提高速度考研数学复习资料

2020年11月30日发(作者：鲁德馨)
考研数学复习


第一章 函数与极限 (7天)

微积分中研究的对象是函数。函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。极限是微积
分的理论基础，研究函数实质上是研究各种类型极限。无穷小就是极限为零的变量，极限方
法的重要部分 是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析。我们研究的对象是连续函数或除
若干点外是连续的函数。

日期 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一周 2.5－3.5
小时
函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶1．理解函数的概念， 掌
函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、握函数的表示法，并会建
初等函数具体概 念和形式. 习题1－1：4，5，7，8，立应用问题中的函数关
9，13，15，18 系.
数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号
2．了解函数的有界性、
性 ) P26(例1,例2)P27(例3)习题1－2：1，3，4，
单调性、周期性和奇偶
5，6
性．
函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、
极限的唯一性、函数极限的 函数局部有界性,函数极
3．理解复合函数及分段
了解反函数
限与数列极限的关系等） P33(例4,例5)P35(例7)
函数的概念，
及隐函数的概念．
习题1－3：1，2，4，6，7，8
无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与4．掌握基本初等函数的
极限的关系习题1－4：1，2，4，5，6，7
性质及其图形 ，了解初等
极限的运算法则(6个定理以及一些推论)P46(例3,
函数的概念.
例4),P47(例6),习题1－5：1，2，3
两个重要极限（要牢记在心，要注意极限 成立的条
件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存
在问题（夹逼定理、单调有界数列 必有极限），利
用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求
递归数列的极限
P51(例1)习题1－6：1，2，4
5．理解极限的概念，理
解函数左极限与右 极限
的概念，以及函数极限存
在与左、右极限之间的关
系．
6．掌握极限的性质及四
则运算法则.
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
无穷小阶的概念（同阶 无穷小、等价无穷小、高阶
无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其
7．掌握极限存在 的两个
并会利用它们求极
重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确
准则，掌握利用两个重要极
定方法 P57(例1)P58(例5)习题1－7：1，2，3，4
限，
限求极限的方法．
函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断
点 与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性
的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连8．理 解无穷小量、无穷
续性）和间断点的类型。例1－例5习题1－8：2，大量的概念，掌握无穷小
3，4，5 量的比较方法，会用等价
无穷小量求极限．
2.5－3.5连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,
小时 商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数
9．理解函数连续性的概
的连续性) 例4－例8 习题1－9：1，2，3，4，5
念（含左连续与右连续），
2.5－3小理解 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最
会判别函数间断点的类
时 小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明
型．
根的存在是非常重要的一种方法).
10．了解连续函数的性质
例1－例2，习题1－10：1，2，3，4，5
和初等函数的连续性，理
解闭区间上连续函数的
3.5小时 总复习题一：1，2，8，9，10，11，12
性质（有界性、最大值和
2小时 本章测试题－ 检验自己是否对本章的复习合格(合
最小值定理、介值定理），
格成绩为80分 以上)，如果合格继续向前复习，如
并会应用这些性质．
果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的
内容进行复习或者到总部答疑。

第二章：导数与微分(6天)

