八月你好-西城男孩
2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试题与参考答案
一、选择题
(1)当
x
0
时,下列无穷小量最高阶是
t
3
dt .
(A)
0
x
e
t
2
1 d
t
.
(B)
0
x
ln 1
(C)
0
sin
x
sin
t
2
dt
.
(1)【答案】(D).
(D)
0
1 cos
x
sin t
2
dt .
xt
2
【解析】因为
lim
0
e
1 dt
lim
x 0
+
x
3
x
2
1
,
2
x 0
+
3 x
2
3
x 0
+
3 x
2
e
x
1
lim
故
x 0
时,
0
x
e
t
2
1 dt
是
x
的
3
阶无穷小;
x
因为
lim
0
ln 1
x 0
+
x
2
5
t
3
dt
lim
ln 1
x
3
lim
x
3
2
,
+
x 0
5
2
x
2
3
x 0
+
5
2
x
2
3
5
故
x
0
时,
0
x
ln 1
t
3
dt
是
x
的
2
阶无穷小;
5
( )
22
sinx2
因为
lim
0
sin t dt
lim
sin sin x cos x
lim
sin
x
lim
x
2
1
x 0
+
x
3
x 0
+
3 x
2
x 0
+
3x
2
x 0
+
3
x
2
3
,
故
x
0
时,
0
sin
x
sin t
2
dt
是
x
的
3
阶无穷小;
1
x 0
+
t d t
x 0
+
lim
x 0
+
sin 1 cos x
2
1,
sin t
2
dt
lim
sin 1 cos x
2
sin x
因为
lim
0
1 cos x
0
1 cos x
1 cos x sin x
1 cos x
2
1 cos x
1
1
4
1
2
1 cosx
2
又
0
t dt
t
1 cos x
x
,
2
0
2
8
故
x
0
时,
0
1 cos
x
sin t
2
dt
是
x
的
4
阶无穷小;
综上,
x
0
时,无穷小量中最高阶的是
0
1 cos
x
sin t
2
dt
.
故应选(D).
x 0
(2)设函数
f
x
在区间
1,1
内有定义,且
lim f
x
0,
则
(
)
(A)当
lim
f x
0
时,
f x
在
x
0
处可导.
x 0
x
(B)当
lim
x 0
f
x
0
时,
f x
在
x
0
处可导.
x
2
x 0
(C)当
f x
在
x
0
处可导时,
lim
f x
0
.
x
(D)当
f x
在
x
0
处可导时,
lim
f
x
0
.
x 0
2
x
(2)【答案】(C).
【解析】
对于选项(A):取
f
x
对于选项(B):
f x
x
,满足已知,但
f x
在
x
0
处不可导,排除(A).
x 0,
x,
满足已知,但
f x
在
x
0
处不可导,排除(B).
0,
x 0,
对于选项(C):当
f
x
在
x
0
处可导时,
f
x
在
x
0
处连续,故
2
f 0 lim f
x 0,
且
f 0
存在,不妨设
f
0 lim
则
x 0
f x f 0
lim
f x
A,
x
x 0
x
x 0
lim
x 0
f x
lim
f x
x
0
.
同理可排除(D).
x
x 0
x
x
故应选(C).
f
f
(3)设函数
f x
在点
0, 0
处可微,
f 0, 0 0, n
,
x
y
, 1
,非零向量
d
与
0,0
(
)
n
垂直,则
(A)
0
存在.
lim
n
x , y , f
x , y
x , y0,0
x
2
y
2
0
存在.
n
x , y , f
x , y
(B)
lim
x , y
0,0
x
2
y
2
d
x , y , f
x , y
0
存在.
(C)
lim
x , y
0,0
x
2
y
2
d
x , y , f
x , y
0
存在.
(D)
lim
x , y0,0
x
2
y
2
(3)【答案】(A).
【解析】因
f x
在点
0, 0
处可微,且
f 0, 0
0
,故
f x , y f 0, 0 f
x
0, 0 x f
y
0, 0 y x
2
y
2
,
f
f
因为
n
,
, 1
f
x
0, 0 , f
y
0, 0 , 1
,故
x
y
0,0
n
x , y , f x , y
f
x
0, 0 x f
y
0, 0 y f x , y x
2
y
2
,
3
则
lim
n x , y , f x , y
lim
x , y0,0
x
2
y
2
0.
