思念家乡的歌考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)

2020年12月1日发(作者：滕倪)

高 等 数 学
考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）
第一章 函数与极限 (7天)（考小题）


学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：映射函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与1．理解函数的概
与函数 偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反念，掌握函数的表
(一般章节) 函数、初等函数具体概 念和形式.（集合、映射示法，并会建立应
不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看） 用问题中的函数
习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，
15，16（重点）
第二节： 数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、
关系.
2．了解函数的有
界性、单调性、周
期性和奇偶性．
3．理解复合函数
及分段函数的概
念，了解反函数及
隐函数的概念．
4．掌握基本初等
第三节： 函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号
函数的性 质及其
图形，了解初等函
数的概念.
5．理解极限的概
念，理解函数左极
限与右极限的概
函数的极限 性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,
(一般章节) 函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例
5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理
4不用看）
习题1－3：1，2，3，4
第四节：
无穷大与无
数列的极限 保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲
(一般章节) 不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3 ，定
理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4
不用看）
习题1－2：1
无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及
念，以及函数极限
与极限的关系（无穷 小重要，无穷大了解）
穷小（重要） （例2不用看，定理2不用证明）
习题1－4：1，6
第五节：
极限的运算
极限的运算法则(6个定理以及一些推论)
（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）
存在与左、右极限
之间的关系．
6．掌握极限的性
质及四则运算法
则.
7．掌握极限存在
的两个准则，并会
利用它们求极限，
法则（掌握） （定理 1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的
证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)
习题1－5：1，2，3，4,5（重点）
第六节：
极限存在准
两个重要 极限（要牢记在心，要注意极限成立的
条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明
掌握利用 两个重
要极限求极限的
方法．
8．理解无穷小量、
无穷大量的概念，
掌握无穷小量的
比较方法，会用等
价无穷小量求极
限．
则（理解） 两个 重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定
两个重要极理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求< br>限（重要） 数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的
极限（准则1的证明理解，第一个重 要极限的证
明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯
西存在准则不用看）
P51(例1)习题1－6：1，2，4
第七节：
无穷小的比
无穷小阶的 概念（同阶无穷小、等价无穷小、高
9．理解函数连续
阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无 穷小（尤
性的概念（含左连
较（重要） 其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质
续与右连续），会
和确定方法（定理1,2的证明理解）
P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做
第八节：
函数的连续
性与间断点
判别函数间断点
的类型．
了解连续函数函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间
10．
断点与第二类间断点），判断函数的 连续性（连
的性质和初等函
理解
续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函
数的连续性，
闭区间上连续函
（重要，基本数的连续性）和间断点的类型。
必考小题） 例1－例5习题1－8：1，2，3，4，5（重点） 数的性质（有界
第九节：
连续函数的
运算与初等
函数的连续
连续函数的运算与初等函数的连续性(包括 和,
差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续
性,初等函数的连续性) （定理3,4的证明不用
看）
性、最大值和最小
值定理、介值定
理），并会应用这
些性质．
性（了解） 例4－例8 习题1－9：1，2，3，4，5，6（重点）
第十节：
闭区间上连
续函数的性
理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值
最小值定理, 零点定理与介值定理(零点定理对
于证明根的存在是非常重要的一种方法).（一致
质（重要， 不连续性不用看）例1－例2
单独考大题，习题1－10：1，2，3，5（要会用5题的结论）
但考大题特
别是证明题
会用到）
总复习题一：除了7，8，9以外均做，
3,5,11,14（重点）
本章测试题－ 检验自己是否对本章 的复习合格
(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复
习，如果不合格总结自己的薄弱点 还要针对性的
对本章的内容进行复习或者到总部答疑。



