if什么意思数学考研大纲(数一

2020年11月30日发(作者：冀上之)

数学考研大纲(数一)公共课

2010数一与2009数一相比 无变化

2009年考研数学大纲内
容 数一
高等数学
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、
周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数
和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等
函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左
极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其
关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限
的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准
则和夹逼准则 两个重要极限:
，
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数
的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建
立应用问题的函数关系.


2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶
性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函
数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初
等函数的概念.
5．理解极限的概 念，理解函数左极限与右极限
的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关
系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求
极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷
小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），
会判别函数间断点的类型．
1 0．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，
理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值
和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

二、一元函数微分学
考试内容


导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义
函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的
切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等
函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参
数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶
微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达
（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的
极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图
形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率
的概念 曲率圆与曲率半径
考试要求
1 .理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关
系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线
方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导
数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性
之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导
法则，掌握基本初等函数的导 数公式．了解微分
的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求
函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶
导数．


4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数
方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日
(Lagrange)中值定理和泰勒(Tay lor)定理，了解
并会用柯西(Cauchy)中值定理．
6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函 数
的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值
和最小值的求法及其应用．
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区
间 内，设函数 具有二阶导数。当 时， 的图形
是凹的；当 时， 的图形是凸的），会求函数图
形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函
数的图形．
9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计
算曲率和曲率半径．


三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质
基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积


分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一
莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 不定积分和
定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、
三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常
（广义）积分 定积分的应用
考试要求
1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分
的概念．
2 ．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和
定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分
法 与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理
函数的积分．
4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握
牛顿－莱布尼茨公式．
5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物 理
量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体
的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体 体
积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的
平均值．



四、向量代数和空间解析几何
考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和
向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件
两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单
位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲
线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平
面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、
垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面
柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形
空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐
标面上的投影曲线方程
考试要求
1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表
示.
2.掌握向量的运算（线性 运算、数量积、向量积、
混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.
3.理解单位向量、 方向数与方向余弦、向量的坐
标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方
法.
4.掌握平面方程和直线方程及其求法.


5．会求平面与平面、平面 与直线、直线与直线
之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平
行、垂直、相交等）解决 有关问题.
6．会求点到直线以及点到平面的距离.
7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.
8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单
的柱面和旋转曲面的方程.
9. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空
间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线
的 方程.

五、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函
数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续
函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微
分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、
隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度
空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线
二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条
件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应
用


考试要求
1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何
意义.
2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界
闭区域上连续函数的性质.
3．理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求
全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条
件，了解 全微分形式的不变性.
4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算
方法.
5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏
导数.
7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平
面和法线的概念，会求它们的方程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握
多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极
值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用
拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数
的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问
题.



六、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积
分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与
路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两
类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分
的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes)
公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面
积分的应用
考试要求
1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积
分的性质，了解二重积分的中值定理. 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐
标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.
3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积
分的性质及两类曲线积分的关系.
4．掌握计算两类曲线积分的方法.
5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径
无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.


6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面
积分的关系，掌握计算两 类曲面积分的方法，掌
握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托
克斯公式计算曲线积分.
7．了解散度与旋度的概念，并会计算.
8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几< br>何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面
积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引< br>力、功及流量等）.

七、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和
的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几
何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的
判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数
的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与
和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间
（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数
在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函
数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅
里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷


（Dirichlet）定理 函数在 上的傅里叶级数 函
数在 上的正弦级数和余弦级数
考试要求
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的
和的概念，掌握级数的基 本性质及收敛的必要条
件.
2．掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件.
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判
别法，会用根值判别法.
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.
5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念
以及绝对收敛与收敛的关系.
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数
的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. < br>8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和
函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一< br>些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出
某些数项级数的和.
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.


10．掌握 、 、 、 及 的麦克劳林（Maclaurin）
展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂
级数.
11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定
理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，
会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级
数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

八、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程
齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利
（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变
量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分
方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些
常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非
齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方
程的简单应用
考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件
和特解等概念.


2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分
方程的解法．
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方
程，会用简单的变量代换解某些微分方程
4．会用降阶法解下列形式的微分方程： ．
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，
并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方< br>程.
7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、
余弦函数以及它们的和与积的 二阶常系数非齐
次线性微分方程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
线性代数
一、行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）
展开定理
考试要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．


2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展
开定理计算行列式．

二、矩阵
考试内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方
阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵
的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随
矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩
阵的等价 分块矩阵及其运算
考试要求
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩
阵、对角矩阵、三角矩 阵、对称矩阵和反对称矩
阵，以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及 它们
的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式
的性质.
3．理解逆矩阵的概 念，掌握逆矩阵的性质，以
及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概
念，会用伴随矩阵求 逆矩阵．


4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的
性质和矩阵 等价的概念，理解矩阵的秩的概念，
掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
5．了解分块矩阵及其运算．

三、向量
考试内容
向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量
组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无
关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩
阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 维
向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量
的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规
范正交基 正交矩阵及其性质
考试要求
1．理解 维向量、向量的线性组合与线性表示的
概念．
2．理解向量组线性相关 、线性无关的概念，掌
握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别
法．
3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩
的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