美在身边2007年考研数学一真题及参考答案

2020年11月30日发(作者：房思瑜)
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2007年考研数学一真题
一、选择题（110小题，每小题4分，共4 0分。下列每题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的。）
(1)当时，与等价的无穷小量是

(A)
(C)
(B)
(D)


【答案】B。
【解析】
时


几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2)曲线
(A)0(B)1
(C)2(D)3
【答案】D。
【解析】
由于
渐近线的条数为
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，
则
又
是曲线的垂直渐近线；


所以是曲线的水平渐近线；
一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在





则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
一侧。 斜渐近线：由于
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(3)如图，连续函 数
半圆周，在区间
在区间上的图形分别是直径为1的上、下
上的图形分别是直径为2的 下、上半圆周，设
,则下列结论正确的是
(A)
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(B)
(C)
(D)

【答案】C。
【解析】
【方法一】
四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定




则
【方法二】
由定积分几何意义知
又由的图形可知
,排除(B)
的奇函数，则

显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用
(4)设函数
(A)若
在处连续，下列命题错误
的是
．．

为偶函数，从而

-3-2-10123





存在，则
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(B)若
(C)若
(D)若
【答案】D。
【解析】
(A)：若
所以
(B)：若
故(B)正确。
(C)
则
(D)
不能说明
例如在
存在
处连续，
不存在，故命题(D)不正确。
存在，知
存在，故(C)正确
存在，
，则
存在，因为
,故
存在，则
,则
,(A)正确；
,则，
,又已知函数在处连续，
存在，则
存在，则存在
存在

存在，则
存在，但是
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下
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列结论正确的是
(A)若
(C)若
,则
,则
必收敛(B)若
必收敛(D)若
,则
,则
必发散
必发散
【答案】D。
【解析】
【方法一】
图示法：由，知曲线是凹的，
；图2排除选项(B)；图3排除选显然，图1排除选项(A)，其中
项(C),其中

；故应选(D)。




图1图2图3




【方法二】
排除法：取
O12
,显然在
，排除A；
O12

，
O12
,

,但
取
除B；
取
在上，且,但,排
在上，，且,但
，排除(C),故应选(D)。
【方法三】
由拉格朗日中值定理知

当时，

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由于，且,则

则有
从而有
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(6)设曲线(具有 一阶连续偏导数)，过第象限内的点和第象限
的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是
(A)
(C)
【答案】B。
【解析】
设的坐标分别为

因为
,
；
；

综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算
(7)设向量组
(A)
线性无关，则下列向量组线性相关
的是
．．．．

，则由题设可得
(B)
(D)


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(B)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】
(A)：因为
所以向量组
(B)：
线性相关；
,





因为线性无关，所以判断线性无关
由于
(C)：
,故知线性无关；

，同理
(D)：
线性无关；

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，同理
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
线性无关；
(8)设矩阵
(A)合同，且相似(B)合同，但不相似
,则与
(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似
【答案】B。
【解析】
根据相似的必要条件:，易得和肯定不相似，
合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。
由

知矩阵 的特征值
次型
.故二次型的正惯性指数,负惯性指数,而二
也是正惯性指数,负惯性指 数，所以和合同
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵
(9)某人向同一目 标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为
第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)
(C)
(B)
(D)


,则此人
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【答案】C。
【解析】
根据独立重复的伯努 利试验，前3次试验中有1次成功和2次失败，其概率为
,第4次试验成功，其概率为，所以此人第4次 射击恰好第2次命中
目标的概率为

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—概率的基本公式，事件的独立性，
独立重复试验
(10)设随机变量
概率密度，则在
(A)
(C)
【答案】A。
【解析】
随机变量服从二维正态分布，且与不相关，说明与相互独立，且

在的条件下，根据题目显然

综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率 论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概
率密度、边缘概率密度和条件密度，随 机变量的独立性和不相关性，常用二维随
机变量的分布
的条件概率密度为
(B)
(D)
服从二维正态分布，且与不相关，
的条件下，的条件概率密度为
分别表示的
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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(11)。
【答案】。
【解析】
【方法一】



【方法二】
令,则


综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积
分法
(12)设
【答案】
【解析】
利用复合函数的求导方式，可直接得出

是二元可微函数，

,则。
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综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分
(13)二阶常系数非齐次微分方程
【答案】
【解析】
对应齐次方程的特征方程为

则对应齐次方程的通解为
设原方程特解为

,代入原方程可得
其中
的通解为
为任意常数
。

所以原方程的特解为
故原方程的通解为
综上所述，本题正确答案是

其中为任意常数，
其中为任意常数。
【考点】高等数学—常微分方程—简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
(14)设曲面
【答案】
【解析】
由积分区域和被积函数的对称性有，

所以，
故

。
,则。