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普京简介考研数学一-401

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-30 22:42
tags:研究生入学考试, 高等教育

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2020年11月30日发(作者:吴西)
考研数学一-401
(总分:150.01,做题时间:90分钟)
一、选择题 (总题数:8,分数:32.00)
1.曲线y=(x-1) (x-3) 的拐点个数为______.
(分数:4.00)
A.0
B.1
C.2 √
D.3
解析:[考点] 导数的几何应用.
[解析] 利用y的符号即可判别.
解:y +2(x-1) (x-3),y -12x+11)=0.
解得y的两个根,且两根两侧二阶导数符号都变号.
故应选C.
2.设函数y=y(x)由参数方程
A.
B.
C.
D.

(分数:4.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:[考点] 变限函数及参数方程求导数.
[解析] 利用参数方程求导法直接求导数即可.
解:由所给参数方程,得

2
当x=9时,由9=x=1+2t 知t=2(因为t>1),则

故应选B.
3.直线l:x-1=y=1-z在平面π:x-y+2z-1=0上的投影直线l
0
的方程为______.
A.
B.






(t>1)所确定,则 =______.
222
22
C.
D.



(分数:4.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:[考点] 平面方程与直线方程.
[解析] 先求出过直线l且与已知平面π垂直的平面π
1
的方程,然后由平面π
1
与两面π的方程即可
得直线l
0
的方程.
解法一:设经过l且垂直于平面π的平面方程为
π
1
:A(x-1)+By+C(z-1)=0,
则由条件可知
A-B+2C=0,A+B-C=0,
由此解得A:B:C=-1:3:2,
于是π
1
的方程为
x-3y-2z+1=0.
从而l
0
的方程为

解法二:由于直线l方程可写为

所以过l的平面方程可设为
x-y-1+λ(y+z-1)=0,
即x+(λ-1)y+λz-(1+λ)=0.
由它与平面π垂直,得
1-(λ-1)+2λ=0,
解得λ=-2.
于是经过l且垂直于π的平面方程为
x-3y-2z+1=0.
从而l
0
的方程为

故应选A.
4.设级数收敛,则级数______.
(分数:4.00)
A.敛散性不定
B.条件收敛
C.发散
D.绝对收敛 √
解析:[考点] 数项级数敛散性判别.
[解析] 由级数收敛的必要条件推出
解:因为级数 收敛,故 ,即
,再由正项级数的比较判别法推导
,于是有 ,又因为级数
收敛.
收敛,所以
收敛,即
故应选D.
绝对收敛.
5.设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则下列命题中.
①若A可逆,则B可逆; ②若A+B可逆,则B可逆;
③若B可逆,则A+B可逆; ④A-E恒可逆.
正确的有______个.
(分数:4.00)
A.1
B.2
C.3
D.4 √
解析:[考点] 矩阵可逆性的判别.
[解析] 命题①、②、③是借助行列式来判别,而④是利用定义来判别.
解:由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A,若A可逆,则B可逆,即①正确.
若A+B可逆,则|AB|=|A+B|≠0,则|B|≠0,即B可逆,②正确.
由于A (B-E)=B,|A||B-E|=|B|,若B可逆,则|A|≠0,即A可逆,从而A+B=AB可逆,③ 正确.
对于④,由AB=A+B,可得(A-E)(B-E)=E,故A-E恒可逆.
故应选D.
6.设3维列向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,γ
1

1

2

3
,γ
2
=3α
1

2
,γ
3
=4α
1

3
,γ
4
=2α
1
-2α
2

3
,则向量组γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
的秩为______.
(分数:4.00)
A.1
B.2 √
C.3
D.4
解析:[考点] 向量组的秩.
[解析] 利用γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
与α
1
,α
2
,α
3
之间的线性表示关系求解.
解:
由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,A可逆,所以,r(B)=r(C)

故r(B)=r(C)=2.
故应选B.
7.设X为随机变量,若矩阵
(分数:4.00)
A.X服从区间[0,2]的均匀分布 √
B.X服从二项分布B(2,0.5)
C.X服从参数为1的指数分布
D.X服从正态分布
解析:[考点] 考查重要分布.
[解析] 利用特征值概念以及重要分布的性质做判断.
解:由
布时成立.
故应选A.
,其特征值全为实数的概率为P(2 -4X≥0)=P(X≤1)=0.5, 可见当X服从[0,2]上均匀分
2
的特征值全为实数的概率为0.5,则______.
8.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,
(分数:4.00)
A.事件A和B互不相容
B.事件A和B互相对立
C.事件A和B互不独立
D.事件A和B相互独立 √
解析:[考点] 考查独立性.
,则______.
[解析] 利用条件概率公式及独立定义得结论.
解:因为

即 ,
,所以
,所以
由条件概率公式得

所以A和B相互独立.
故应选D.
二、填空题(总题数:6,分数:24.00)
9.设曲线y=f(x)与y=x -x在点(1,0)处有公共切线,则

(分数:4.00)
解析:-2 [考点] 导数的几何意义与导数定义.
[解析] 利用有公共切线求出f(1)、f,再利用导数定义求出极限值.
解:因为曲线y=f(x)与y=x -x在点(1,0)处有公共切线,所以f(1)=0,f,从而知

故应填-2.
10.极限

(分数:4.00)
解析:
面考虑.
解:因为

因此可看成把[0,1]分成n等份,小区间长度为
的值,因此

,而 可视为函数ln(1+x)在分点 上
,取其对数,得
[考点] 数列极限.

2
2

[解析] 显然乘积(n+1)(n+2)…(n+n)无法表达,若简化放大、缩小却得不到相同的极 限,只能往定积分方
所以,
故应填
11.设



,则 在点 处的值为 1.
(分数:4.00)
解析: [考点] 多元复合函数求偏导数值.
的坐标代入即可. [解析] 先由函数关系式求出一阶、二阶偏导函数,再将点
解:

于是
故应填

(分数:4.00)
解析:-4i-2xj+k [考点] 旋度计算.
[解析] 直接利用旋度公式即可.
解:由旋度公式得

故应填-4i-2xj+k.
13.设

(分数:4.00)
解析: [考点] 伴随矩阵的定义和求解.


22

12.向量场A=(x -y)i+4zj+x k的旋度为 1.
,那么行列式|A|所有元素的代数余子式之和为 1.
[解析] 先求伴随矩阵A*,进而求得A*所有元素之和,即为|A|的所有代数余子式之和.
解:由于A*=(A
ij
),只要能求出A的伴随矩阵,就可求出
因为A*=|A|A ,而
又由分块矩阵求逆,有

从而

故应填 .
,故
-1

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