自我小结
第二章 导数与微分(6天)（小题的必考章节）


学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节: 导数的定义、几何意义、物理意义（数三不1. 理解导数和微分的
概念，理解导数与微分导数的概念作 要求，可不看，数三要知道导数的经济意
（重要） 义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，的关系 ，理解导数的几
可导与连续之间的关系（非常重要，经常会何意义，会求平面曲线
出现在选择题 中），函数的可导性，导函数,的切线方程和法线方
奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定
义求导及其适用的情形，利用导数定义求极
限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程.
（导数定义年年必考）例1－例6
程，了解导数的物 理意
义，会用导数描述一些
物理量，理解函数的可
导性与连续性之间的
习题2 －1：3,4,5，6，7,8，11，15，16，17，关系．
18,19,（重点）20
第二节： 复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复
2．掌握导数的四则
函数 的求导合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微
运算法则和复合函数
法则 分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导
的求导法则，掌握基
（考小题） 法），分段函数 求导法（基本求导法则与求导
本初等函数的导数公
公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，
式．了解微分的四则
例1，17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8
运算法则和 一阶微分
重点做）
形式的不变性，会求
习题2－2：除2,3,4,12不用做，其 余全做，
函数的微分．
13,14重点做
第三节：
高阶导数
3．了解高阶导数的概
高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，
念，会求简单函数的用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）
高阶导数．
（重要，考例1－例7 习 题2－3：5,6,7，11不用做，
4．会求分段函数的导
的可能性很其余全做，4,12重 点做
大）
数，会求隐函数和由
参数方程所确定的函
第四节： 由参数方程 确定的函数的求导法（数三不用数以及反函数的导
隐函数及由看），变限积分的求导法，隐函数的求导法 （相数.
参数方程所关变化率不用看）例1－例10
确定的函数习题2－4：9,10, 11,12均不用做，数三
的导数（考5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做
小题）
第五节： 函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意
函数的微分 义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不
（考小题） 作要求）
例1－例6 习题2－5：5,6,7,8，9,10，11,12
均不用做，其余全做
自我小结 总复习 题二：4,10,15,16,17,18均不用做，
其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不 用做
12,13
第二章测试题

第三章 微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节

学习内容
第一节：
微分中值定
复习知识点与对应习题 大纲要求
微分中值定理及其应用（费马定理及其 几何意1．理解并会用罗尔
义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及(Rolle)定理、拉格理（最重要，其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个朗日(Lagrange)中
与中值定理
应用有关的
证明题）
定理要会证明，及其重要） 值定理和泰勒
例1，习题 3－1：除了13,15不用做，其余全(Taylor)定理，了
部重点做 解并会用柯西
第二节：洛
必达法则
（重要，基
本必考）
第三节：
泰勒公式
（掌握其应
用）
第四节：
函数的单调
性与曲线 的
凹凸区间
洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，(Cauchy)中值定
重要 ） 理．
例1－例10，习题3－2：全做，1,3,4重点做 2．掌握用洛必达法
则求未定式极限的
泰勒中值定理，麦克劳林展开式
（可不看公式的证明）
例1－例3 习题3－3：8,9不用做，其余全做
10（1）（2）（3）重点做
求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、
渐近线（选择题及大题会用到）例1－例12
习题3－4：3（1）（2）（5）,5（1）（2），
8（1）（2），9（1）（3）（5 ），10（2）不
方法．
3．理解函数的极值
概念，掌握用导数
判断函数的 单调性
和求函数极值的方
法，掌握函数最大
值和最小值的求法
及其简单应用．
4．会用导数判断函
数图形的凹凸性，
会求函数图形的拐
点以及水平、铅直< br>和斜渐近线，会描
（考小题） 用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做
第五节：
函数极值与
最大值最小
值（考小题
为主）
函数 的极值(一个必要条件,两个充分条件),
最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最
值问题 ，与最值问题有关的综合题
例5,6,7不用看 习题3-5:1（2）（3）（6）
绘函数的图形．
（9）8,9,10,11,12,13 ,14，15,16均不用做，
5．了解曲率和曲率
其余全做
半径的概念，会计
第六节：
函数图形的
简单了解利用导数作函数图形（一般 出选择题
算曲率和曲率半
及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要
径．
描绘（重要） 熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。
例1－例3 习题3－6：2－5
第七节：
曲率（数三
曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题
（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸
不作要求，
仅数一、数
二要求）
第八节：方
程近似解
（不用看）
自我小结
线不用看）
例1－例3,习题3－7：1－6


总复习题三：数一、数二全做，数三 15不用
做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11
（3），12,17 ,18,20重点做
第三章测试题 总结


第四章 不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）

学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：不定原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各1．理解原函数概
积分的 概念与自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分念，理解不定积分
性质（重要） 或导数的关系），基本的积分公式，原函数的概念．
的存在性，原函数的几何意义和力学意义（数2．掌握不定积分
三不作要求）
例1－例16 习题4－1：1，2,3,4,6
第二节：换元不定积分的换元积分法，第二类换元法
积分法（重要，例1－例27
第二类换元积习题4－2：1,2（1）（2）（3）（8）（9）
分法更为重
要）
（10）（13）（25）均不用做，其余全做
的基本公式，掌握
不定积分换元积
分法与分部积分
法．
3．会求有 理函数、
三角函数有理式
及简单无理函数
第三节：分部不定积分的分部积分法
积分法
（考研必考）
第四节：有理有理函数积分法，可化为有理函数的积分，
函数积分
（重要）
第五节:积分
表的使用
（不用看）
自我小结 总结本章
例1－例8 习题4－4：1－24
不定积分计算
总复习题四：1－40

