佛教小故事2007年考研数学一真题及答案

2020年11月30日发(作者：戈壁舟)
2007年考研数学一真题
一、选择题（1 10小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)当

时，与

等价的无穷小量是

(A)



(B)





(C)



(D)


【答案】B。
【解析】
当

时
































几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来
决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较
(2)曲线

渐近线的条数为


(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】D。
【解析】
由于







，



则 是曲线的垂直渐近线；
又





















所以 是曲线的水平渐近线；
斜渐近线：由于 一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在
∞一侧。






































































则曲线有斜渐近线 ，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点
及渐近线
(3)如图，连续函数 在区间



上的图形分别是直
径为1的上、下半圆周，在区间



上的图形分别是直径
为2的下、上半圆周，设







,则下列结论正确的是
(A)







(B)






(C)






(D)










【答案】C。
【解析】
【方法一】



-3 -2 -1 0 1 2 3
四个选项中出现的 在四个点上的函数值可根据定积分的几何
意义确定


































































则





【方法二】
由定积分几何意义知







,排除(B)
又由 的图形可知 的奇函数，则





为偶函数，

从而

















显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，
定积分的应用
(4)设函数 在 处连续，下列命题错误
的是
．．
(A)若

(B)若



存在，则












存在，则




(C) 若

(D) 若

【答案】D。
【解析】
存在，则




存在






存在，则




存在
(A)：若



存在，因为

,则

,
又已知函数 在 处连续，所以

,故




,(A)正确；
(B)：若







存在，则














,则



，故(B)正确。
(C)





存

在，

知



，则









则 存在，故(C)正确
(D)











存在













存在，
不能说明






例如



在 处连续，








存在，但是 不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(5)设函数 在 内具有二阶导数，且




,令


,则下列结论正确的是
(A)若



,则

必收敛 (B)若



,则

必发散
(C)若



,则

必收敛 (D)若



,则

必发散
【答案】D。
【解析】
【方法一】
图示法：由




，知曲线 是凹的，
显然，图1排除选项(A)，其中





；图2排除选项
(B)；图3排除选项(C),其中





；故应选(D)。


































O 1 2

O 1 2

O 1 2
图1 图2 图3
【方法二】
排除法：取





,显然在 ，




,








,但







，排除A；
取




在 上，




且







,但











,排除B；
取





在 上，




，且









,
但







，排除(C),故应选(D)。
【方法三】
由拉格朗日中值定理知



















当 时，





























由于




，且 ,则









从而有
















则有






综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点
及渐近线
(6)设曲线



(



具有一阶连续偏导数)，过第 象限内
的点 和第 象限的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列
小于零的是
(A)

(B)





(C)

(D)









【答案】B。
【解析】
设 的坐标分别为










，则由题设可得









因为








,









；





的弧长 ；






















综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性
质及计算
(7)设向量组





线性无关，则下列向量组线性相关的是
．．．．
(A)












(B)












(C)












(D)












【答案】A。
【解析】
(A)：因为

















,
所以向量组











线性相关；
(B)：







































因为





线性无关，所以判断











线性
无关

由于



(C)：




























同理











线性



，

无关；
(D)：


































，同理











线性无关；

综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关

(8)设矩阵














,则 与




,故知











线性无关；

(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似
(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
【答案】B。
【解析】
根据相似的必要条件:







，易得 和 肯定不相似，
合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。
由
















知矩阵 的特征值 .故二次型

的正惯性指数 ,负惯性
指数 ,而二次型

也是正惯性指数 ,负惯性指数 ，
所以 和 合同
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与
合同矩阵
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为
,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)

(B)


(C)



(D)




【答案】C。
【解析】
根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功和2次失

败，其概率为



,第4次试验成功，其概率为 ，所以此
人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为










综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—概率的基本公式，
事件的独立性，独立重复试验
(10)设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关，







分别表示 的概率密度，则在 的条件下， 的
条件概率密度




为
(A)




(B)


(C)






(D)

【答案】A。
【解析】
随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关，说明 与 相
互独立，且












在 的条件下，根据题目显然




的条件概率密度





为


















综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概 率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续
型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度， 随机变量的
独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）



(11)


















。
【答案】。
【解析】
【方法一】

































































【方法二】
令
,则



















































综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元
积分法与分部积分法
(12)设 是二元可微函数，



,则
【答案】










【解析】
利用复合函数的求导方式，可直接得出







。













综上所述，本题正确答案是









。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分
(13)二阶常系数非齐次微分方程





的通解为
。
【答案】









其中



为任意常数
【解析】
对应齐次方程的特征方程为







则对应齐次方程的通解为








设原方程特解为



,代入原方程可得










所以原方程的特解为




故原方程的通解为









其中



为任意常
数，
综上所述，本题正确答案是









其中



为
任意常数。
【考点】高等数学—常微分方程—简单的二阶常系数非齐次线性
微分方程





。 (14)设曲面











,则


【答案】



。


【解析】
由积分区域和被积函数的对称性有，









所以，













































故











。

综上所述，本题正确答案是