关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

环保部标准样品2020考研数学(一)答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-30 21:57
tags:研究生入学考试, 高等教育

八月你好-西城男孩

2020年11月30日发(作者:丁声树)












2020 年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试题与参考答案

一、选择题

(1)当
x

0
时,下列无穷小量最高阶是
















t
3

dt .



(A)
0
x

e

t

2

1 d

t

.


(B)
0
x

ln 1


(C)
0
sin

x

sin

t

2

dt

.



(1)【答案】(D).




(D)
0
1 cos

x

sin t
2

dt .




xt
2
【解析】因为
lim


0
e

1 dt

lim


x 0
+


x
3


x
2



1

,
2

x 0
+


3 x
2


3


x 0
+


3 x

2
e
x
1


lim


x 0
时,

0
x

e

t

2

1 dt


x



3

阶无穷小;




x
因为
lim

0
ln 1

x 0
+





x
2


5




t
3

dt

lim

ln 1


x
3


lim


x
3



2

,


+









x 0

5







2



x

2




3



x 0
+

5





2



x
2



3

5







x




0
时,

0
x

ln 1
t
3
dt


x



2

阶无穷小;
5



































( )

22
sinx2
因为
lim

0
sin t dt

lim

sin sin x cos x

lim

sin
x

lim

x
2

1







x 0
+

x
3

x 0
+

3 x
2

x 0
+

3x
2

x 0
+

3

x
2

3
,


x
0
时,

0
sin

x
sin t
2
dt


x



3

阶无穷小;

1


x 0




+


t d t

x 0
+

lim

x 0
+



sin 1 cos x
2


1,



sin t
2

dt

lim


sin 1 cos x
2
sin x

因为
lim

0
1 cos x
0


1 cos x





1 cos x sin x


1 cos x



2









1 cos x

1

1

4

1

2
1 cosx
2


0
t dt


t




1 cos x


x


2


0


2



8
























x
0
时,

0
1 cos

x
sin t
2
dt


x



4

阶无穷小;

综上,
x



0
时,无穷小量中最高阶的是

0
1 cos

x
sin t
2
dt
.

故应选(D).



x 0


(2)设函数
f

x

在区间

1,1
内有定义,且
lim f

x

0,






(A)当
lim

f x


0
时,
f x


x

0

处可导.


x 0



x
















(B)当
lim

x 0

f

x

0
时,
f x


x

0

处可导.


x
2




x 0









(C)当
f x

x

0
处可导时,
lim

f x



0
.







x










(D)当
f x

x

0
处可导时,
lim

f

x


0
.





x 0
2

x

(2)【答案】(C).

【解析】


对于选项(A):取
f

x



对于选项(B):
f x
x
,满足已知,但
f x


x

0
处不可导,排除(A).

x 0,

x,

满足已知,但
f x


x

0

处不可导,排除(B).

0,

x 0,


对于选项(C):当
f

x


x

0
处可导时,
f

x


x

0
处连续,故



2

f 0 lim f

x 0,

f 0
存在,不妨设

f

0 lim




x 0


f x f 0

lim

f x

A,

x

x 0
x


x 0


lim

x 0

f x


lim


f x



x


0
.

同理可排除(D).



x


x 0


x


x



故应选(C).












f


f


(3)设函数
f x
在点
0, 0

处可微,
f 0, 0 0, n

,



x

y







, 1


,非零向量
d



0,0











n
垂直,则


(A)


0
存在.








lim



n


x , y , f



x , y










x , y0,0


x
2
y
2



0
存在.




















n


x , y , f



x , y








(B)
lim




x , y

0,0


x
2
y
2




d


x , y , f


x , y




0
存在.















(C)

lim


x , y

0,0


x
2
y
2




d


x , y , f



x , y




0
存在.















(D)



lim

x , y0,0





x
2
y
2


(3)【答案】(A).