例1－例10 习题4－3：1－24
的积分．


第五章 定积分(6天）（重要，考研必考）
学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：定积定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积1．理解 原函数概念，
分的概念与分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分理解定积分的概念．
2．掌握定积分的基
本公式，掌握定积分
性质（理解） 中值定理要会证明)
（定积分近似计算不用看）
习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做， 其的性质及定积分中
余全做，5,11,12重点做
第二节：微积微积分的基本公式 积分上限函数及其导数
分基本公式
（重要）
（极其重要，要会证明） 牛顿－莱布尼兹
公式（重要，要会证明）
例5不用做，例6极其重要，记住结论 习
值定理，掌握换元积
分法与分部积分法．
3．会求有理函数、
三角函数有 理式及
简单无理函数的积
题5－2：6（1）（2）（4）（5）（6）（7）,7,8分．
均不用做，其余全做，2数三不做，9（2），4．理解积分上限的
10,11,12,13重 点做
第三节：定积定积分的换元法与分部积分法
分的换元积
分法与分部
积分法（重
例1－例10 例5，例6，例7，例12经典例
题，记住结论
习题5－3：1（1）（2）（3）（6）（ 12）
函数，会求它的导
数，掌握牛顿－莱布
尼茨公式．
5．了解广义反常积
分的概念，会计算广
义反常积分．
要，分部积分（14）（15）（16），7（1）（3）（8）（9）
法更为重要） 不用 做，其余全做，重点做1（4）（7）（17）
（18）（25）（26）,2,6,7（7）（10） （12）
（13）
第四节：反常反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常
积分（考小
题）
积分 例1－例5
习题：5－4：全做，3题结论记住
第五节：反常总复习题五：1（3），2（3）（4）（ 5）,15,16
积分的审敛不用做，其余全做，重点做3,5,7,8,9,10
法（不用看 ） （1）（2）（3）（8）（9）（10）,13,14,17
自我小结

总结本章
第六章 定积分的应用(4天)（考小题为主）
学习内容
第一节：定
积分的元素
法（理解）
复习知识点与对应习题
定积分元素法

大纲要求
1. 掌握用定积分
表达和计算一些几
何量与物理量（平
面图形的面积、平
面曲线 的弧长、旋
第二节：定
积分在几何
学上的应用
（面积最重
要） 一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧
转体的体积及侧面
长与曲率（仅数一看），求 平面图形的面积，
积、平行截面面积
求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体
为已 知的立体体
积(数三不作要求)，求旋转面的面积定积分的
积、功、引力、压
几何应用 相关计算
力、质心等）及函
定积分应用的一些计算 习题6－2：数一全
数的平均值等．
做；数二、数三21-30不用做
第三节：定
积分在物理
定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积
分求液体静压力，用定积分求 功）。综合题目
学上的应用 的求解。（数三不用看，数一数二了解）
（数三不用
看，数一数
二了解）
自我小结
例1－例5 习题6－3：数一、数二做
总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三
只做3，4,5
总结本章

第七章 常微分方程 (9天)（本章对数二相对重要，必考章节）

学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：微微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解， 1．了解微分方程及其
分方程基
本概念
例1、2、3、4，（例2数三不用看） 阶、解、通解、初始条
2．掌握变量可分离的
微分方程及一阶线性
微分方程的解法．
3．会解齐次微分方程、
伯努利方程和全微分
习题7-1：1（3）（4），2（2） （4），3（2），件和特解等概念.
（了解） 4（2）（3），5
第二节：可可分离变量的微分方程的概念及其解法
分离变量
的微分方
程（理解）
例1、2、3、4，（例2,3,4数三不作要求）
习题7-2：1，2
第三节：齐一阶齐次微分方程的形式及其解法
次方程 （例2不用看，可化为齐次的方程不用看）
（理解） 习题7－3：1，2
第四节：一一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数一考，记
阶线性微
分方程
（重要，熟
记公式）
第五节：可全微分方程（会求全微分方程）
降解的高
阶微分方
程（仅数
一、数二
考，理解）

