解两类曲线积分的概念，了解两类
曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
4．掌握计算两类曲线积分的方法.
面坐标、球面坐标）.
3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲
线积分的性质及两类曲线积分的关系.
4．掌握计算两类曲线积分的方法.
5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与
5． 掌握格林公式并会运用平面曲线积分路径无关的条件，会求二元函数全微分的原
与路径无关的条件，会求 二元函数全微分

的原函数.
函数.
6．了解两类曲面积分的概念、性质 及两类
6．了解两类曲面积分的概念、性质及两曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的
类曲 面积分的关系，掌握计算两类曲面积方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方
分的方法，掌握用高斯公式 计算曲面积分法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.
的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积7．了解散度与旋度的概念，并会计算.
分. 8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一
7．了解散度与旋度的概念，并会计算. 些几何量与物理量 （平面图形的面积、体积、
8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求曲面面积、弧长、质量、质心、、形 心、转
一些几何量与物理量（平面图形的面积、
体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、
形心、转动惯量、引力、功及流量等）.
七、无考试内容 考试内容 对比： 无变化
动惯量、引力、功及流量等）.
穷级常数项级数的收敛与发散的概念 收敛常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级
数 级数的和的概念 级数的基本性质与收数的和的概念 级数的基本性质与收敛的
敛的必要条件 几何级数与级数及其收必要条件 几何级数与级数及其收敛性
敛性 正项级数收敛性的判别法 交错正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱
级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条
对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的
域与和函数的概念 幂级数及其收敛半概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指
径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级
级数的和函数 幂级数在其收敛区间内数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数
的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 的和函数的求法 初等函数的幂级数展开


初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶
（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数
雷（Dirichlet）定理 函数在上的傅里在上的傅里叶级数 函数在上的正弦级数
叶级数 函数在上的正弦级数和余弦级
数
和余弦级数



考试要求 考试要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及 1．理解常数项 级数收敛、发散以及收
收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质 及
质及收敛的必要条件. 收敛的必要条件.
2．掌握几何级数与级数的收敛与发 2．掌握几何级数与级数的收敛与发散
散的条件. 的条件.
3．掌握正项级数收敛性的比较判别 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法
法和比值判别法，会用根值判别法. 和比值判别法，会用根值判别法.
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.
5．了解任意项级数绝对收敛与条件 5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收
收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.
6．了解函数项级数的收敛域及和函 6．了解函数项级数的收敛域及和函数
数的概念. 的概念.
7．理解幂级数收敛半径的概念、并 7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌
掌握幂级数的收敛半径、 收敛区间及收敛握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的
域的求法. 求法.
8．了解幂级数在其收敛区间内的基 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本
本性质（和函数的连续性 、逐项求导和逐性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积
项积分），会求一些幂级数在收敛区间内分） ，会求一些幂级数在收敛区间内的和函
的和函数，并会由此求出某些数项级数的
和.
数，并会由此求出某些数项级数的和.
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必
要条件.
10．掌握，，，及的麦克劳林（Mac laurin）
展开式，会用它们将一些简单函数间接展开
为幂级数.
11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛

9．了解函数展开为泰勒级数的充分
必要条件.
10．掌握，，，及的麦克劳林
（Maclaurin）展开式，会用它们将一些
简单函数间接展开为幂级数.
11．了解傅 里叶级数的概念和狄利克雷收定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级
敛定理，会将定义在上的函数展 开为傅里数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与
叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦余弦级数， 会写出傅里叶级数的和函数的表
级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和
函数的表达式.
八、常考试内容 考试内容 对比： 无变化
达式.
微分常微分方程的基本概念 变量可分离的常微分方程的基本概念 变量可分离的微
方程 微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方
分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全程 伯努利 （Bernoulli）方程 全微分方
微分方程 可用简单的变量代换求解的程 可用简单的变量代换求解的某些微分
某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分
线性微分方程解的性质及解的结构定理 方程解的性质及解的结构定理 二阶常系
二阶常系数齐次线性微分方程 高于二数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常
阶的某些常系数齐次线性微分方程 简系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系
单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程
拉（Euler）方程 微分方程的简单应用 微分方程的简单应用