清朝四大奇案00年考研数学一真题及答案

2020年11月30日发(作者：焦光俊)
2006年考研数学一真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1)
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换：
当
所以
时，


。
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较

(2)微分方程
【答案】
【解析】
原式等价于
（两边积分）
即，为任意常数
。
的通解为__________。
，为任意常数。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(3)设是锥面的下侧，则
。
【答案】。
【解析】
设，取上侧，则


而

0
所以
综上所述，本题正确答案是。


【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性
质及计算
(4)点(2,1,0)到平面
【答案】
【解析】
点到平面的距离公式：

其中
所以

综上所述，本题正确答案是。
为点的坐标，为平面方程
。
的距离 。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到
直线的距离
(5)设矩阵
则
，为二阶单位矩阵，矩阵满足
___________。
，
【答案】2。
【解析】

因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间
___________。
【答案】。
【解析】
本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的
分布。
事件
上的均匀分布，则
又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四
个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的。）
(7)设函数具有二阶导数，且
分别为
，为自
变量 在点处的增量，与
微分，若
(A)
(C)
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数
所示的图
，则
在点处对应的增量与
(B)
(D)


单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下

由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得
于是

综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
的几何意义和物理意义
(8)设
(A)
(C)
【答案】C。
【解析】
如图所示，显然是型域，则原式
为连续函数，则
(B)
(D)
等于

，
，
即

综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本
性质和计算
(9)若级数收敛，则级数
(A)
(C)
收敛 (B)
收敛 (D)
收敛
收敛
【答案】D。
【解析】
由收敛知收敛，所以级数收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)设
是
项正确的是
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】D。
【解析】
本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数
的参数的值为则
消去得
整理得：
即
并记对应
，则
，则
，则
，则




与均为可微函数，且
在约束条件
。已知
下的一个极值点，下列选
,
若则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(11)设
确的是
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】A。
【解析】
【方法一】
因为
得
从而有
即
而是上式成立，说明
【方法二】
利用秩来求解，利用分块矩阵有

那么
由于
线性相关。
线性相关，故存在不全为零的数


不全为0
使
线性相关， 则
线性相关，则
线性无关，则
线性无关，则
线性相关
线性无关
线性相关
线性无关
均为维列向量，是矩阵，下列选项正
因为
从而
线性相关，有
故

线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量
组的秩
(12)设为 三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的
倍加到第2列得，记
(A)
(C )
(B)
(D)
，则


【答案】B。
【解析】
按已知条件，用初等矩阵描述有

所以
综上所述，本题正确答案是B
。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(13)设
(A)
(C)
为随机事件，且
(B)
(D)
,则必有


【答案】C。
【解析】
由，得到，又已知

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率
的基本公式
(14)设随机变量
且
(A)
(C)
(B)
(D)
服从正态分布服从正态分布
则必有


【答案】A。
【解析】
由于与的分布不同，不能直接判断和
的大小与参数的关系，将其标准化，就 可以方便
比较。
随机变量
且其概率密度函数为偶函数，故


同理
因为是单调增函数，当
。