木槿叶最新八年级数学北师大版下学期期末复习

2020年12月1日发(作者：杜雨露)
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年 级
内容标题
编稿老师
初二
巩建兵
学 科 数学 版 本 北师大版
初二数学北师大版下学期期末复习

【本讲教育信息】
一．教学内容：
初二数学北师大版期末复习

二．教学目标：
1．掌握相似多边形和位似图形的性质．
2．了解频数分布直方图的意义和作用，会计算极差 、方差、标准差，并根据计算结果对
实际问题作出评判．
3．初步掌握用综合法证明的格式．

三．知识要点分析：
1．相似多边形和位似图形
（1）相似多边形的性质
①相似多边形的周长比等于相似比．
②相似多边形的面积比等于相似比的平方．
（2）位似图形的判别
①位似图形是特 殊的相似形，因此判断两个图形是不是位似图形，应先判断它们是否相
似，若不相似，则一定不是位似图 形．
②若两图形已相似，再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点，若这一条件成立，
则 两图形是位似图形，否则这两个图形就不是位似图形．
2．数据的收集与处理知识结构：
实际问题
数据收集
数据表示
数据处理
解决实际问题
作出 决策
平均水平（平均数、中位数、众数）
离散程度（极差、方差、标准差）
直接收集— 调查（普查、抽样调查）
间接收集

判定
性质
内角和定理
内角和定理的推论
3．证明（一）知识结构：
平行线
定义命题证明
三角形


【典型例题】
知识点1：相似多边形和位似图形
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__ ________________________________________________ < br>例1．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，S
△
ABC
＝4 8，求S
△
ADE
．
A
D
B
E
C

题意分析：由DE∥BC可知∠AD E＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，从而得出△ADE∽△
ABC，由AD＝3BD可得AD∶AB＝ 3∶4．
思路分析：要求△ADE的面积，用常规的面积公式不可求．因为已知△ABC的面积，所以用相似三角形的面积比等于相似比的平方来解．
解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
S
△
ADE
AD
2
AD
2
3
2
∴＝
2
＝＝（）．
4
S
△
ABC
AB
（ AD＋BD）
2
33
∴S
△
ADE
＝（）
2
×S
△
ABC
＝（）
2
×48＝27．
44
解 题后的思考：在利用相似三角形、相似多边形的性质解决周长和面积问题时，注意对
AD3
S< br>△
ADE
3
应关系，如本题中△ADE和△ABC的相似比是＝，＝（）
2
，不要弄错顺序．
AB4
S
△
ABC
4
< br>1
例2．按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的；如图所示，任取一点O，连接AO、
2
BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（ ）．
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的
周长比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
A．1 B．2 C．3 D．4 < br>B
E
F
D
C
A
O
1
题意分析：根据 题意将△ABC的三边缩小为原来的得△DEF，那么△DEF和△ABC
2
1
相似且 相似比为，这两个三角形对应点的连线交于同一点O，所以它们又是位似图形．
2
思路分析： 根据相似三角形的性质，△ABC和△DEF的周长比等于相似比，面积比等
于相似比的平方．所以本题 ①、②、③、④均正确．
解：D
解题后的思考：相似图形和位似图形的不同点在于：位似图 形是一种特殊的相似图形，
对应点的连线交于同一点，而相似图形未必都能构成位似关系．
小 结：相似图形的形状相同，大小不同，因此相似图形的性质可总结为：对应角相等，
对应边成比例．进一 步得出周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

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知识点2：数据的收集与处理
例3．某股民就A、B两种股票的价格作了近10天的记录：
A股票
76.5 90.5 84.5 86.5 81.5 87.5 86.5 82.5 85.5 83.5
B股票
82.5 84.5 89.5 79.5 80.5 91.5 89.5 79.5 85.5 74.5
（1）用折线图分别表示这两种股票价格的升降情况．
（2）分别计算它们的方差，并说明这两种股票在价格上所反映的特点是什么？
题意分析：本 题第（1）问是用折线图表示这两种股票的趋势，第（2）问是用方差对这
两种股票的价格作出评判．
思路分析：折线图以时间为横轴、价格为纵轴，先描点，再连线．求方差时应先求平均
数．
解：（1）如图所示：

