核电站工作考研数学一真题(含答案)

2020年12月1日发(作者：李彩桦)
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1
:
8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x x
2
(1) 曲线 渐近线的条数
y
x
2

1
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数
y(x) (e
x

1)(e
2x

2)(e
nx

n)
,其中
n
为正整数,则
y(0)
(A)
(1)
n1
(n 1)!
(B)
(1)
n

(n 1)!
(C)
(1)
n1
n!
(3) 如果函数
f (x, y)
在
(0, 0)
处连续,那么下列命题正确的是
f (x, y)
(A) 若极限
lim
存在,则
f (x, y)
在
(0, 0)
处可微
x0
x y
y 0


f (x, y)
(B) 若极限
lim
存在,则
f (x, y)
在
(0, 0)
处可微

x y
2 2
x0
y 0
f (x, y)
(C) 若
f (x, y)
在
(0, 0)
处可微,则 极限
lim
存在

x y
x0
y 0
f (x, y)
(D) 若
f (x, y)
在
(0, 0)
处可微,则 极限
lim
存在

x y
2 2
x0
y 0


2

k x

(4)设
I
K

e sin xdx(k 1, 2,3)
则有 ( )
0
(A) (B) (C) (D)
I I I I I I I I I I I
1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3
0 1
0 1

( )
( )
(D)
(1)
n

n!
( )
I
(5)设
0
,

2
,


4
, ,其中 为任意常数，则下列向量组线性相关

3

1

C

2
1 1
C C C C
,
3
,
4
1
1
,
2




C

1



C

3



C

4


的为( )
(A)
1
,
2

,
3

(B) (C) (D)

1
,
3
,
4

1
,
2

,
4


(6) 设 A为 3阶矩阵，P为 3阶可逆矩阵，且
1
则
p

AP

Q
1
AQ

( )
2

,
3
,
4


1 0 0

0 1 0

0 0 2

1
.若 P=（
1
,
2

,
3

），

(
1 2 2
, ,
3
)
，


2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一

1 0 0

(A)


(B)
1 0 0

0 2 0


0 0 1

0 1 0


0 0 2


2 0 0

(C) (D)
0 1 0 0 2 0


0 0 2 0 0 1

2 0 0









X

(7)设随机变量
X
与
Y
相互独立，且分别服从参数为
1
与参数为
4
的指数分布，则
p


Y

( )
1
(A) (B)
1
(C)
2
5 3 5
(8)将长度为
1m
的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
1

2
(B) (C)

4
(D)
5
( )
(A)
1
1

2
(D)
1
给 大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以 及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的
学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计 很多人能
够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间 上的，我做事情
特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二， 答题高效率，包括读题
速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万 字的资料，一般人可能要二十
分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也 一样，读题和读材料的速度也很快，
一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过 3分钟，这样就比别人多
出 20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“速读记忆让我的考研复习奔 < br>跑起来”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见 都让
人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提 高，个人总
结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自 己一眼看多个字的
习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学， 千万不要吝啬，花点小钱
在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势 在必得，就不要在乎这一刻。想
成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概 30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非
常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字。其
次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是 一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的
效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大 纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超
高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速 读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以
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二、填空题：9
:
14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数
f (x)
满足方程
f
'

(x) f
'

(x) 2 f (x)
2 2
0
及
f
'

(x) f (x) 2e
，则
f (x)

(10)
x 2x x dx=
0
z

(11)
grad(xy+ ) |
y
(2,1,1)

(12)设
则

x
,

y
,

z

x

y

z

z

01,

x

0,

y

0,

，




y ds
2



与

C互不相容，

(13)设
X
为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵
E
(14)设
A
,
B
,
C
是随机变量，A
XX
T

的秩为

p AB

, P C
1
2
2

, p AB C
1
3



三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
骤.
(15)

证明
1 x


1 x


cos x 1
x

2

xln
(16)
( 1 x 1)
2
y
2
x
2

求函数
( , )
f x y xe
(17)
2
的极值
2
4n 4n 3
x
的收敛域及和函数
2n

求幂级数
n0
2n 1
(18)
( ),
x f t

已知曲线
L

其中函数 具有连续导数，且 若曲线

:

(0

t
),

2
f (t) f (0) 0, f
'

(t) 0 (0 t ).
2

y cost
L
的切线与
x
轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数
f (t)
的表达式，并求此曲线
L
与
x
轴与
y
轴无边界的区域的
面积。
(19)
已知
L
是第一象限中从点
(0,0)
沿圆周
x
2

+y
2

J

2x
到点
(2,0)
，再沿圆周
x
2

+y
2

4
到点
(0, 2)
的曲线段，计算曲

L
线积分
3
d
2


x

y

x

x

(
3


x

y y
2 )d
(20)(本题满分 分)


1 a 0 0

设
A


0 1 a 0


,


0 0 1 a




1
1


0




a 0 0 1 0
（I）计算行列式
A
(II)当实数 a 为何值时，方程组
Ax
有无穷多解，并求其通解。
(21)
1 0 1

0 1 1

已知
A
，二次型
f (x , x , x ) x
T

(A
T

A)x
的秩为 2

1 0 a
1 2 3



0 a 1
（1）求实数 a 的值；
（2）求正交变换
x Qy
将
f
化为标准型.
（22）
设二维离散型随机变量
X
、
Y
的概率分布为
0 1
1
0
4
0
3
2
1
4

2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
1
1 0
3
0
1 1
2
12
0
12
（Ⅰ）求
PX


2
Y
；

（Ⅱ）求
Cov(X Y,Y)
.
(23)
设随机变量
X
与
Y
相互独立且分别服从正态分布
N(u,
2

)
与
N(u,2
2

)
，其中

是未知参数且
Z X Y.
(1)求
Z
的概率密度
f (z,
2

);
（2）设
1
,
2

, ,
n

为来自总体 的简单随机样本，求 的最大似然估计量
z z z Z
2

2
（3）证明
2

为 的无偏估计量

2
数一参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B D C B A D
二、填空题


3

3
9、
e
x

； 10、 ； 11、
1,

；
1,

1
12、 ； 13、2； 14、
4
2 12
三、解答题
(15)
1 x x
2

f x xln cos x 1
1 x 2
令

， 是偶函数
f (x)
证明：

1 x 2x


f x ln sin x x
1 x 1 x
0
。设


2
0
f

0


2 1
x
2

1 1


4
x
2


4 4

f x
1 x 1 x


所以


f x
0
f
0


x

2
2
cos x 1 cos x 1


2

2

1 x 1
4
2 0
2

2

x

1


2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
1 x x

2
即证得：

xln cos x 1 1 x 1
1 x 2
(16)

2 2 2 2 2 2


f x, y
x y x y x y



e
2
xe
2
x e
2
1 x 0
2

x
解：





f x, y
x y
2 2


xe
2
y 0


y
得驻点


P P
1
1, 0 ,
2

1, 0


2 2 2 2


2 x y x y
f x, y


2

2

2xe e 1 x x
2
x
2





f x, y

2 x y
2 2

e 1 x y

2
2