【解析】因
f x
在点
0, 0
处可微,且
f 0, 0





0
,故

f x , y f 0, 0 f
x
0, 0 x f
y
0, 0 y x
2
y
2
,




f


f


因为
n

,

, 1

f
x
0, 0 , f
y
0, 0 , 1
,故

x


y



0,0




n







x , y , f x , y

f
x
0, 0 x f
y
0, 0 y f x , y x
2

y
2


3













lim


n x , y , f x , y



lim

x , y0,0




x
2
y
2



0.
故应选(A).




x , y0,0
x
2

y


2


n 1
x
2
y
2










(4) 设
R
为幂级数
a
n

x
n
的收敛半径,
r
是实数,则






(A)
a

n

r
发散时,


r

R
.


n 1

n







(B)
a

n

r
n
发散时,


r

R
.


n 1









(C)


r


R
时,

a

n

r
n

发散.


n 1









(D)


r


R
时,

a

n

r
n

发散.


n 1







(4)【答案】(A).











【解析】若
a
n
r
n

发散,则


r

R
,否则,若


r


R
,由阿贝尔定理知,

a

n

r
n


n 1



n 1

绝对收敛,矛盾. 故应选(A).

(5)若矩阵
A
经过初等列变换化成
B
,则

(A)存在矩阵
P
,使得
PA B.











(B)存在矩阵
P
,使得
BP

A.


(C)存在矩阵
P
,使得
PB
A.

(D)方程组
Ax

0

Bx

0
同解.


(5)【答案】(B).




【解析】
A
经过初等列变换化成
B
,相当于
A
右乘可逆矩阵
P
变成
B
,即存在

可逆矩阵
Q
,使得
AQ B
,得
BQ
1

A
.取
P Q
1

,则存在矩阵
P
,使得
BP

A.

故应选(B).


4



(6)已知直线
L

:

x a
2



1



a
1



y b
2


z c
2

与直线
L :

x a
3



2


c
1


b
1


a
2


y b
3


z c
3

相交于一


b
2


c
2


a
i


点,法向量
α b

, i 1, 2, 3
.则






i

i






















c


i



(A)
α
1
可由
α
2

,

α
3
线性表示.

(C)
α
3
可由
α
1

,

α
2
线性表示.

(B)
α
2
可由
α
1

,

α
3
线性表示.

(D)
α
1

,

α
2

,

α
3

线性无关.



(6)【答案】(C).













a
1


a
2


【解析】已知
L , L
相交于一点,故向,即
α ,


线性无关.

b




b


α

12













c


c



1


2

12
12




a
1

a
2

a
3
a
2


且有

b

, b

, b

b


,即
α , α

, α

α
线性相关.






c

c


1



1


c

2


2

c



3

2

3

2


12

3

1




α
1
, α
2
, α
3

线性相关,则
α
3

可由
α
1
, α
2

线性表示,且表示法唯一.

故应选(C).


(7)设
A,

B

,

C
为三个随机事件,且


P A

P B P C

1
4

,

P AB

0, P AC

P BC


(C)

1

.

1
12

,


A, B , C
恰有一个事件发生的概率为


(A)

3

.





(D)


5

.




4


(B)

2

.


3


2


12





(7)【答案】(D).


【解析】事件
A, B , C
中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发





5

生两个的概率表示,即
P ( ABC ABC ABC ) P ( A B C ) P ( AB AC

BC),


P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC)


P ( AB) 0
,故
P ( ABC) 0
,从而





P ( A B C)

3
4

0

12
1

12
1

0

12
7

,

P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( ABC )P ( AB AC BC ) P ( AB )
P ( ABC )

P ( ABC)



0
12

12
0
111
6
,


P ( ABC ABC ABC)
12


7 1
6 12
5

.

故应选(D).
1


,

2



(8)设
X

1

,

X

2

, ,

X
100
为来自总体
X
的简单随机样本,其中
P X

0

P X

1


100

i 1




x
表示标准正态分布,则利用中心极限定理可得
P
X
i




55
的近似值为(







(A)
11
.





0.2

.



(B)
1
.

(C)
1

(D)

0.2

.






(8)【答案】(B).


100

i 1













100

i 1




【解析】由中心极限定理知,
X
i

近似服从
N ( ,
2
)
,其中
E ( X
i
) 50



100
1 1

2
D
(

i1

X

) 100

2 2

25

i
,故






100

i 1

PX
i







100

55



P


i 1


X
i
50





55 50






5



5


(1)
.






故应选(B).




二、填空题




1


9.
lim


x




1



ln(1 x)


(9)【答案】

1
.

x 0

e






1



【解析】


6


ln(1 x) e
x

1

1


1
lim

lim


x

x

0

e
x
1




ln(1

x)

x 0

e

1 ln(1 x)


1


2












x


lim



x

2














lim

x
2

x
2

1.



x 0


x
2


x 0



x
2

1x

1 x


2

x
2



2









10.

