普京简介考研数学一-401

2020年11月30日发(作者：吴西)
考研数学一-401
(总分：150.01，做题时间：90分钟)
一、选择题 (总题数：8，分数：32.00)
1.曲线y=(x-1) (x-3) 的拐点个数为______．
（分数：4.00）
A.0
B.1
C.2 √
D.3
解析：[考点] 导数的几何应用．
[解析] 利用y的符号即可判别．
解：y +2(x-1) (x-3)，y -12x+11)=0．
解得y的两个根，且两根两侧二阶导数符号都变号．
故应选C．
2.设函数y=y(x)由参数方程
A．
B．
C．
D．

（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[考点] 变限函数及参数方程求导数．
[解析] 利用参数方程求导法直接求导数即可．
解：由所给参数方程，得

2
当x=9时，由9=x=1+2t 知t=2(因为t＞1)，则

故应选B．
3.直线l：x-1=y=1-z在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线l
0
的方程为______．
A．
B．






(t＞1)所确定，则 =______．
222
22
C．
D．



（分数：4.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：[考点] 平面方程与直线方程．
[解析] 先求出过直线l且与已知平面π垂直的平面π
1
的方程，然后由平面π
1
与两面π的方程即可
得直线l
0
的方程．
解法一：设经过l且垂直于平面π的平面方程为
π
1
：A(x-1)+By+C(z-1)=0，
则由条件可知
A-B+2C=0，A+B-C=0，
由此解得A:B:C=-1:3:2，
于是π
1
的方程为
x-3y-2z+1=0．
从而l
0
的方程为

解法二：由于直线l方程可写为

所以过l的平面方程可设为
x-y-1+λ(y+z-1)=0，
即x+(λ-1)y+λz-(1+λ)=0．
由它与平面π垂直，得
1-(λ-1)+2λ=0，
解得λ=-2．
于是经过l且垂直于π的平面方程为
x-3y-2z+1=0．
从而l
0
的方程为

故应选A．
4.设级数收敛，则级数______．
（分数：4.00）
A.敛散性不定
B.条件收敛
C.发散
D.绝对收敛 √
解析：[考点] 数项级数敛散性判别．
[解析] 由级数收敛的必要条件推出
解：因为级数 收敛，故 ，即
，再由正项级数的比较判别法推导
，于是有 ，又因为级数
收敛．
收敛，所以
收敛，即
故应选D．
绝对收敛．
5.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中．
①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A+B可逆； ④A-E恒可逆．
正确的有______个．
（分数：4.00）
A.1
B.2
C.3
D.4 √
解析：[考点] 矩阵可逆性的判别．
[解析] 命题①、②、③是借助行列式来判别，而④是利用定义来判别．
解：由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A，若A可逆，则B可逆，即①正确．
若A+B可逆，则|AB|=|A+B|≠0，则|B|≠0，即B可逆，②正确．
由于A (B-E)=B，|A||B-E|=|B|，若B可逆，则|A|≠0，即A可逆，从而A+B=AB可逆，③ 正确．
对于④，由AB=A+B，可得(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆．
故应选D．
6.设3维列向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，γ
1
=α
1
+α
2
-α
3
，γ
2
=3α
1
-α
2
，γ
3
=4α
1
-α
3
，γ
4
=2α
1
-2α
2
+α
3
，则向量组γ
1
，γ
2
，γ
3
，γ
4
的秩为______．
（分数：4.00）
A.1
B.2 √
C.3
D.4
解析：[考点] 向量组的秩．
[解析] 利用γ
1
，γ
2
，γ
3
，γ
4
与α
1
，α
2
，α
3
之间的线性表示关系求解．
解：
由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，A可逆，所以，r(B)=r(C)

故r(B)=r(C)=2．
故应选B．
7.设X为随机变量，若矩阵
（分数：4.00）
A.X服从区间[0，2]的均匀分布 √
B.X服从二项分布B(2，0.5)
C.X服从参数为1的指数分布
D.X服从正态分布
解析：[考点] 考查重要分布．
[解析] 利用特征值概念以及重要分布的性质做判断．
解：由
布时成立．
故应选A．
，其特征值全为实数的概率为P(2 -4X≥0)=P(X≤1)=0.5， 可见当X服从[0，2]上均匀分
2
的特征值全为实数的概率为0.5，则______．
8.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，
（分数：4.00）
A.事件A和B互不相容
B.事件A和B互相对立
C.事件A和B互不独立
D.事件A和B相互独立 √
解析：[考点] 考查独立性．
，则______．
[解析] 利用条件概率公式及独立定义得结论．
解：因为
，
即 ，
，所以
，所以
由条件概率公式得

所以A和B相互独立．
故应选D．
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9.设曲线y=f(x)与y=x -x在点(1，0)处有公共切线，则

（分数：4.00）
解析：-2 [考点] 导数的几何意义与导数定义．
[解析] 利用有公共切线求出f(1)、f，再利用导数定义求出极限值．
解：因为曲线y=f(x)与y=x -x在点(1，0)处有公共切线，所以f(1)=0，f，从而知

故应填-2．
10.极限

（分数：4.00）
解析：
面考虑．
解：因为

因此可看成把[0，1]分成n等份，小区间长度为
的值，因此

，而 可视为函数ln(1+x)在分点 上
，取其对数，得
[考点] 数列极限．

2
2

[解析] 显然乘积(n+1)(n+2)…(n+n)无法表达，若简化放大、缩小却得不到相同的极 限，只能往定积分方
所以，
故应填
11.设

．
．
，则 在点 处的值为 1．
（分数：4.00）
解析： [考点] 多元复合函数求偏导数值．
的坐标代入即可． [解析] 先由函数关系式求出一阶、二阶偏导函数，再将点
解：

于是
故应填

（分数：4.00）
解析：-4i-2xj+k [考点] 旋度计算．
[解析] 直接利用旋度公式即可．
解：由旋度公式得

故应填-4i-2xj+k．
13.设

（分数：4.00）
解析： [考点] 伴随矩阵的定义和求解．

．
22
；
12.向量场A=(x -y)i+4zj+x k的旋度为 1．
，那么行列式|A|所有元素的代数余子式之和为 1．
[解析] 先求伴随矩阵A*，进而求得A*所有元素之和，即为|A|的所有代数余子式之和．
解：由于A*=(A
ij
)，只要能求出A的伴随矩阵，就可求出
因为A*=|A|A ，而
又由分块矩阵求逆，有

从而

故应填 ．
，故
-1
．
．