冥王星天蝎考研数学二-406 (1)

2020年11月30日发(作者：黄子华)
考研数学二-406
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、填空题(总题数：4，分数：8.00)
1.二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
-2x
2
)2+4x
2
x
3
的矩阵为 1．

（分数：2.00）
解析：
2.设

（分数：2.00）
解析： [解析] 令

β
3
=α
3
，
[解析] 因为，所以
，则α
1
，α
2
，α
3
经过施密特正交规范化后的向量组为 1．
正交规范化的向量组为
3.设二次型

（分数：2.00）
解析：
4.设

（分数：2.00）
的秩为2，则a= 1．
[解析] 该二次型的矩阵为，因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得．
为正定二次型，则t的取值范围是 1．
解析：t＞2[解析] 二次型的矩阵为
得t＞2．
，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，，|A|＞0，解< br>二、选择题(总题数：9，分数：27.00)
5.设A，B为n阶可逆矩阵，则______．
A．存在可逆矩阵P
1
，P
2
，使得
B．存在正交矩阵Q
1
，Q
2
，使得
-1
为对角矩阵
为对角矩阵
C．存在可逆矩阵P，使得P (A+B)P为对角矩阵
D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

（分数：3.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] 因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．
6.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是______．
（分数：3.00）
A.A无负特征值
B.A是满秩矩阵
C.A的每个特征值都是单值
D.A*是正定矩阵 √
解析：[解析] A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，A不对；
若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都
是正数，B不对；
C既不是充分条件又不是必要条件；
显然D既是充分条件又是必要条件．
7.下列说法正确的是______．
（分数：3.00）
A.任一个二次型的标准形是唯一的
B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 √
解析：[解析] A不对，如f=x
1
x
2
，．令
值相同；
C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；
选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．
8.设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X AX与X A X______．
（分数：3.00）
A.规范形与标准形都不一定相同
B.规范形相同但标准形不一定相同 √
C.标准形相同但规范形不一定相同
D.规范形和标准形都相同
解析：[解析] 因为A与A 合同，所以X AX与X A X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是
同一个二次型也有多种标准形，选B．
9.设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是______．
（分数：3.00）
A.可逆矩阵
B.实对称矩阵 √
C.正定矩阵
D.正交矩阵
解析：[解析] 因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得P AP=A，从而A=(P ) AP =(P )
T
TT-1-1-1
-1TT-1
TT-1
，则 ；若令 则 < br>B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征< br> AP ，A =[(P ) AP ] =(P ) AP =A，选B．
-1T-1T-1T-1T-1
10.设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则 ______．
（分数：3.00）
A.A，B合同
B.A，B相似
C.方程组AX=0与BX=0同解
=rB √
解析：[解析] 因为P可逆，所以rA=rB，选D．
11.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是______．
（分数：3.00）
=rB
B.|A|=|B|
C.A～B
D.A，B与同一个实对称矩阵合同 √
解析：[解析] 因为A，B与同一个实对称矩阵 合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性
指数相同，从而A，B与
12. 设
合同，选D．
，则A与B______。
（分数：3.00）
A.相似且合同
B.相似不合同
C.合同不相似 √
D.不合同也不相似
解析：[解析] 由|λE-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值 为1，1，-1，所以A与
B合同但不相似，选C．
13.设A，B为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题：
(1)A～B；(2 )A，B合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为______．
（分数：3.00）
A.1个
B.2个 √
C.3个
D.4个
解析：[解析] 因为A，B的特征值为-2，1，1．所以|A|=|B|=-2，又因为 rA=rB=3，所以A，B等价，但A，
B不一定相似或合同，选B．
三、解答题(总题数：14，分数：65.00)
14.用配方法化二次型

（分数：3.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：()
解析：[解] 令，即X=PY，其中
为标准形．
则
为标准二次型．
15.用配方法化二次型

（分数：3.00）
___________ __________________________________________________ _____________________________
正确答案：()
解析：[解]
令 或
，
，即X=PY，其中
T
则
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中（分数：6.00）
(1).求正交变换X=QY将二次型化为标准形；（分数：3.00）
_________ __________________________________________________ _______________________________
正确答案：()
解析：[解] 由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+rB≤3，
因为 rB=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于2重，显然λ=-1不可能为三重特征值 ，
则A的特征值为λ
1
=λ
2
=-1，λ
3
=5．
由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=0的解，
故
令
T
为λ
1
=λ
2
=-1对应的线性无关解．
为λ
3
=5对应的特征向量，
，即


，解得 因为A =A，所以
令 ，规范化得
令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)，则
(2).求矩阵A．（分数：3.00）
_______________________ __________________________________________________ _________________
正确答案：()
解析：[解] 由得
为标准二次型． 16.用正交变换法化二次型

（分数：3.00）
__________________________________________________ ________________________________________
正确答案：()
解析：[解] f(x
1
，x
2
，x
3
)=X AX，其中
由
T

得λ
1
=-3，λ
2
=λ
3
=3．
由(-3E-A)X=0得λ
1
=-3对应的线性无关的特征向量为
由(3E-A)X=0得λ
2
=λ
3
=3对应的线性无关的特征向量为
将α
2
，α
3
正交化得
令
则
设二次型


的秩为2．（分数：6.00）
，单位化得


(1).求a．（分数：3.00）
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正确答案：()
解析：[解] ，因为二次型的秩为2，所以rA=2，从而a=2．
(2).用正交变换法化二次型为标准形．（分数：3.00）
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正确答案：()