已知

x

t
1,




2





d
y




2











y ln(t t 1),
2

















(10)【答案】
2
.

【解析】因为




dx




2




t 1











dt


2 t 1


t 1




d
2
y


d


dy


d dy


dt





dx
2


dx

dx

dt dx


dx




d


1

1


1


1


t
2
1




2


3


,




dt

t


dx



t


t


t



2

dt


t 1






2
2

d y


t

1

2.



2



dx

t 1


t

3




t 1


11. 设
y f ( x)
满足
f ( x ) af (x ) f (x )

0 (a 0), f (0)

m, f

(0)



0
f (x )dx





1


2t


dy

1
2
dy

t

1


2 t
2

1

t
2
1


1

dt


t

dx


dx


2t


t


t
,



1




22



n
,则

(11)【答案】
am

n
.

【解析】由已知,得


f (x )dx









0

0

f ( x ) af (x ) dx

f (x ) af (x)

0

.

7


0
a
2
时,

1,2

a 4 a
2
i
,故

2



4

a


2



4

a


2



x C
2
sin

f x e

2

C
1
cos

x ,


2


2



a

x


















2


2




f

x


4 a


4 a

x C sin

e

2

C
1
cos

x

2


2

2


2



a



a

x

















a

x

e

2







2



2


4 a


2





x
4 a


2


4 a


4 a


C sin C cos x ,
2

2

2

2

1

2






从而
lim

f ( x ) lim


f ( x) 0.
















x

x













a

2
时,

1,2

1
,故

f x C
1
C
2
x e
x
,
xx
f x

C
1
C
2
x
e
C
2
e

,

f ( x)

0.

f ( x )

x
lim
从而

x
lim




a
2

时,







1,2





a


a
2
4


,故



2


















f x C
1
e


a a
2
4

x


a a
2
4

x











2



C
2
e


2


,





2

a a 4

2




x



f x

a a 4





2



C
1
e
a a 4


x

2
2

a a

4

C
2
e

2



2
2


x

,








从而
lim

f ( x ) lim


f ( x) 0.



x






综上,



f ( x )d x


f ( x ) af ( x)


f

( x ) af ( x )




lim


0

0


x



2
f


xyxt
2
12.
f

(

x

,

y

)

0

e

dt
,则









x y


(1,1)





f (0) af (0)


am n.













(12)【答案】
4e
.


22
f



f


,又


f


【解析】因为


x y


y x


y





x
3
y
2







e
x xy
2

x
xe

,







从而


8








2




f

y
(1,1)
x

d

f


d x

y









y 1x 1
e x e 3x
x

1

33
xx


x


d

xe



dx


x 1

3




2

4e.



a

0

1

1





13. 行列式

0





a

1

1

1

1

1

1


a

0


0

a




(13)【答案】
a

2

a
2

4
.

【解析】



a

0



01 1


a

1 1

a a 0

0

0


a 0

0

0

1

1

1


a

0


1 0

a


a

1

1


1 1

a 0


0

0 a a


a 1
1

0

a 1

1

1 2

a 0


0

0

a a


a 2

a

0

a a
3
4a a
2
a
2
4 .

0

a

a






(14)设
X
服从区间





π


,

π


上的均匀分布,
Y


sin X
,则
cov X , Y








2


2























(14)【答案】

2

.
π

















1

,

π


【解析】由题意
X

的概率密度为
f ( x)

π

x

2


π

,


2







0,







其他.





cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ),Y sin X ,


E ( X ) 0,



π


1


2


π

E ( XY ) E ( X sin X )
2
π

x sin x

π

dx

π

0
2
x sin xdx



2



2






π



2
22
0
xd cos x

x cos x
|
0

0
cos xdx


π


π

π


2


π



2

2


sin x
|




.


π



π


0
2

π










9

严德海-全国学联


南京确定开学时间-summer钢琴谱


18岁的少年-数据管理


高速公路节假日免费-楼房


清华大学分数线2019-nl


康乃馨花语代表什么-长城电源


缅怀先烈的手抄报-大学生就业


恋恋风尘老狼-栖息



本文更新与2020-11-30 21:57,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/474419.html

2020考研数学(一)答案解析的相关文章