一元函数的导数是一类特 殊的函数极限，在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率，在
力学上路程函数的导数就是速度，导数有鲜 明的力学意义和几何意义以及物理意义。函数的
可微性是函数增量和自变量增量之间关系的另一种表达形 式。函数微分是函数增量的线性主
要部分。
日期
第二周
学习时间 复习知识点与对应习题
2.5－3.5
小时
大纲要求
2.5－3.5
小时
导数的定义、几何意义、力学意义，单侧与双侧1. 理解导数 和微分的
可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，概念，理解导数与微分
经常会出现在 选择题中），函数的可导性，导函的关系，理解导数的几
数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定 义何意义，会求平面曲线
求导及其适用的情形，利用导数定义求极限. 会求的切线方程和法线方
平面曲线的切线方程和法线方程. 程，了解导数的物理意
义，会用导数描述一些
例3－例7 习题2－1：6，7，9，11，14，15，
物理量，理解函数的可
16，17
导性与连续性之间的
复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合
关系．
函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法
则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），
分段函数求导法
2．掌握导数的四则运
算法则和复合函数的
求导法则，掌握基本初< br>了
例－例17 习题2－2：2，3，4，7，8，9，1012)
等函数的导数公式 ．
解微分的四则运算法
高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，2.5－3.5
小时 用莱布尼兹法则）
例1－例7 习题2－3：2，3，4，7，8，9
则和一阶微分形式的
不变性，会求函数的微
分．
3．了解高阶导数的概
念，会求简单函数的高
阶导数．
4．会求分段函数的 导
数，会求隐函数和由参
数方程所确定的函数
以及反函数的导数.
2.5－3.5
小时
由参数方程确定的函数的求导法，变限积分的求
导法，隐函数的求导法
例1－例10 习题2－4：2，4，7，8，9，11
2.5－3.5
小时
函数微分的定义，微分运算法则，一元函数微分
学的简单应用
例1－例6 习题2－5：1，2，3，4，5，6，
2.5－3.5
小时
2小时
总复习题二：1，2，3，5，6，9，11，13
第二章测试题 检验自己是否对本章的复 习合格
(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，
如果不合格总结自己的薄弱点还要 针对性的对本
章的内容进行复习或者到总部答疑。

第三章：微分中值定理与导数的应用（8天）

连续函数是我们研究的基本 对象，函数的许多其他性质都和连续性有关。在理解有关定
理的基础上可以利用导数判断函数单调性、凹 凸性和求极值、拐点，并体现在作图上。微分
学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。

日期 学习时
间
复习知识点与对应习题 大纲要求
第三周 2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
2. 5－
3.5小
微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗1．理解并会用罗尔
尔定理及其几何意义，拉格郎日定理及其几何意义、(Rolle)定理、拉格朗
柯西定理及其几何意义 ）例1，习题3－1：1－15 日(Lagrange)中值定
理和泰勒(Taylor)定
洛比达法则及其应用 例1－例10，习题3－2：1－4
理，了解并会用柯西
(Cauchy)中值定理．
泰勒中值定理，麦克劳林展开式 例1－例3 习题3－
2．掌握用洛必达法
3：1－7，10
则求未定式极限的
方法．
求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进
3．理解函数的极值
线（选择题及 大题常考）例1－例12 习题3－4：4，
概念，掌握用导数判
5，8，9，11，12，14
断函数的单调 性和
函数的极值,(一个必要条件,两个充分条件),最大最小
求函数极值的方法，
值 问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问
时 题有关的综合题 例1－例6 习题
3-5:1,4,5,6,7,10,11,14
2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
2.5－
3.5小
时
简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断< br>图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一
4．会用导数判断函
元函数的最值问 题（三种情形）。例1－例3 习题3
数图形的凹凸性，会
－6：1－5
求函数图形的拐点
曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题 例1－例
以及水平、铅直和斜
3,习题3－7：1－8
渐近线，会描绘函数
的图形．
方程的近似解法 例1－例2 习题3－8：2，3
5．了解曲率和曲率
半径的概念，会计算
曲率和曲率半径．
掌握函数最大值和
最小值的求法及其
简单应用．
总结本章知识点，总复习题三：1－12，19
2小时 第三章测试题 检验自己是否对本章 的复习合格(合格
成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不
合格总结自己的薄弱点 ，还要针对性对本章的内容进
行复习或者到总部答疑。
第四章：不定积分（7天）