故应选(A).
x , y0,0
x
2
y
2
n 1
x
2
y
2
(4) 设
R
为幂级数
a
n
x
n
的收敛半径,
r
是实数,则
(
)
(A)
a
n
r
发散时,
r
R
.
n 1
n
(B)
a
n
r
n
发散时,
r
R
.
n 1
(C)
r
R
时,
a
n
r
n
发散.
n 1
(D)
r
R
时,
a
n
r
n
发散.
n 1
(4)【答案】(A).
【解析】若
a
n
r
n
发散,则
r
R
,否则,若
r
R
,由阿贝尔定理知,
a
n
r
n
n 1
n 1
绝对收敛,矛盾. 故应选(A).
(5)若矩阵
A
经过初等列变换化成
B
,则
(A)存在矩阵
P
,使得
PA B.
(
)
(B)存在矩阵
P
,使得
BP
A.
(C)存在矩阵
P
,使得
PB
A.
(D)方程组
Ax
0
与
Bx
0
同解.
(5)【答案】(B).
【解析】
A
经过初等列变换化成
B
,相当于
A
右乘可逆矩阵
P
变成
B
,即存在
可逆矩阵
Q
,使得
AQ B
,得
BQ
1
A
.取
P Q
1
,则存在矩阵
P
,使得
BP
A.
故应选(B).
4
(6)已知直线
L
:
x a
2
1
a
1
y b
2
z c
2
与直线
L :
x a
3
2
c
1
b
1
a
2
y b
3
z c
3
相交于一
b
2
c
2
a
i
点,法向量
α b
, i 1, 2, 3
.则
i
i
(
)
c
i
(A)
α
1
可由
α
2
,
α
3
线性表示.
(C)
α
3
可由
α
1
,
α
2
线性表示.
(B)
α
2
可由
α
1
,
α
3
线性表示.
(D)
α
1
,
α
2
,
α
3
线性无关.
(6)【答案】(C).
a
1
a
2
【解析】已知
L , L
相交于一点,故向,即
α ,
量
线性无关.
b
与
b
α
12
c
c
1
2
12
12
a
1
a
2
a
3
a
2
且有
b
, b
, b
b
,即
α , α
, α
α
线性相关.
c
c
1
1
c
2
2
c
3
2
3
2
12
3
1
故
α
1
, α
2
, α
3
线性相关,则
α
3
可由
α
1
, α
2
线性表示,且表示法唯一.
故应选(C).
(7)设
A,
B
,
C
为三个随机事件,且
P A
P B P C
1
4
,
P AB
0, P AC
P BC
(C)
1
.
1
12
,
则
A, B , C
恰有一个事件发生的概率为
(A)
3
.
(
(D)
5
.
)
4
(B)
2
.
3
2
12
(7)【答案】(D).
【解析】事件
A, B , C
中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发
5
生两个的概率表示,即
P ( ABC ABC ABC ) P ( A B C ) P ( AB AC
BC),
而
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC)
,
因
P ( AB) 0
,故
P ( ABC) 0
,从而
P ( A B C)
3
4
0
12
1
12
1
0
12
7
,
P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( ABC )P ( AB AC BC ) P ( AB )
P ( ABC )
P ( ABC)
0
12
12
0
111
6
,
故
P ( ABC ABC ABC)
12
7 1
6 12
5
.
故应选(D).
1
,
2
(8)设
X
1
,
X
2
, ,
X
100
为来自总体
X
的简单随机样本,其中
P X
0
P X
1
100
i 1
x
表示标准正态分布,则利用中心极限定理可得
P
X
i
55
的近似值为(
)
(A)
11
.
0.2
.
(B)
1
.
(C)
1
(D)
0.2
.
(8)【答案】(B).
100
i 1
100
i 1
【解析】由中心极限定理知,
X
i
近似服从
N ( ,
2
)
,其中
E ( X
i
) 50
,
100
1 1
2
D
(
i1
X
) 100
2 2
25
i
,故
100
i 1
PX
i
100
55
P
i 1
X
i
50
55 50
5
5
(1)
.