（2）先计算平均数：
1
－
x
A
＝（76.5+90.5+84.5+86.5+81.5+87.5+86.5+82.5 +85.5+83.5）＝84.5．
10
1
－
x
B
＝（ 82.5+84.5+89.5+79.5+80.5+91.5+89.5+79.5+85.5+74.5） ＝83.7．
10
再计算方差：
1
2
s
A
＝< br>10
[(84.5－76.5)
2
＋(84.5－90.5)
2
＋…＋(84.5－83.5)
2
]＝13.2；
1
2
s
B
＝
10
[(83.7－82.5)
2
＋(83.7－84.5)
2
＋…＋(83.7－74.5)
2
]＝26.36．
由于A股票 价格方差13.2＜B股票价格方差26.36，所以从这10天的股票价格来看，A
股票波动较小，B 股票波动较大．
解题后的思考：计算方差时，由于数据较复杂，可借助计算器或计算机．

例4．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，
共有9 00名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成
绩（得分取正整数 ，满分为100分）进行统计，请你根据下面尚未完成并有局部污损的频数
分布表和频数分布直方图，解 答下列问题：
（1）填充频数分布表中的空格；
（2）补全频数分布直方图；
（3）在该问题中样本容量是多少？
（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？
（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？
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题意分析：本题要求补全频数分布直方图和频数分布表，再根据图表回答其他问题．
思路分析 ：补全频数分布表时方法很多，关键是正确理解频数与频率的含义．方法一：
先确定频数总和4÷0.0 8＝50，再填写其他表格．方法二：先根据频率和为1确定第5组的
频率，再求其他表格．
解：（1）1－（0.08＋0.16＋0.2＋0.32）＝0.24．
则90.5~100的频率为0.24，设其频数为x，
16×0.24
16x
则＝，x＝＝12．
0.320.240.32
合计：频数为4＋8＋10＋16＋12＝50，频率＝1．
（2）如图所示：

（3）样本容量为50．
（4）落在80.5~90.5分范围内的人数最多．
12
（5）×900＝216（人）．
50
解题后的思考：解决频数分布直 方图问题时，常用的两个数量关系是：各小组频率之和
为1；频数分布直方图中条形块的高度与其频数（ 或频率）成正比．
小结：关于数据的收集与处理重点体会普查和抽样调查的优缺点，数据表示的有关概 念
以及刻画数据离散程度的几个量度—极差、方差和标准差，学会用频数分布直方图处理数据．

知识点3：证明（一）
例5．如图，在△ABC中，∠A＝α．∠ABC与∠AC D的平分线交于点A
1
，得∠A
1
；∠A
1
BC
与 ∠A
1
CD的平分线相交于点A
2
，得∠A
2
；……；∠A
2008
BC与∠A
2008
CD的平分线相交于
点A
20 09
，得∠A
2009
．则∠A
2009
＝__________．
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A
A
1
A
2
B

题意分析：已知∠A＝α，根据题意可知所求的∠A
2009
一定与∠A有关系． < br>111
思路分析：如图，∠ACD＝∠A＋∠ABC，有∠ACD＝∠A＋∠ABC．∵A
1
B平分
222
111
∠ABC，A
1
C平分∠ACD， ∴∠A
1
CD＝∠ACD，∠A
1
BC＝∠ABC．∴∠A
1
CD＝∠A＋
222
1111
∠A
1
BC．∴∠A
1＝∠A
1
CD－∠A
1
BC＝∠A．同理∠A
2
＝∠A
1
＝∠A，∠A
3
＝∠A，…
2248
α
1
∠A
2009
＝
2009
∠A＝
2009
．
22
α
解：
2009

2
解题后的思考：本题是一 道综合创新型的问题，既考查三角形内角与外角的关系，又考
查探究规律，归纳推理的能力．

例6．如图所示，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，
求 证：∠BAC＞∠B．
E
A
1
B
C
2
C
D
D

题意分析：由CE平分∠ACD得∠1＝∠2，所求证的∠BAC和∠B不是同一三角形的
内角 和外角．
思路分析：∠BAC是△ACE的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，所以∠BAC＞∠ 1，
∠2＞∠B，而∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠B．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线定义）．
∵∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），
∴∠BAC＞∠2（等量代换）．
∵∠2＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），
∴∠BAC＞∠B（不等式的基本性质）．
解题后的思考：本题不能直接利用“三角形的一个 外角大于任何一个和它不相邻的内
角”，必须要找一个中间量进行代换．
小结：这部分内容的 许多结论都是大家非常熟悉的，重点体验证明的基本方法和过程，
体会公理化方法在数学中的作用．

四. 本讲小结：
本讲内容主要有：一、概念，包括相似多边形、位似图形、普查 、抽样调查、总体、个
体、样本、频数分布直方图、极差、方差、定义、定理、公理、推论等；二、一个 重要的数
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