水蚁考研数学三真题及答案

2020年11月30日发(作者：郑嘉颖)
2011年考研数学三真题

一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒 体给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)已知当
(A)
(C)
【答案】C。
【解析】
【方法一】
(洛必达法则)
(洛必达法则)
(

由此得。
)
时，与是等价无穷小，则


(B)
(D)
【方法二】
由泰勒公式知


则

故
【方法三】
。






故
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则
(2)已知
(A)
(C)
在处可导，且,则


(B)
(D)0
【答案】B。
【解析】
【方法一】加项减项凑处导数定义



【方法二】拆项用导数定义

由于，由导数定义知

所以
,则 【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数

而对于
(B)
【方法四】由于在处可导，则


,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选


综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数
和微分的四则运算
(3)设
(A)若
(B)若
(C)若
(D)若
【答案】A。
【解析】
若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛
收敛，则
收敛，则
是数列，则下列命题正确的是
收敛，则
收敛，则
收敛。
收敛。
收敛。
收敛。

综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条
件
(4)设
关系为
(A)
(C)
(B)
(D)

,则的大小
【答案】B。
【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大
小，
由于当
又因为为
时，
上的单调增函数，所以


,
故
即


综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(5)设为3阶矩阵，将第2 列加到第1列得矩阵,再交换的第2
行和第3行得单位矩阵，记

(A)
(C)
(B)
(D)
,,则


【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初
等矩阵
按题意，
从而
所以
，从而


【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵
(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组
的通解为

的3个线性
无关的解，
(A)
(C)
(D)
【答案】C。
【解析】
因为
那么
从而
显然
由于
又
为任意常数，则
(B)


是非齐次线性方程组
是
即
，因此
的3个线性无关的解，
的2个线性无关的解。

知(A),(B)均不正确。
，所以是方程组的解
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应
的齐次线性方程组(导出组)的 解之间的关系，非齐次线性方程组
的通解
(7)设与为两个分布函数，其对应的概率密度与
是连续函数，则必为概率密度的是
(A)
(C)
【答案】D。
【解析】
判断函数
(1)
是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：
(B)
(D)


满足是概率密度的充要条件
和
或者
与
,而为分布函数
也是分布函
(2)
由于
数，而
为两个分布函数，显然

综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量 分
布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度
(8)设总体的服从参数为的泊松分布 ，
和
为
来自该总体的简单随机样本，则对于统计量
,有
(A)
(C)
(B)
(D)


【答案】D。
【解析】
,所以，
可求得
而
所以
，


,

相互独立均服从
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的
分布，总体个体，简单随机样本
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)设
【答案】
【解析】
,则
。
。


综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算
(10)设函数
【答案】
,则 。
。
【解析】由，可得



所以

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念
与计算
(11)曲线
【答案】
【解析】
方程= 两端对求导得
。
=在点处的切线方程为 。

将代入上式，


故所求切线方程为
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函< br>数的微分法，平面曲线的切线与法线
(12)曲线直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所
成的旋转体的体积为 。
【答案】
【解析】
由旋转体公式得

综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
(13)设二次型
则在正交变换
【答案】
【解析】
的各行元素之和为3，即

的秩为1，的各行元素之和为3，
下的标准形为 。