故应选(B).
二、填空题
1
9.
lim
x
1
ln(1 x)
(9)【答案】
1
.
x 0
e
.
1
【解析】
6
ln(1 x) e
x
1
1
1
lim
lim
x
x
0
e
x
1
ln(1
x)
x 0
e
1 ln(1 x)
1
2
x
lim
x
2
lim
x
2
x
2
1.
x 0
x
2
x 0
x
2
1x
1 x
2
x
2
2
10.
已知
x
t
1,
2
d
y
2
y ln(t t 1),
2
(10)【答案】
2
.
【解析】因为
dx
则
2
t 1
.
dt
2 t 1
t 1
d
2
y
d
dy
d dy
dt
dx
2
dx
dx
dt dx
dx
d
1
1
1
1
t
2
1
2
3
,
dt
t
dx
t
t
t
2
dt
t 1
2
2
d y
t
1
2.
故
2
dx
t 1
t
3
t 1
11. 设
y f ( x)
满足
f ( x ) af (x ) f (x )
0 (a 0), f (0)
m, f
(0)
0
f (x )dx
.
1
2t
dy
1
2
dy
t
1
2 t
2
1
t
2
1
1
dt
t
dx
dx
2t
t
t
,
1
22
n
,则
(11)【答案】
am
n
.
【解析】由已知,得
f (x )dx
0
0
f ( x ) af (x ) dx
f (x ) af (x)
0
.
7
当
0
a
2
时,
1,2
a 4 a
2
i
,故
2
4
a
2
4
a
2
x C
2
sin
f x e
2
C
1
cos
x ,
2
2
a
x
2
2
f
x
4 a
4 a
x C sin
e
2
C
1
cos
x
2
2
2
2
a
a
x
a
x
e
2
2
2
4 a
2
x
4 a
2
4 a
4 a
C sin C cos x ,
2
2
2
2
1
2
从而
lim
f ( x ) lim
f ( x) 0.
x
x
当
a
2
时,
1,2
1
,故
f x C
1
C
2
x e
x
,
xx
f x
C
1
C
2
x
e
C
2
e
,
f ( x)
0.
f ( x )
x
lim
从而
x
lim
当
a
2
时,
1,2
a
a
2
4
,故
2
f x C
1
e
a a
2
4
x
a a
2
4
x
2
C
2
e
2
,
2
a a 4
2
x
f x
a a 4
2
C
1
e
a a 4
x
2
2
a a
4
C
2
e
2
2
2
x
,
从而
lim
f ( x ) lim
f ( x) 0.
x
综上,
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
f
( x ) af ( x )
lim
0
0
x
2
f
xyxt
2
12.
f
(
x
,
y
)
0
e
dt
,则
.
x y
(1,1)
f (0) af (0)
am n.
(12)【答案】
4e
.
22
f
f
,又
f
【解析】因为
x y
y x
y
x
3
y
2
e
x xy
2
x
xe
,
从而
8
2
f
y
(1,1)
x
d
f
d x
y
y 1x 1
e x e 3x
x
1
33
xx
x
d
xe
dx
x 1
3
2
4e.
a
0
1
1
13. 行列式
0
a
1
1
1
1
1
1
a
0
0
a
.
(13)【答案】
a
2
a
2
4
.
【解析】
a
0
01 1
a
1 1
a a 0
0
0
a 0
0
0
1
1
1
a
0
1 0
a
a
1
1
1 1
a 0
0
0 a a
a 1
1
0
a 1
1
1 2
a 0
0
0
a a
a 2
a
0
a a
3
4a a
2
a
2
4 .
0
a
a
(14)设
X
服从区间
π
,
π
上的均匀分布,
Y
sin X
,则
cov X , Y
2
2
.
(14)【答案】
2
.
π
1
,
π
【解析】由题意
X
的概率密度为
f ( x)
π
x
2
π
,
2
0,
其他.
又
cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ),Y sin X ,
而
E ( X ) 0,
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )
2
π
x sin x
π
dx
π
0
2
x sin xdx
2
2
π
2
22
0
xd cos x
x cos x
|
0
0
cos xdx
π
π
π
2
π
2
2
sin x
|
.
π
π
0
2
π
9
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