售罄什么意思2008年考研数学一真题及答案

2020年11月30日发(作者：常宝华)
2008年考研数学一真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的 四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设函数,则的零点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
且
点
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(2)函数在点处的梯度等于


，则是唯一的零
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】

精选文库

所以
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(3)在下列微分方程中，以
为通解的是
(A)
(C)
【答案】D。
【解析】
由通解表达式
可知其特征根为
可见其对应特征方程为
故对应微分方程为
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线
性微分方程




(B)
(D)



-- 2
精选文库
(4)设函数
的是
( A)若
(B)若
(C)若
(D)若
在内单调有界，为数列，下列命题正确收敛，则
单调，则
收敛，则
单调，则
收敛
收敛
收敛
收敛
【答案】B。
【解析】
【方法一】
由于单调，单调有界，则数列
收敛。
单调有界，根据单
调有界准则知数列
【方法二】
排除法：若取
收敛，但
若取
敛，排除C和D。
,
，显然
,显然
,则显然单调，
不收敛，排除A。
收敛且单调，但不收
综上所述，本题正确答案是B。
-- 3
精选文库
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、
周期性和奇偶性，极限存在的 两个准则：单调有界准则和夹逼准
则
(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若
(A )
(B)
(C)
(D)
不可逆，
不可逆，
可逆，
可 逆，
不可逆
可逆
可逆
不可逆
,则
【答案】C。
【解析】
因为

所以可知可逆，可逆


综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分
必要条件
(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
-- 4
精选文库

在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，
则的正特征值的个数为
(A) (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B。
【解析】
所给图形为双叶双曲线，标准方程为

二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，
可知的正特征值的个数为1
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形
(7)设随机变量独立同分布，且的分布函数为
的分布函数为
(A)
(C)
(B)
(D)


,则
-- 5
精选文库
【答案】A。
【解析】


综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量
的独立性和不相关性，两个及两个以上随 机变量简单函数的分布
(8)设随机变量
(A)
(C)
【答案】D。
【解析】
由相关系数的性质可知：
如果
可得
已知
又
则必有

,所以,得

,且相关系数
(B)
(D)
,则



-- 6
精选文库

而
所以
即



综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函
数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)微分方程
【答案】。
【解析】
分离变量 得,l两边积分有
满足条件的解是 。

利用条件，，解得
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程
-- 7
精选文库
(10)曲线
【答案】
【解析】
先求曲线在点
等式
处的斜率

在点处的切线方程是 。
两端对求导得

在上式中，将代入可得
即
。
所以曲线在该点处的切线方程为
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微 分学—导数的几何意义和物理意
义
(11)已知幂级数
则幂级数
【答案】
【解析】
由题设可知，幂级数在处收敛，在处
。
在处收敛，在处发散，
的收敛域为 。
-- 8
精选文库
发散,即
对于幂级数
时，幂级数收敛。
，则收敛区间为

又幂级数
所以对于幂级数
综上所述，本题正确答 案是
在处收敛，在
收敛域为
。
。
处发散，
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
(指开区间)和收敛域
(12)设曲面是的上侧，则
。
【答案】
【解析】
补曲面
则

,取下侧，记
。
-- 9
精选文库




综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用，两类曲 面积分的概念、性质及计算
(13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，
，则的非零特征值为 。
【答案】1。
【解析】
【方法一】
定义法：由

可得矩阵的特征值为
【方法二】
-- 10
，因此的非零特征值为。
精选文库
矩阵相似：

可知
征值为
，的特征值易得为，所以可得矩阵的特
，因此的非零特征值为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和
特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质

(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则
。
【答案】
【解析】由已知，有
所以
综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变
量及函数的数字特征
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
,所以


-- 11
精选文库
程或演算步骤。
(15)（本题满分9分）
求极限
【解析】
【方法一】
（等价无穷小代
换）


（洛必达法则）
（）


换)

【方法二】


(等价无穷小代
（等价无穷小代换）
（变量代换
（洛必达法则）
）
-- 12