会用降阶法解下列微分方程：
，例1—6
习题：7-5：数三不用做、数一数二只做1,2
和
住公式即可），
例1，3，4，习题7-4：1，2，3，8仅数一做
方程，会用简单的变量
代换解某些微分方程．
4．会用降阶法解下列
微分方程：
和.
5．理解线性微分方程
解的性质及解的结构．
6．掌握二阶常系数线
性微分 方程的解法，并
会解某些高于二阶的
常系数齐次线性微分
方程.
7．会解自 由项为多项
式、指数函数、正弦函
解、通解）（二阶线性微分方程举例不用看；常
的和 与积的二阶常系
数非齐次线性微分方
程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决
一些简单的应用问题．
习题7-6：1，3,4
第 六节：高线性微分方程解的结构（重要）（微分方程的特数、余弦函数以及它们
阶线性微
解）
分方程（理数变易法不用看）定理1,2，3,4重点看
第七节：常特征方程，微分方程通解中对应项
系数齐次
线性微分
方程（最重
要，考大
题）
第八节：常会 解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余
系数非齐
次线性微
弦函数以及它们的和与 积的二阶常系数非齐次
线性微分方程
例1，2，3，6，7（例4,5不用做）
习题7－7：1，2
分方程（最例1－4，（例5不用看）
重要，考大习题7－8：1，2,6重点做
题）
第九节：欧欧拉方程的通解
拉方程（仅习题7－9：数一只做5,8
数一考，了（第十节不用看）
解）
自我小结 总复习题十二：1（1）（2）（4），2（2），3
（1）（3）（5）（7）（ 8），4（3）（4），5，
7,8，10 其中8,10仅数一做

第八章 空间解析几何和向量代数(4天)（仅数一考，考小题，了解）

学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：向量概念,向量的线性运算,空间直角坐理解空间直角坐标 系，理解
向量及其标系,利用坐标作向量的线性运算,向量向量的概念及其表示.
线性运算 的模、方向、投影
例1－例8 习题7－1：
第二节： 向量的数量积,向量的向量积
数量积,
向量积,
混合积
第三节： 曲面方程 旋转曲面、柱面、二次曲面。
曲面及其旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常
方程 用的二次曲 面方程及其图形,空间曲线
的参数方程和一般方程,空间曲线在坐
标面上的投影曲线方程)
例1－例5 习题7－3：，8，9，10
第四节： 空间直线及其方程(空间直线的对称式
例1－例7习题7－2:3,4,6,9,10
2.掌 握向量的运算（线性运
算、数量积、向量积、混合
积），了解两个向量垂直、
平行的条 件.
3.理解单位向量、方向数与
方向余弦、向量的坐标表达
式，掌握用坐标表达式 进行
向量运算的方法.
4.掌握平面方程和直线方程
及其求法.
5．会求 平面与平面、平面与
直线、直线与直线之间的夹
角，并会利用平面、直线的
相互关系（ 平行、垂直、相
空间曲线方程与参数方程,两直线的夹角,直线与
交等）解决有关问题.
及其方程 平面的夹角)
例1－例4 习题7－4：2，3，5，6
第五节： 平面, 平面方程，两平面之间的夹角
平面及其例1－例5
方程 习题7－5：1，2，3，5，6，9
6．会求点到直线以及点到平
面的距离.
7.了解曲面方程和空间曲线
方程的概念.
8.了解常用二次曲面的方程
第六节： 直线与直线的夹角以及平行,垂直的条
空间直线件,点到平面和点到直线的距离,球面,
及方程 母线平行于坐标轴的柱面
例1－例7 习题7－6：1－9，11，12
自我小结 总复习题七：1，9－21
及其图形，会求以坐标轴为
旋转轴的旋转曲面及母线平
行于坐标轴的柱面方程. 9.了解空间曲线的参数方程
和一般方程.了解空间曲线
在坐标平面上的投影，并会
求该投影曲线的方程.


第九章 多元函数微分法及其应用 (10天)（考大题的经典章节，但
难度一般不大）

学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小1．理解多 元函数的概
多元函数值定理、介值定理
基本概念例1—8，习题8—1：2，3，4，5，6，8
（了解）
第二节：偏导数的概念，高阶偏导数的求解（重要）
偏导数
（理解）
第三节：全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件
全微分（全微分在近似计算中应用不用看）
（理解） 例1，2，3，习题8—3：1，2，3，4
第四节：多元复合函数求导，全微分形式的不变性
多元复合例1—6，习题8—4：1—12
例1—8，习题8—2：1，2，3，4，6，9
念，理解二元函数的几
何意义.
2．了解二元函数的极
限与连续性的概念以
及有界闭区域上连续
函数的性质．
3．理解多元函数偏导
数和全微分的概念，会
求全微分，了解全微分
存在的必 要条件和充
分条件，了解全微分形
式的不变性．