积分学是微积分的主要部分之一。函数积分学包括不定积分和定积分两部分 。在积分的
计算中，分项积分法，分段积分法，换元积分法和分部积分法是最基本的方法。
日期 学习时
间
复习知识点与对应习题 大纲要求
第四周 2.5－3.5原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定
小时 义，之间的关系，求不定积分 与求微分或导数的关
系），基本的积分公式，原函数的存在性，原函数的
几何意义和力学意义例 1－例16 习题4－1：1
1．理解原函
数概念，理解
不定积分的
概念．
2.5－3.5不定积分的换元积分法，第二类换元法 例1－例27
2．掌握不定
小时
积分的基本
2.5－3.5不定积分的计算 习题4－2：2(1－20)
公式，掌握不
小时
定积分换元
积分法与分
2.5－3.5不定积分的计算 习题4－2：2(21－40)
部积分法．
小时
2.5－3.5不定积分的分部积分法 例1－例10 习题4－3：1
小时 －20
3．会求有理
2.5－3.5有理函数积分法，可化为有理函数的积分，例1－例函数、三角函
小时 8 习题4－4：5－20 数有理式及
简单无理函
2.5－3.5不定积分计算，总复习题四：1－20
数的积分．
小时
2.5－3.5不定积分计算 总复习题四：21－40
小时
2小时 总结本章，做第四章单元测试题 检验自己是否对本
章的复习合格(合 格成绩为80分以上)，如果合格继续
向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点，还要针对
性的 对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第五章： 定积分(6天）
日期
第五周
学习时间
2.5－3.5
小时
复习知识点与对应习题 大纲要求
定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的71．理解原函数概念，
个性质) 理解定积分的概念．
习题5－1：2，3，5，6，7，8 2．掌握定积分的基本
公式，掌握定积分的
微积分的基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿
性质及定积分中值定
－莱布尼兹公式 例1－例8 习题5－2：1－5
理，掌握换元积分法
习题5－2：6－12
与分部积分法．
3．会求有理函数、三
定积分的换元法与分布积分法 例1－例10 习题
角函数有理式及简单
5－3：1
无理函数的积分．
习题5－3：2－11
4．理解积分上限的函
数，会求它的导数，
反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常积分
掌握牛顿－莱布尼茨
例1－例5 习题：5－4：1－3
公式．
反常积分的审敛法 例1－例8 习题5－5：1－3
5．了解广义反常积分
的概念，会计算广义
反常积分．
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2小时
总复习题五：1－11 12，13
总结本章，做第五章单元测试题 检验自己是否对
本章的复习合格(合格成绩为80分以上)， 如果合
格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点，
还要针对性的对本章的内容进行复习或 者到总部
答疑。
第六章：定积分的应用(4天)
日期
第六周
学习时间 复习知识点与对应习题
2.5－3.5
小时
定积分元素法 一 元函数积分学的几何应用（求平
面曲线的弧长与曲率，求平面图形的面积，求旋
转体的体积，求 平行截面为已知的立体体积，求
旋转面的面积）例1－例14
大纲要求
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
1. 掌握用定积分表
达和计算一些几何
量与 物理量（平面图
形的面积、平面曲线
的弧长、旋转体的体
定积分应用的一些计算 习题6－2：1－15
积及侧面积、平行截
面面积为已知的立
定积分的几何应用相关计算 习题6－2：16－30
体体积、功、引力、
压力、质心等）及函
定积分的物理应用 （用定积分求引力，用定积分
数的平均值等．
求液体静压力，用定积分求功）。综合题目的求
解。
例1－例5 习题6－3：1－5
2.5－3.5
小时
2.5－3.5
小时
2小时
定积分的物理应用 定积分综合题目求解 习题6
－3：6－12
总复习题六：1－9
总结本章，做第六章单元测试题 检验自己是否对
本章的复习合 格(合格成绩为80分以上)，如果合
格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点，
还要针 对性对本章的内容进行复习或者到总部答
疑。
第七章:向量代数和空间解析几何(4天)
向量的各种运算及与偏导数几何应用的结合;平面、直线方程的建立及位置关系,曲面、
曲线方 程在多元函数微积分中的应用。
日期 学习时
间
第六2.5－
周— 3.5小
时
第七
周
2.5－
3.5小
时
2.5－
复习知识点与对应习题 大纲要求
向量及其线性运算(向量概念,向量的线 性运算,1.理解空间直角坐标系，理
空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,解向量的概念及其 表示.
向量的模、方向、投影)
2.掌握向量的运算（线性运
例1－例8 习题7－1： 11.12.13.15.17.18.19 算、数量积、向量积、混合
积），了解两 个向量垂直、
数量积,向量积,混合积(向量的数量积,向量的
平行的条件.
向量积)
例1－例7习题7－2:3,4,6,9,10
曲面方程 旋转曲面、柱面、二次曲面。旋转轴
3.理解单位向量、方向数与
方向余弦、向量的坐标表达