日本景点介绍考研数学一-88

2020年11月30日发(作者：吉联抗)
考研数学一-88
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、解答题(总题数：45，分数：100.00)
1.设

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]

2.设f(x)满足方程

（分数：2.00）
___________ __________________________________________________ _____________________________
正确答案：()
解析：[解]
令
即
则原式



其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|，求解f(x)并证明它是奇函数．
求f(x)．
由上述联立的方程组，得

又因为 所以f(x)为奇函数．
3.设f(x)满足关系式

其中φ(x)当x≠1时是有定义的已知函数，求f(x)．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]
令

即
则


解由上述等式联立的方程组，得

4.设f(x)在x=0附近有界，且满足方程

（分数：2.00）
_ __________________________________________________ _______________________________________
正确答案：()
解析：[解]

将以上诸式相加，得

因为当n→∞时，
所以
求f(x)．
又f(x)在x=0附近有界，
求f(x)．
5.设f(x)为多项式，且

（分数：2.00）
___________________________ __________________________________________________ _____________
正确答案：()
解析：[解]由
又由 可知
可知应设f(x)=2x +x +bx+c．

32
可得c=0．
于是
32
故f(x)=2x +x +3x．
6.已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]
求f(x)．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()

且满足 求f(x)．
7.已知 f(x)在(-∞，+∞)上有定义，f存在，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)，恒有f(x+y)=f(x )+f(y)+2xy，
解析：[解]由于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy， ①
令y=0，则f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0．由①可得

对y→0时，对上式取极限，于是有

即f．
积分得f(x)=f +C．
将f(0)=0代入上式
8.求满足下列方程
的可微函数f(x)．

（分数：2.00）
___________________________ __________________________________________________ _____________
正确答案：()
解析：[解]因为
所以原方程

C=0，故f(x)=f ．
2
2
两边对x求导，得

x
再对x求导，得f，积分得f(x)=Ce ．
又由②可得，f(0)=1，代入上式
9.已知

（分数：2.00）
______________________________________________ ____________________________________________
正确答案：()
解析：[解]因为
两边对x求导，得

故
所以原方程
C=1，于是所求函数为f(x)=e ．
x
且f存在，求解f(x)．
10.设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程

求解f(x)．

（分数：2.00）
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正确答案：()
解析：[解]方程两边对x求导，得

当x＞0时，有

又当f(x)=0时， x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
积分得
即
11.设f(x)在(-∞，+∞)内具有连续导数，且满足
求f(x)．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]显然f(0)=0，因为f(t)为偶函数，因此只需求出t＞0时f(t)的表达式．
当t≥0时，
3

3
fπt f(t)+4t ．
解出满足初值条件f(0)=0的一阶线性方程，得

故在(-∞，+∞)内，
12.已知f(x)是连续函数且满足方程
求f(x)．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]

13.设f(u)在(-∞＜u＜+∞)内可导，且f(0)=0，
又

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]令lnx=t，则x=e ，

t
求f(x)在(-∞，+∞)上的表达式．
当t≤0时，f(t)=t+C
1
，当t＞0时，
由原函数的连续性有

又f(0)=0，所以C
1
=0=2+C
2

故

C
1
=0，C
2
=-2，
14.设函数y=f(x)由

（分数：2.00）
确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且 求函数ψ(t)．
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正确答案：()
解析：[解]由题设可得
于是
又

即

两边再次积分得
将

即 两边积分得

所以

ψ代入上两式得C
1
=0，C
2
=0，于是
[解析] 根据参数方程的求导公式和已知条件联立建立微分方程，然后求解即得．
15.设

f二阶可导，且 求f(x)(其中a＞0，b＞0)．
（分数：2.00）
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正确答案：()
解析：[解]

因为
令

所以
则

再令 即

解联立方程组①，②得

故
16.设

（分数：2.00）
_______ __________________________________________________ _________________________________
正确答案：()
解析：[解]令

同理
于是

原方程
2

具有连续的二阶偏导数，且满足 试求函数u的表达式．
则u=u(r)．

特征方程为λ +1=0，λ=±i，
非齐次方程的一个特解
故，方程①的通解为

17.设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫
L
2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对
任意t恒有
求Q(x，y)．

（分数：2.00）
___________________________ __________________________________________________ _____________
正确答案：()
解析：[解]由曲线积分与路径无关的条件有

Q(x，y)=x +C(y)，其中C(y)为待定函数．
又

由题设条件有
2


两边对t求导，得
2t=1+C(t)，
2
C(t)=2t-1，从而C(y)=2y-1，
2
故Q(x，y)=x +2y-1．
18.设f(x)具有二阶连续导数，f( 0)=0，f，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f y]dy=0为一个全微
分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]方程为全微分方程的充要条件
即x +2xy-f(x)=f
2
2

2
f ，
特征方程为λ +1=0，λ=±i，非齐次方程的一个特解为

2
故f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x -2．
将f(0)=0，f代入求出C
1
=2，C
2
=1，
于是f(x)=2cosx+sinx+x -2．
原方程 [xy -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x y)dy=0，利用分项组合法
22
2

19.求具有连续二阶导数的函数f(x)，使

其中L为xOy平面上第一象限内任一光滑闭曲线，且f(1)=f．

（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解]因为L为xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线，又

于是，该曲线积分与路径无关，因而

即

t
于是，令x=e ，t=lnx，有
[D(D-1)+D]f=te ，
D f=te 。
特征方程为λ =0，λ
1，2
=0．
设f 为非齐次方程的一个特解，则

*
2
2t
t
故，欧拉方程的通解为f=C
1
+C
2
t+(t-2)e ，
于是f(x)=C
1
+C
2
lnx+(lnx-2)x，
将f(1)=f代入，得C
1
=2，C
2
=1，故
f(x)=2+lnx+(lnx-2)x．
20.设f(x)在[a，b]上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且


（分数：2.00）
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正确答案：()
解析：[证]引入参数t，考查f．
由题设知，上式在[a，b]上对任何实数t都不能恒为“0”，事实上，若不然，假设有实数t，
使得
f
于是求得方程的通解为
由f(a)=f(b)=0
与假设
于是
即
2
t
证明

f(x)≡0，因此，
2
矛盾，故[f ]＞0，


所以关于t的二次三项式的判别式必小于零．即 因为t 的系数

亦即

21.设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证


（分数：2.00）
______________________ __________________________________________________ __________________
正确答案：()
解析：[解]因为|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是

故
< br>22.设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)， 证明在(a，b)内至少存在
一个ξ，使fξ)＞0．